規(guī)律探究型問題通常涉及數(shù)字、字母、圖形之間的變化、排序等.解答這類問題，同學(xué)們需要根據(jù)題目中提供的數(shù)字、式子或圖形，通過觀察、分析、探究、猜想、歸納等多種思維活動(dòng)，找到數(shù)、式或圖形的變化規(guī)律.這類問題對同學(xué)們的數(shù)學(xué)抽象能力、概括能力、創(chuàng)新思維能力有較高的要求.下面結(jié)合幾道中考題，對三類探究規(guī)律問題的解法進(jìn)行探究.

一、探究數(shù)與式的規(guī)律

有關(guān)數(shù)與式的規(guī)律探究型問題通常會(huì)給出一些單項(xiàng)式（含單個(gè)的數(shù)字或字母）或多項(xiàng)式，要求探究其中蘊(yùn)含的規(guī)律.解題時(shí)要先根據(jù)題意按照順序?qū)懗銮皫讉€(gè)數(shù)或式子；接著通過比較找出各個(gè)數(shù)或式子中相同與不同的部分，如相同的數(shù)量關(guān)系、相同的位置，不同的式子等，然后運(yùn)用從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟孪?，建立各個(gè)數(shù)或式子與其對應(yīng)的項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，最后總結(jié)出規(guī)律或建立遞推關(guān)系式.

例1 （ 2023年四川德陽中考題 ）在“點(diǎn)燃我的夢想，數(shù)學(xué)皆有可能”數(shù)學(xué)創(chuàng)新設(shè)計(jì)活動(dòng)中， “智多星”小強(qiáng)設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，即對依次排列的兩個(gè)整式m，n按如下規(guī)律進(jìn)行操作：第1次操作后得到整式串 m，n，n-m；第2次操作后得到整式串m，n，n-m，-m；第 3次操作后……其操作規(guī)則為每次操作增加的項(xiàng)，都是用上一次操作后得到的最末項(xiàng)減去其前一項(xiàng)的差，小強(qiáng)將這個(gè)活動(dòng)命名為“回頭差”游戲，則該“回頭差”游戲第2023次操作后得到的整式串各項(xiàng)之和是（ ）.

A.m+n B. m C.n-m D.2n

解：第1次操作后得到的整式串為m，n，n-m；

第2次操作后得到的整式串m，n，n-m，-m；

第3次操作后得到的整式串m，n，n-m，-m，-n；

第4次操作后得到的整式串m，n，n-m，-m，-n，-n+m；

第5次操作后得到的整式串m，n，n-m，-m，-n，-n+m，m；

第6次操作后得到的整式串m，n，n-m，-m，-n，-n+m，m，n；

…….

可以發(fā)現(xiàn)，每4次操作可得到一個(gè)整式串：m，n，n-m，-m，-n，-n+m，其周期為4.

而m+n+（n-m）+（-m）+（-n）+（-n+m）=0，且2023÷4=505……3，

所以第2023次操作后得到的整式之和與第3次操作后的相同，即為m+n+（n-m）= 2n.

故選D項(xiàng).

點(diǎn)評：解答本題，需先通過列式，找出前6次操作后整式串之間的規(guī)律，即每4次操作可得到一個(gè)整式串：m，n，n-m，-m，-n，-n+m，其周期為4；再找出2023次操作中出現(xiàn)的循環(huán)次數(shù)，從而得到答案.

二、探究圖形的規(guī)律

探究圖形的規(guī)律問題通常要求從題中的一組圖形中總結(jié)出圖形變化的規(guī)律.解答這類問題有兩種思路：一種是將圖形的變化規(guī)律轉(zhuǎn)化成數(shù)與式之間的規(guī)律，再通過尋找數(shù)與式之間的規(guī)律解答問題.解題時(shí)可以按照己知圖形的順序分別編上序號；然后分別求出每個(gè)圖形中的相關(guān)量，并分析序號和這些量之間的數(shù)量關(guān)系；再猜想、歸納出第n個(gè)圖形的整式，得出一般的規(guī)律；最后驗(yàn)證猜想的正確性，得出結(jié)果.另一種是利用圖形的直觀性，直接在已知圖形中尋找規(guī)律，補(bǔ)充后續(xù)圖形，由此得出一般的規(guī)律和結(jié)果.

