摘要：內(nèi)態(tài)間的量子相干性對于旋量多體系統(tǒng)的宏觀物性具有重要影響。本文運(yùn)用平均場方法研究了贗自旋1/2 玻色氣體在Rabi 耦合強(qiáng)度趨于零情形的基態(tài)相圖。當(dāng)同自旋原子具有非對稱的排斥相互作用時，體系會在適當(dāng)?shù)氖еC參數(shù)下發(fā)生兩種自旋極化相反的飽和鐵磁凝聚體的相分離。根據(jù)熱力學(xué)的相平衡條件，確定了相分離態(tài)的密度范圍。在轉(zhuǎn)變區(qū)間，壓強(qiáng)隨體積的變化曲線呈現(xiàn)出類似于經(jīng)典氣液相變的平臺特征。在順磁相與相分離態(tài)的邊界，等溫壓縮率趨于發(fā)散。我們討論了這種相分離與非相干玻色混合氣體中不混溶現(xiàn)象的區(qū)別。本文得到的結(jié)果為進(jìn)一步研究旋量凝聚體在有限Rabi耦合強(qiáng)度下的基態(tài)性質(zhì)提供了基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：玻色-愛因斯坦凝聚體；旋量玻色氣體；相分離；相變

中圖分類號：O51 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：0253-2395（2024）05-1015-06

0 引言

近年來，冷原子多分量玻色-愛因斯坦凝聚體（BEC）的平衡態(tài)與動力學(xué)性質(zhì)受到了廣泛的關(guān)注［1-4］。根據(jù)組分間相干性的不同，多分量BEC又可以分為無耦合的混合凝聚體和旋量凝聚體兩大類。對于非相干的二元玻色混合氣體，平均場理論預(yù)言，當(dāng)不同組分原子間的排斥相互作用強(qiáng)于同組分原子間的排斥作用時，基態(tài)會發(fā)生不混溶的相分離［5］。實(shí)驗上，通過Feshbach 共振技術(shù)調(diào)節(jié)原子間的散射長度，在23Na-87Rb［6］ 、39K-87Rb［7］、41K-87Rb［8］、85Rb-87Rb［9］ 等體系中都觀測到了混溶態(tài)到不混溶態(tài)的轉(zhuǎn)變。最近的理論工作指出，計及超平均場的量子漲落效應(yīng)后，體系還可能出現(xiàn)新奇的部分混溶現(xiàn)象［10］。

旋量凝聚體的一種最簡單的實(shí)例是占據(jù)兩個相鄰超精細(xì)能級的贗自旋1/2 玻色氣體。通過施加外場耦合，原子可以在兩個內(nèi)態(tài)間實(shí)現(xiàn)可調(diào)控的自旋翻轉(zhuǎn)，從而導(dǎo)致更加豐富的物理現(xiàn)象，比如，相干Rabi 振蕩［11-12］、相互作用調(diào)控［13-15］、磁疇動力學(xué)［16］、超平均場效應(yīng)［17］、鐵磁相變［18］、氣液共存［19］ 等。這些問題引起了實(shí)驗和理論研究的極大興趣。

混合凝聚體與旋量凝聚體的一個重要區(qū)別在于，前者中各組分的原子數(shù)是分別守恒的，而后者由于允許內(nèi)態(tài)間的躍遷，只有總原子數(shù)保持恒定。如果內(nèi)態(tài)間的耦合較強(qiáng)，這種差別是顯而易見的。但在耦合很弱的情況下，旋量相干性的物理效應(yīng)則往往被忽視。目前，旋量BEC 的基態(tài)性質(zhì)和相變特征尚不清楚，本文運(yùn)用平均場方法研究了贗自旋1/2 玻色氣體在相干耦合強(qiáng)度趨于零情形的基態(tài)相圖。結(jié)果表明，當(dāng)同自旋原子間具有非對稱的排斥相互作用時，體系在適當(dāng)?shù)氖еC和密度參數(shù)下，會發(fā)生兩種自旋極化相反的飽和鐵磁凝聚體的相分離。通過分析物態(tài)方程和壓縮率的變化，我們刻畫了基態(tài)的相變特征，討論了這種相分離與非相干二元體系中不混溶現(xiàn)象的區(qū)別，并強(qiáng)調(diào)了組分間的相干性對于宏觀物性的重要影響。

1 模型與平均場理論

考慮原子間為短程相互作用的贗自旋1/2玻色氣體，體系的哈密頓量寫為

其中ψ?↑和ψ?↓分別為自旋向上和向下分量的場算符，m 為原子質(zhì)量，Ω 為自旋態(tài)間的Rabi 耦合強(qiáng)度，Δ 為失諧量（無Rabi 耦合時Δ/2 相當(dāng)于縱向的塞曼場），g↑↑和g↓↓為同自旋原子之間的相互作用強(qiáng)度，g↑↓為相反自旋原子間的相互作用強(qiáng)度，這里設(shè)定相互作用勢均為排斥勢。

