摘 要 文章通過具體的數(shù)學模型案例分析，闡述了將數(shù)學建模思想融入高等數(shù)學模塊化教學的必要性?；跀?shù)學建模思想的高等數(shù)學模塊化教學，讓學生嘗試探索實際問題中所蘊含的數(shù)學規(guī)律，對學生應用數(shù)學的能力和學習興趣的提高具有積極的作用。這種融入了數(shù)學建模思想的教學模式給高等數(shù)學課程教學帶來新的動力，對于高等數(shù)學教學改革具有重要意義。

關鍵詞 高等數(shù)學；建模思想；模塊化；教學案例；課程改革

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2024.27.034

The Application of Mathematical Modeling Ideas in Modular Teaching

of Advanced Mathematics

CHEN Fenghua， LI Shuang'an

（Department of Basic Science， Wuchang Shouyi University， Wuhan， Hubei 430064）

Abstract This paper elaborated the necessity of integrating the idea of mathematical modeling into modular teaching of advanced mathematics through specific mathematical models case analysis. The modular teaching of advanced mathematics based on the idea of mathematical modeling allows students to try to explore the mathematical laws contained in practical problems. It plays a positive role in improving students' applied mathematics ability and learning interest. This kind of teaching exploration with the idea of mathematical modeling brings new impetus to the teaching of advanced mathematics. It is of great significance to the reform of advanced mathematics teaching.

Keywords advanced mathematics; the idea of mathematical modeling; modular; teaching cases; course reform

從20世紀90年代開始，我國對模塊化教學進行了初步研究探索，在吸收國外先進理論的同時，發(fā)展出了一套符合我國教育實情的模塊化教學理論。韓艷麗（2019）將模塊化教學應用在“公共關系學”中；王麗婭（2019）將模塊化教學應用在“體育與健康”課程中；黃翠平（2017）將模塊化教學應用在酒店管理專業(yè)的實踐教學中等[1-3]。目前模塊化教學多側重于在專業(yè)課程中實行，而關于數(shù)學課程模塊化教學的研究并不多。

將數(shù)學建模思想融入高等數(shù)學的模塊化教學方法主要是在分模塊教學的基礎上，進一步融入數(shù)學建模的模塊，是一種嵌入式的數(shù)學建模模塊法[4]。融入數(shù)學建模思想的模塊化教學對于高等數(shù)學教學改革具有重要意義。將數(shù)學建模思想融入高等數(shù)學模塊化教學過程中，不是將數(shù)學建模的例子強塞進高等數(shù)學的內容中，改變高等數(shù)學原有的體系，而是通過數(shù)學建模的過程使學生進一步熟悉基本的教學內容，鍛煉和培養(yǎng)學生解決問題能力的同時，進一步加深對知識的理解與掌握。

在高等數(shù)學教學過程中，根據(jù)知識結構，分四類進行模塊化教學：將建模思想融入概念、定義的模塊化教學中，如導數(shù)的概念、微分的定義、定積分的定義、二重三重積分的定義；將建模思想融入定理的模塊化教學中，如零點定理、微分中值定理；將建模思想融入公式的模塊化教學中，如兩個重要極限、牛頓―萊布尼茨公式；將建模思想融入實際應用的模塊化教學中，如函數(shù)的應用、最值問題的應用、微分方程的應用、級數(shù)的應用。下面通過幾個具體的例子闡述如何將數(shù)學建模思想融入高等數(shù)學的模塊化教學。

1 建模思想融入第一個重要極限的應用

【實例一】 圓的面積問題

1.1 問題提出

如何利用圓內接正邊形的面積求圓的面積？

1.2 模型建立

設圓的半徑為，記圓內接正邊形的面積為，通過分析得： ，圓內接正多邊形的邊數(shù)越大，圓內接正多邊形的面積越接近圓的面積，當邊數(shù)趨于無窮大時，圓內接正多邊形的面積無限接近于圓的面積。

