摘要：信息熵是信息論中的最重要的概念，各類教材都給出了詳細(xì)的定義和數(shù)學(xué)推導(dǎo)，但是由于概念較為抽象，致使許多學(xué)生都無法準(zhǔn)確理解和應(yīng)用該部分的教學(xué)內(nèi)容。以“核酸混合檢測”從消除新冠病毒攜帶者的不確定性出發(fā)，貫穿課程理論知識的疫情防控案例和典型例題的構(gòu)建，引導(dǎo)學(xué)生利用信息熵的理論知識，指導(dǎo)探究解決問題的方法與技術(shù)。理論知識與生活實(shí)踐的結(jié)合，既讓學(xué)生充分理解信息熵的概念，又可以體會信息論對實(shí)踐的指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：信息熵；核酸混合檢測；信息論；課程思政

中圖分類號：TB文獻(xiàn)標(biāo)識碼：Adoi：10.19311/j.cnki.16723198.2024.20.090

0引言

習(xí)近平總書記指出：要用好課堂教學(xué)這個(gè)主渠道，思想政治理論課要堅(jiān)持在改進(jìn)中加強(qiáng)，提升思想政治教育親和力和針對性，滿足學(xué)生成長發(fā)展需求和期待，其他各門課程都要守好一段渠、種好責(zé)任田，使各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)。2020年5月，教育部印發(fā)《高等學(xué)校課程思政建設(shè)綱要》指出，全面推進(jìn)高校課程思政建設(shè)，發(fā)揮好每門課程的育人作用。

信息論與編碼是以概率論和隨機(jī)過程等數(shù)學(xué)方法研究信息在通信系統(tǒng)中的存儲、傳輸、處理和控制的學(xué)科，是信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的專業(yè)核心課程，是數(shù)學(xué)理論在信息科學(xué)中的典型應(yīng)用，結(jié)合信息論與編碼的課程內(nèi)容，以講好中國故事為主線，將科學(xué)探索精神、嚴(yán)于律己精神、愛國精神、科技報(bào)國的家國情懷與擔(dān)當(dāng)?shù)热琨}化水般融入課堂教學(xué)，使學(xué)生獲得專業(yè)知識的同時(shí)，不斷提高思想道德素養(yǎng)，提高服務(wù)國家服務(wù)人民的社會責(zé)任感。最大限度地激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力?！靶畔㈧亍笔切畔⒍攘康闹匾拍?，是后續(xù)內(nèi)容學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

從“核酸混合檢測”要消除新冠病毒攜帶者的不確定性，需要獲取的信息量出發(fā)，設(shè)立問題，引出本節(jié)內(nèi)容——信息熵，在解決問題的過程中學(xué)習(xí)知識，提高學(xué)生的參與度和興趣，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力。利用理論工具指導(dǎo)編碼實(shí)踐。既讓學(xué)生深刻理解信息的本質(zhì)，又讓學(xué)生體會到信息論的使用價(jià)值。在教學(xué)過程中適當(dāng)嵌入課程思政要素，在信息論基礎(chǔ)專業(yè)課程中潛移默化地影響和教育學(xué)生。

1課程設(shè)計(jì)

圍繞“疫情防控”這一社會熱點(diǎn)，構(gòu)造案例和典型例題，貫穿本節(jié)課程的理論教學(xué)。通過回答核酸混合檢測的數(shù)學(xué)原理，展開信息熵的講解，在理論指導(dǎo)下引導(dǎo)學(xué)生探索具體實(shí)現(xiàn)方法。既讓學(xué)生深刻理解信息的本質(zhì)，又能讓學(xué)生體會到信息論的使用價(jià)值。在專業(yè)課程的教學(xué)過程中潛移默化地影響和教育學(xué)生。

1.1問題提出

根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，我國的陽性人群的感染率低于01%，通常采用10合1的混合檢測技術(shù)。

問題1：10合1的核酸檢測技術(shù)的原理？為什么美國不能使用這種混合檢測技術(shù)？

問題2：在陽性人群的概率是01%的地區(qū)，檢測出1名病毒攜帶者，該事件攜帶信息量？

問題3：設(shè)A地，陽性人群的概率是50%；B地陽性人群的概率是1%。何地的核酸檢測（單檢）提供的信息量更大？

問題1設(shè)立問題，引發(fā)學(xué)生思考，提示學(xué)生可以利用本節(jié)學(xué)習(xí)的知識，得到核酸混檢技術(shù)的原理，并能夠計(jì)算出最少的檢測次數(shù)；問題2，3用于回顧前面的內(nèi)容-自信息量；并可以得到

pA（陽）=pA（陰）=1bit，pB（陽）=-log001=664bit，pB（陰）=-log099=001bit.

有

pB（陽）>pA（陽），pB（陰）<pA（陰）

可以看出平均一IIjpt8uILSg0V8Yd4vgi6Myk+icm7zUVDoghdx9i0q0=次核酸檢測結(jié)果能夠提供的信息量無法用自信息量刻畫，引出本節(jié)的內(nèi)容——信息熵.