例2 （202 3年湖北十堰中考試題 ）某學(xué)生用火柴棍拼成如下圖案，其中圖案①中的陰影部分是由4個(gè)小等邊三角形所圍成的1個(gè)小菱形，圖案②中的陰影部分是由6個(gè)小等邊三角形所圍成的2個(gè)小菱形，……，若按此規(guī)律拼下去，則第n個(gè)圖案需要火柴棍的根數(shù)為（用含n的式子表示）.

解：圖案①中所用的火柴棍有12=3×4=3×（2×2）根，

圖案②中所用的火柴棍有 18=3×6=3×（2×3）根，

圖案③中所用的火柴棍有 24=3×8=3×（2×4）根，

……，

由此猜想，拼成第n個(gè)圖案，需要用3×[2×（n+1）]=6n+6根火柴棍.

點(diǎn)評：解答本題主要采用的是第一種思路，即先數(shù)出每一個(gè)圖形中火柴棍的數(shù)量，并用式子表示出來；然后經(jīng)過比較，找出式子與項(xiàng)數(shù)（序號）之間的關(guān)系，得出一般規(guī)律.

三、探究“新定義”的規(guī)律

這類規(guī)律探究型問題一般會(huì)給出一個(gè)“新定義”，要求我們根據(jù)新的運(yùn)算規(guī)則探索出一般規(guī)律.這類題目中的“新定義”沒有固定的形式，同學(xué)們需要讀懂“新定義”背后的新概念、新運(yùn)算、新符號等新知識，并結(jié)合已有知識進(jìn)行理解，然后根據(jù)“新定義”進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移，列出關(guān)系式，從而將探究“新定義”規(guī)律問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的探究整式規(guī)律題，最后利用已有的知識經(jīng)驗(yàn)來解題.

例3 （2023 年四川成都中考試題 ）定義：如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)m，n的平方差，且m-n>1，則稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧優(yōu)數(shù)”.例如，16=5 2 -3 2 ，16 就是一個(gè)“智慧優(yōu)數(shù)”，可以利用m 2 -n 2 =（m+n）（m-n）進(jìn)行計(jì)算.若將“智慧優(yōu)數(shù)”從小到大排列，則第3個(gè)“智慧優(yōu) 數(shù) ”是 ______；第 23 個(gè)“ 智 慧 優(yōu) 數(shù) ”是______.

解：根據(jù)“智慧優(yōu)數(shù)”的定義可知m-n=2，3，4，…….

當(dāng)m-n=2時(shí)， “智慧優(yōu)數(shù)”為m 2 -n 2 =（n+2+n）·（n+2-n）=4（n+1）；

當(dāng)m-n=3時(shí)， “智慧優(yōu)數(shù)”為m 2 -n 2 =（n+3+n）·（n+3-n）=3（2n+3）；

當(dāng)m-n=4時(shí)， “智慧優(yōu)數(shù)”為m 2 -n 2 =4（2n+4）；

當(dāng)m-n=5時(shí)， “智慧優(yōu)數(shù)”為5（2n+5）；

當(dāng)m-n=6時(shí)， “智慧優(yōu)數(shù)”為6（2n+6）；

當(dāng)m-n=7時(shí)， “智慧優(yōu)數(shù)”為7（2n+7），…….

將“智慧優(yōu)數(shù)”按從小到大的順序排列，可得“智慧優(yōu)數(shù)”為4×2=8，4×3=12，3×5=15，4×4=16，……，所以第3個(gè)“智慧優(yōu)數(shù)”是3×5=15，第23個(gè)“智慧優(yōu)數(shù)”是3×19=57.

點(diǎn)評：本題中定義的“新運(yùn)算”法則與平方差公式緊密聯(lián)系，卻又有區(qū)別.我們需根據(jù)運(yùn)算規(guī)則，逐一將每組的“智慧優(yōu)數(shù)”用整式表示出來，尋找該整式與 n 之間的規(guī)律，從而求得問題的答案.本題的運(yùn)算量較大，同學(xué)們需要有較強(qiáng)的發(fā)散思維能力和計(jì)算能力.

總之，規(guī)律探究型問題具有較強(qiáng)的綜合性、開放性和創(chuàng)新性.在解答這類問題時(shí)，同學(xué)們要通過觀察、分析、探究、思考、探索尋找規(guī)律.這樣不僅能享受探究過程帶來的愉悅感，還能領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)知識的魅力所在.數(shù)苑縱橫