記圓的面積為，則有：=。

1.3 模型求解

由前面的分析知：。

上式變形為：

，

由第一個重要極限，及，，得到圓的面積：。

第一個重要極限是高等數(shù)學教學中的重點和難點，具有十分重要的應用。但在實際教學中，學生往往重視其計算，而忽略了其應用。本文將數(shù)學建模思想融入第一個重要極限的應用，將第一個重要極限與圓的面積求解結合起來，有利于學生加深對第一個重要極限的理解和認知，進而激發(fā)學生的學習興趣，同時也為其他教師教學提供參考。

2 建模思想融入第二個重要極限的應用

【實例二】 計息還款問題

2.1 問題提出

某人民醫(yī)院2005年5月1日進口一臺彩色超聲波診斷儀，貸款20萬元，以復利計算，年利率4%，2014年5月1日到期，一次還本付息，貸款到期時還款總額（按連續(xù)復利計息）是多少？

2.2 模型建立

設本金為，年利率為，如果一年分期計息，則每期的利率為，一年末的本息和為，年末的本息和為：。

如果計息期數(shù)，即把利息加入本金的時間無限縮短，利息隨時計入本金，稱為“連續(xù)復利”計息，則年末的本息和為：。

2.3 模型求解

依題意，2005年5月1日到2014年5月1日，由連續(xù)復利的復利公式，則9年末的本息和為：，其中，=20，=40%。

上式變形為：，

由第二個重要極限，，則9年末的本息和為：，所以到期還款總額為（萬元）。

2.4 模型推廣

此模型還反映了現(xiàn)實世界中一些事物增長和衰減的數(shù)量規(guī)律，如設備的折舊、資本的積累、細胞繁殖、放射性衰變、物體冷卻等，可以推廣應用。

本文將數(shù)學建模思想融入第二個重要極限的應用，讓學生對第二個重要極限有更加深刻的認識，激發(fā)學生的學習動力，將課本的知識應用到生活中，提高學生解決實際問題的能力。

3 建模思想融入最大值最小值問題

關于最大值最小值的例題比較常見的是用料最小化、效率最大化等，這些問題實際上已脫離了我們的生活。將建模思想融入最大值最小值問題，需要學生的參與，讓學生體會fb41fc34664836d7b99f581c878c9015875f9106a735c7da93ec79b8304a1efd最大值最小值問題在實際生活中的應用，讓他們在錯綜復雜的社會實踐中，認識了解社會，抓住主要矛盾，通過觀察社會，學會發(fā)現(xiàn)并提出問題。

【實例三】 商品定價問題

3.1 問題提出

隨著互聯(lián)網(wǎng)技術的發(fā)展，網(wǎng)上購物成為新時尚，它極大地方便了人們的生活，也出現(xiàn)了新的經(jīng)濟業(yè)態(tài)。學生通過課余時間對某網(wǎng)絡銷售平臺的消費記錄進行統(tǒng)計，如果某款運動鞋定價為50元，則平均每月收到的訂單數(shù)為3000，但是隨著定價每提高1元，平均每月收到的訂單數(shù)將會減少100，每個顧客在質保上平均花費2元，商家為了獲得最大的收益，運動鞋應該定價多少？

3.2 模型建立

設為運動鞋為50元定價時應該提升的金額（如果是負值，則定價下調），則收益為：=商品收益+質保收益，而商品收益等于訂單數(shù)乘以定價，質保收益等于訂單數(shù)乘以質保平均花費，即：

，

。

整理得：。

3.3 模型求解

，令，求得。

這是唯一的駐點，又，，即為區(qū)間[-52，30]內的唯一的極大值點，即為最大值點。因此，為了獲得最大的收益，運動鞋應該定價為39元，也就是下調定價將吸引更多的人下訂單，月均訂單數(shù)是4100。

3.4 模型推廣

這個模型可以推廣應用，利潤等于收益減去成本，利潤函數(shù)求導等于邊際收益減去邊際成本，當邊際收益等于邊際成本且邊際收益的變化率小于邊際成本的變化率時，可以獲得最大的利潤。

