摘要：本文解決了3 正則圖Ln的Balaban 指數(shù)計算問題。采用分類討論的方法，給出了Ln的Balaban 指數(shù)計算公式，并利用該公式，分別得到了該類正則圖Balaban 指數(shù)的易于計算的上、下界。計算結(jié)果表明，本文所得上界優(yōu)于已有文獻所給出的結(jié)果，且當圖的階數(shù)大于等于42時，該上界與精確值相差不超過0.1。

關(guān)鍵詞：Balaban指數(shù)；3 正則圖；距離；上、下界

中圖分類號：O157.5 文獻標志碼：A 文章編號：0253-2395（2024）05-0935-08

0 引言

設(shè)G = （V （G ），E （G ） ） 是一個頂點數(shù)為|V （G ） | = n，邊數(shù)為| E （G ） | = m 的簡單連通圖。頂點v ∈ V （G ） 的度dG （ v ） 是G 中與v 關(guān)聯(lián)的邊的數(shù)目，簡記為d （ v ）。若任意頂點v ∈ V （G ），有d （ v ） = 3，則稱G 是3 正則圖。若E′ ? E （G ），則G - E′ 表示從G 中刪除E′ 中的邊所得到的子圖，圖G 中頂點u，v 之間的距離dG （ u，v ） 是指G 中從u 到v 最短路的長度，簡記為d （ u，v ）［1］。用w（ v ） 表示G 中所有頂點到點v 的距離之和。1982 年，著名學(xué)者Balaban 提出了Balaban 指數(shù)（簡稱為J 指數(shù)［2-3］），定義為J （G ） =（m／m - n + 2） Σ uv ∈ E （G ）（1／根號下w（ u ） w（ v ）），其中m，n 分別為G 的頂點數(shù)與邊數(shù)，w（ v ） 是指G 中所有頂點到點v 的距離之和，且該定義中的分母m - n + 2 使得具有相同頂點數(shù)量的單圈圖與雙圈圖更好地進行比較［4］。

Balaban 指數(shù)作為一類重要的拓撲指數(shù)，可應(yīng)用于苯磺的碳酸酐酶抑制藥的QSAR 研究［5］。通過對含有6～9 個碳原子的烷烴同分異構(gòu)體進行排序，Balaban 等發(fā)現(xiàn)，由Balaban 指數(shù)產(chǎn)生的排序與由Wiener 指數(shù)產(chǎn)生的排序是相似的，而且Balaban 指數(shù)具有更好的識別能力，因此，Balaban 指數(shù)也稱為敏銳的Wiener 指數(shù)［6］。

目前有關(guān)Balaban 指數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)已取得了一系列研究成果。如：Das［7］刻畫了鏈圖中Balaban指數(shù)的極大圖；方煒等［8］給出了仙人掌圖Balaban 指數(shù)的上界，并刻畫了極圖；Chen 等［9］給出了雙圈圖Balaban 指數(shù)緊的上界；Zhou 等［10］給出了圖的Balaban 指數(shù)緊的上、下界；Sun［11］給出了樹中Balaban 指數(shù)的上、下界；Deng［12］刻畫了Balaban 指數(shù)在樹中的極大、極小以及第二大、第二小圖；Knor 等［13］給出了k 正則圖的若干上界，提出Ln 是立方體中具有極小Balaban 指數(shù)的猜想，并指出很難找到J （ Ln ） 的一個好的上界；鄧波等［14］改進了Knor 等提出的兩類3 正則圖的相關(guān)結(jié)果，并獲得了J （ Ln ） 的一個上界；Ahmad 等［15］得到了一類正則圖的Balaban 指數(shù)計算公式。關(guān)于其他的一些研究成果，可查閱文獻［16-19］。

本文解決了文獻［13］中提出的3 正則圖Ln 的Balaban 指數(shù)計算問題。采用分類討論的方法，給出了J （ Ln ） 的計算公式，并利用該公式，分別得到了J （ Ln ） 的上、下界。計算結(jié)果表明，本文所得上界優(yōu)于文獻［14］所給上界，且當圖的階數(shù)大于等于42 時，該上界與精確值相差不超過0.1。

1 準備工作

即本研究得到了更好的上界。同時，由上述定理3 可知，若偶數(shù)n ≥ 42，則該上界與J （ Ln ） 準確值相差不超過0.1，所以可用該上界更好地估計J （ Ln ） 的值。

圍繞文獻［13］中關(guān)于立方體圖中具有極小Balaban 指數(shù)的猜想，可進一步研究其他立方體圖的Balaban 指數(shù)，將其與本文所得結(jié)果進行比較，獲得一些具有極小Balaban 指數(shù)的立方體圖的性質(zhì)，從而刻畫出具有極小Balaban 指數(shù)的立方體圖。

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基金項目：山西省回國留學(xué)人員科研項目（2022-149）；山西省自然科學(xué)基金（20210302124212）