本文將重點(diǎn)研究Rabi 耦合強(qiáng)度Ω → 0 的情形。實(shí)驗上，這種情形可以通過以下方式實(shí)現(xiàn)：先在Ω 為有限大小的條件下制備出體系的平衡態(tài)，然后絕熱地將Rabi 耦合強(qiáng)度逐漸調(diào)至零。我們假定在此過程中，兩自旋分量始終保持相干性，使得終態(tài)的原子仍可在超精細(xì)能級間自由翻轉(zhuǎn)。這種旋量屬性在非相干混合氣體中是不被允許的。

后文將指出，該體系僅當(dāng)同自旋原子間具有非對稱相互作用時（即g↑↑≠ g↓↓）才會發(fā)生兩種飽和鐵磁BEC 的相分離。不失一般性，我們不妨設(shè)g↑↑gt; g↓↓。將下面所得結(jié)果的旋量指標(biāo)互換，并取Δ → -Δ，即可描述g↑↑lt; g↓↓的情形。

我們運(yùn)用平均場理論考察體系的基態(tài)。在均勻情形下，凝聚體波函數(shù)寫為

其中n↑和n↓分別為自旋向上和向下分量的原子密度，二者之和為總原子密度n。相位θ↑和θ↓的取值在我們考察的情況下（Ω → 0）并沒有實(shí)質(zhì)性影響，凝聚體在單位體積內(nèi)的能量為

對于給定的原子密度n，磁化強(qiáng)度M 的取值應(yīng)使能量密度E 盡可能地小，從而確定體系的基態(tài)。

2 基態(tài)相圖與物態(tài)方程

2.1 磁性模型

如果將能量密度E 看作磁化強(qiáng)度M 的單變量函數(shù)，則平均每個原子的能量ε = E/n 可以形式上用下面的半經(jīng)典磁性模型表達(dá)［20］

ε（ M ）= ε0 - Bz M +1／2αM 2， （5）

其中ε0 是與磁化強(qiáng)度M 無關(guān)的能量，Bz 為塞曼場，α 為描述磁化相互作用的唯象參數(shù)。

對于（5）式描述的磁性系統(tǒng)，在α gt; 0 的條件下會出現(xiàn)三種基態(tài)：當(dāng)Bz gt; α 時，基態(tài)為M = 1 的飽和鐵磁相；當(dāng)Bz lt;-α 時，基態(tài)為M =-1 的飽和鐵磁相；在-α lt; Bz lt; α 區(qū)間，基態(tài)為順磁相。順磁相的磁化強(qiáng)度滿足極值條件dε／dM = 0，由此可以明確解出M = Bz／α 。通過調(diào)節(jié)Bz 和α，可以實(shí)現(xiàn)順磁相與飽和鐵磁相間的轉(zhuǎn)變，磁化強(qiáng)度在轉(zhuǎn)變點(diǎn)連續(xù)變化。這種轉(zhuǎn)變在Bz 和α 均為零時終止，該參數(shù)點(diǎn)即為磁化相變的臨界點(diǎn)，其臨界特征為順磁相的磁化率在臨界點(diǎn)處發(fā)散。

在α lt; 0 的條件下，體系的基態(tài)則只可能是飽和鐵磁相，當(dāng)Bz gt; 0 時基態(tài)的磁化強(qiáng)度M =1，當(dāng)Bz lt; 0 時M =-1。在兩相的分界處，磁化強(qiáng)度發(fā)生跳變。

2.2 順磁-鐵磁相變的力學(xué)特征

對于我們考察的旋量BEC，取有效塞曼場Bz =Δ／2- g↑↑- g↓↓／4 n 和有效磁化作用參數(shù)α =g↑↑+ g↓↓- 2g↑↓／4 n，體系的能量函數(shù)即可形式上映射為上述磁性模型。但這里的不同之處在于，Bz 和α 都與原子密度n 有關(guān)，這導(dǎo)致基態(tài)相變會展現(xiàn)出與純磁性模型不同的新特征。

首先，順磁相只有在g↑↓lt; g 時才能穩(wěn)定存在，它與飽和鐵磁相之間的轉(zhuǎn)變伴隨著壓縮率的階躍變化。這里g ≡ g↑↑g↓↓ 定義為同自旋原子相互作用強(qiáng)度的幾何平均值。