4 建模思想融入可分離變量微分方程

【實例四】 飲酒量與事故風險率問題

4.1 問題提出

大量的研究數(shù)據(jù)表明，汽車司機發(fā)生事故的風險率（百分比）與其血液中的酒精含量（單位：毫克/100毫升）有非常密切的關系。假設事故風險率變化率與事故風險率成正比，又已知血液中無酒精含量時，事故風險率為1%，當血液中酒精含量為60毫克/100毫升時，事故風險率為20%。求①事故風險率與血液中酒精含量的函數(shù)關系。 ②當血液中的酒精含量是多少時，理論上發(fā)生事故的風險率為100%？

4.2 模型建立

根據(jù)題意，事故風險率變化率與事故風險率成正比，則事故風險率變化率與血液中的酒精含量有如下關系：。這是一個可分離變量的微分方程。

4.3 模型求解

①上式分離變量得到：，兩邊同時積分有：，

得到： ，即（是任意常數(shù)）。

由已知條件時，，時，，得到：，求得：，，即事故風險率與血液中酒精含量的函數(shù)關系為。

②由題意，令，求得：，即血液中的酒精含量是92毫克/100毫升時，理論上發(fā)生事故的風險率為100%。

4.4 模型拓展

國家質量監(jiān)督檢驗檢疫局發(fā)布的《車輛駕駛人員血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗》標準規(guī)定，飲酒駕駛是指車輛駕駛人員血液中的酒精含量大于或者等于20毫克/100毫升、小于80毫克/100毫升的駕駛行為，醉酒駕駛是指車輛駕駛人員血液中的酒精含量大于或者等于80毫克/100毫升的駕駛行為。

很多駕駛員對酒精的影響作用警惕性不高，對法律規(guī)定的“酒后駕駛”和“醉酒駕駛”的最低血液酒精含量等概念模糊，往往在自認為只是少量飲酒的情況下出現(xiàn)酒駕行為。實驗證明，用45分鐘緩慢喝下一瓶啤酒，5分鐘后測試結果，酒精含量就可達到60毫克/100毫升，此時開車就已是酒駕。

通過對 這個數(shù)學建模案例的科學數(shù)據(jù)分析，讓學生在學到了微分方程知識的同時，也提高了青年學生的安全駕駛意識。

5 結語

本文通過對融入數(shù)學建模思想的高等數(shù)學模塊化教學的研究，對高等數(shù)學課程改革具有一定的推動作用，包括教學內容、教學方法、教學手段等。數(shù)學建模思想融入高等數(shù)學的模塊化教學中，能夠在保障數(shù)學嚴謹性的同時，利用邏輯思維擴展聯(lián)系起各個數(shù)學知識之間的關系，增強高等數(shù)學教學的內涵與生動性。在建模的過程中，學生能夠通過多種數(shù)學知識之間的聯(lián)系，增強自己的思維創(chuàng)新能力，切實感受到數(shù)學知識在實際中的應用，更重要的是知道怎樣應用和自覺去應用數(shù)學知識[6]。在培養(yǎng)和提高學生的想象力、洞察力和創(chuàng)造力的同時，培養(yǎng)學生的數(shù)學文化素養(yǎng)和職業(yè)核心能力，讓學生學到“有用的”高等數(shù)學知識、“夠用”的高等數(shù)學知識，以及“服務專業(yè)”的高等數(shù)學知識。

基金項目：武昌首義學院教學研究項目“三維協(xié)同下的微積分模塊化教學的研究與實踐”（2020Y21）。

參考文獻

[1] 韓艷麗.基于模塊化項目教學法的中職文秘專業(yè)《公共關系學》課程教學設計[D].云南大學，2019.

[2] 王麗婭.高中《體育與健康》課程羽毛球模塊教學內容的研究[D].北京體育大學，2019.

[3] 黃翠平.中職學校酒店管理專業(yè)模塊化實踐教學的問題及對策研究[D].魯東大學，2015.

[4] 李瑞，但煒.數(shù)學建模思想在高等數(shù)學教學中的探究[J].高教學刊，2023，9（11）：112-115.

[5] 同濟大學數(shù)學科學學院.高等數(shù)學[M].北京：高等教育出版社，2023.

[6] 王詩云，鞠哲，呂振華.數(shù)學建模思想在數(shù)學基礎課程中的滲透——以常微分方程課程為例[J].教育進展，2023，13（12）：9726-9729.