1.2熵的定義

定義1：信源空間X為

XP（X）=x1，x2，…，xi，…，xnp（x1），p（x2），…，p（xi），…p（xn）

各離散消息自信息量的數(shù)學(xué)期望定義為平均自信息量（信息熵）

H（X）=E［I（xi）］=－∑ni=1p（xi）logp（xi）（2.1）

其物理意義為：信息熵H（X）表示信源發(fā)出符號之前，確定信源X中每個(gè)符號平均需要的信息量；信息熵H（X）表示信源發(fā)出符號之后，平均每個(gè)符號所攜帶的信息量；

定義2.信源符號集X和信宿符號集Y中，每對元素xiyj聯(lián)合自信息量的數(shù)學(xué)期望定義為聯(lián)合熵H（XY）

H（XY）=EX，Y［I（xiyj）］=∑ni=1∑mj=1p（xiyj）I（xiyj）=－∑ni=1∑mj=1p（xiyj）logp（xiyj）（2.2）

定義3.信源符號集X，和信宿符號集Y中，條件自信息量I（yj|xi）的數(shù)學(xué)期望定義為條件熵H（Y|X）

H（Y|X）=EX，Y［I（yj|xi）］=∑ni=1∑mj=1p（xiyj）I（yj|xi）=－∑ni=1∑mj=1p（xiyj）logp（yj|xi）（2.3）

類似地有X相對Y的條件熵H（X|Y）定義為

H（X|Y）=－∑ni=1∑mj=1p（xiyj）logp（xi|yj）

1.3核酸混合檢測的原理

為了加強(qiáng)學(xué)生對信息熵概念的理解和應(yīng)用信息熵理論分析解決實(shí)際問題，結(jié)合核酸檢測問題，詳細(xì)講解例題。

例1.某地感染陽性的概率0.1%，即1000人中有且只有1人為病毒攜帶者，假設(shè)感染病毒是等概率的，求需要多少支試劑能鎖定病毒攜帶者？

問題分析：設(shè)等概率分布的1000人建立信源空間X

XP（X）=x1x2…x10001100011000…11000

利用試劑檢測1次，檢測結(jié)果為陰性或陽性也是等概率的，建立核酸檢測結(jié)果的信源空間Y

YP（Y）=y0（陽）y1（陰）1212

因此要鎖定病毒攜帶者，需要利用核酸檢測獲取的信息量要大于等于信源空間X的不確定性即可。

解答：信源X的不確定性

H（X）=－∑ni=1p（xi）logp（xi）=-11000log11000×1000=9.97bit

1支試劑完成檢測能夠獲得的信息量為

H（Y）=－∑1i=0p（yi）logp（yi）=-12log12+12log12=1bit

假設(shè)需要k只試劑確定病毒攜帶者，

k·H（Y）H（X）=9.97

因此至少需要做10支試劑才能夠確定病毒攜帶者，任何想低于這個(gè)檢測次數(shù)的努力都是徒勞的。

問題擴(kuò)展：利用信息論知識確定了核酸檢測次數(shù)，如何檢測？

方法一：分半混合檢測

第一步：每組500人混合，檢測其中1組，利用1份試劑可以排除1半陰性人員；

第二步：將陽性組的液體再對半分成兩組，利用第2支試劑檢測1組，又可以排除1半陰性人員，

反復(fù)進(jìn)行下去，只需要10步，即需要10支試劑?？梢越鉀Q問題。但是這種檢測方法共需要10輪檢測，每輪都需要數(shù)小時(shí)，時(shí)間耗費(fèi)過長。

思考2.1：有沒有更好的方法利用10支試劑，1輪即可得到檢測結(jié)果？

第一步：二進(jìn)制編碼，對待檢測人員按0～999進(jìn)行編號，將數(shù)字轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制序列。如表1。

第二步：檢測，根據(jù)二進(jìn)制編碼的數(shù)字進(jìn)行檢測，編碼的第幾位是數(shù)字“1”，就用第幾號試劑進(jìn)行檢測，第一號試劑只檢測第一位是1的人員。例如第153號檢測人員，二進(jìn)制編碼為0001011001，體液分別放入第4，6，7，10號試劑進(jìn)行檢測。

第三步：確認(rèn)，最后根據(jù)試劑的值，鎖定陽性人員，例如：試劑顯示0010110110（0代表陰性，1代表陽性），則該二進(jìn)制對應(yīng)的第182號為病毒攜帶者。

該方法是最節(jié)省試劑，檢測最快的方法，但是由于人員組織過于繁瑣，通常沒有在實(shí)際中采用，實(shí)際生活中通常采用易于操作的10混1的混合檢測方法，只需要110支試劑，即可鎖定病毒攜帶者。

思考2.2：當(dāng)感染陽性的概率p取什么值時(shí)，不能使用10混1的檢測方法？

答案為p=0.206可以作為課后思考題，讓同學(xué)們思考推導(dǎo)。這說明，感染率高的西方國家不能采用這樣的混合檢測技術(shù)。

例3.將A地的核酸檢測結(jié)果通過有干擾的信道傳送到B地，“0”表示陰性，“1”表示陽性，已知A地的檢測結(jié)果p（0）=14，已知p（0|0）=34，p（0|1）=14，

（1）求由B地陽性結(jié)果獲得A地陽性結(jié)果的信息量？

（2）求A、B兩地檢測結(jié)果不確定性？

（3）根據(jù)B地收到的檢測結(jié)果，求A地檢測結(jié)果仍然剩余的不確定性？

問題分析：

a）首先讓學(xué)生分析待求解問題的數(shù)學(xué)描述，分別計(jì)算的是

I（x1;y1），H（XY），H（X|Y）

b）這是典型的信息傳輸問題，信道輸入為A地值，輸出為B地收到的結(jié)果，如圖1所示。

解：經(jīng)過分析，已知A地的先驗(yàn)概率p（0）=14，p（1）=34，計(jì)算條件熵與聯(lián)合熵，需要先確定聯(lián)合概率和后驗(yàn)概率。已知的條件概率矩陣

PY|X=p（yj|xi）2×2=3/41/41/43/4

由p（xy）=p（x）p（y|x），可以得到聯(lián)合概率矩陣

PXY=p（xiyj）2×2=34×1414×1414×3434×34=316116316916

后驗(yàn)概率矩陣

PX|Y=p（xiyj）p（yj）2×2=1211012910

（1）計(jì)算的是由Y=y1獲得關(guān)于X=x1的互信息量，即

I（x1;y1）=logp（x1|y1）p（x1）=log9/103/4=0.263bit

（2）計(jì)算XY的聯(lián)合熵為

H（XY）=－∑ni=1∑mj=1p（xiyj）logp（xiyj）=－316log316×2+116log116+916log916=1.6626bit

（3）計(jì)算Y已知時(shí)，X的條件熵

H（X|Y）=－∑ni=1∑mj=1p（xiyj）logp（xi|yj）=－316log12×2+116log110+916log910=0.6681bit

或者先計(jì)算H（Y），然后利用熵的性質(zhì)，計(jì)算條件熵

H（Y）=-∑1j=0p（yj）logp（yj）=

-38log38+58log58=0.9544bit

H（X|Y）=H（XY）-H（Y）=1.6626-0.9544=0.6681bit

1.4課程思政的設(shè)計(jì)

在信息熵的理論教學(xué)過程中，利用信息熵給出了核酸混合檢測技術(shù)的理論基礎(chǔ)，并且給出了最少檢測次數(shù)的理論極限值，利用二進(jìn)制編碼（信源編碼）方法給出了具體實(shí)現(xiàn)的途徑，從該案例可以看出，信息論知識對生活實(shí)踐中的實(shí)際問題的解決具有非常重要的指導(dǎo)意義，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生對信息論強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)興趣。

傳輸核酸檢測結(jié)果的典型例題可以作為一個(gè)簡單的含干擾的通信系統(tǒng)，準(zhǔn)確說明了各種熵的計(jì)算依賴于信息傳輸過程中概率的分布。傳輸錯(cuò)誤的后果（隔離、封城），使學(xué)生更好地體會通信系統(tǒng)的本質(zhì)，信源編碼能夠提高系統(tǒng)傳輸?shù)男?，僅僅提高系統(tǒng)的效率，并不能提高通信的效率。還需要利用信道編碼能提升通信系統(tǒng)的可靠性，降低信息傳輸?shù)腻e(cuò)誤率。培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)思維和“大局意識”。

2結(jié)論

貫穿課程理論知識的疫情防控案例和典型例題的構(gòu)建，從“核酸混合檢測”，要消除新冠病毒攜帶者的不確定性（即確定病毒攜帶者），需要獲取的信息量出發(fā)，引出主要理論內(nèi)的講授。

（a）有機(jī)融合疫情防控課程思政點(diǎn)的理論教學(xué)，將抽象的理論問題學(xué)習(xí)具象化、生動(dòng)化，將脫離實(shí)際的熵的計(jì)算，融入國情、民情，使學(xué)生由單純的知識學(xué)習(xí)變?yōu)閱栴}的解決者，將跟隨式學(xué)習(xí)變?yōu)橹鲃?dòng)式學(xué)習(xí)，降低了理論學(xué)習(xí)的枯燥性，提升了學(xué)習(xí)專業(yè)的興趣。

（b）案例及例題的設(shè)計(jì)，充分體現(xiàn)了理論對實(shí)踐的指導(dǎo)意義；樹立認(rèn)真學(xué)習(xí)的信心。

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