根據(jù)基態(tài)能量的極值條件，可以得到順磁相的磁化強(qiáng)度

M = 2Δ -（ g↑↑- g↓↓） n／（ g↑↑+ g↓↓- 2g↑↓） n， （6）

當(dāng)失諧Δ 滿足

Δ =（ g↑↑- g↑↓） n， （7）

順磁相轉(zhuǎn)變?yōu)镸 = 1 的飽和鐵磁相。當(dāng)失諧Δ滿足

Δ =（ g↑↓- g↓↓） n， （8）

順磁相轉(zhuǎn)變?yōu)镸 =-1 的飽和鐵磁相。（7）式和（8）式概括了g↑↓lt; g 時三個BEC 相之間的相邊界。

由熱力學(xué)關(guān)系，可以求得體系的壓強(qiáng)P =n ?E／?n - E 和等溫壓縮率κ =1n?n／?P 。對于順磁相，

κ =g↑↑+ g↓↓- 2g↑↓／（ g2 - g2 ↑↓） n2 。（9）

對于M = 1 和M =-1 的飽和鐵磁相，壓縮率分別為κ = 1／g↑↑n2 和κ = 1／g↓↓n2。容易驗證，在g↑↓lt; g 條件下，順磁相的壓縮率比兩種飽和鐵磁相的壓縮率都要大。因此，在順磁-飽和鐵磁相邊界，κ 會出現(xiàn)如圖1 所示的跳變。這種相變的力學(xué)特征在純磁性模型中是沒有的，它源于凝聚體的相互作用能對密度的非線性依賴關(guān)系。

對于非對稱的自旋相互作用（ 即g↑↑≠ g↓↓），當(dāng)g↑↓→ g 時，順磁相的壓縮率趨于發(fā)散，這表示體系達(dá)到了力學(xué)穩(wěn)定性的邊緣。

2.3 相分離

當(dāng)g↑↓繼續(xù)增大，進(jìn)入g lt; g↑↓lt; g↑↑+ g↓↓／2 范圍時，盡管順磁相的能量在一定失諧范圍內(nèi)仍然是E （ M ） 函數(shù)的最小值，但（9）式給出的壓縮率是小于零的，說明均勻的凝聚體是不穩(wěn)定的，會發(fā)生旋節(jié)分解。需要強(qiáng)調(diào)的是，在我們的體系中，原子間的相互作用都是排斥性的，力學(xué)失穩(wěn)的物理根源是失諧場和非對稱相互作用競爭導(dǎo)致的自旋扭轉(zhuǎn) （spin twist），這與通常由吸引相互作用引發(fā)的塌縮是不同的。

圖2 左圖顯示了在給定失諧和相互作用參數(shù)下飽和鐵磁相與順磁相的P-v 曲線，其中v =n-1 為平均每個原子占據(jù)的體積。類似于范德瓦爾斯的氣液相變模型，這里的P-v 曲線也呈現(xiàn)出先下降-后上升-再下降的非單調(diào)變化。因此，在中間一段密度范圍內(nèi)，體系真正的基態(tài)應(yīng)當(dāng)是兩種自旋極化相反的飽和鐵磁BEC 的相分離態(tài)。相分離態(tài)的平衡壓強(qiáng)（圖中水平粗線所示）可以用麥克斯韋等面積法則確定［21-22］。

設(shè)相分離態(tài)中M = 1 的凝聚體密度為n+s ，M =-1 的凝聚體密度為n-s ，它們滿足熱力學(xué)相平衡條件

P （ n+s ）= P （ n-s ） ， μ（ n+s ）= μ（ n-s ）， （10）

其中壓強(qiáng)P 和化學(xué)勢μ 可以根據(jù) （4） 式表達(dá)為密度n 的函數(shù)，由此解得

n+s =Δ／g↑↑- g ， n-s =Δ／g - g↓↓。（11）

這兩個密度值給出了相分離區(qū)間的密度上界和下界。由于順磁相在此區(qū)間會發(fā)生力學(xué)失穩(wěn)，所以磁性模型預(yù)言的量子臨界點(diǎn)實(shí)際上是無法實(shí)現(xiàn)的。

當(dāng)g↑↓進(jìn)一步增大至g↑↓gt; g↑↑+ g↓↓／2 范圍時，能量函數(shù)E （ M ） 的最小值只可能出現(xiàn)在M = 1或-1 處。圖2 右圖顯示了在給定失諧和相互作用參數(shù)下兩種飽和鐵磁相的P-v 曲線，兩段曲線的壓強(qiáng)取值有交疊部分，這意味著基態(tài)仍會發(fā)生兩種飽和鐵磁BEC 的相分離。由于兩段均勻相的P-v 曲線不相連通，通常的麥克斯韋等面積法則在這里并不適用。我們可以通過相平衡條件（10）式確定相分離的密度范圍，所得結(jié)果與（11）式相同。

在相分離區(qū)間，均勻的飽和磁化相可在適當(dāng)條件下作為亞穩(wěn)態(tài)存在，其能量雖然比相分離態(tài)更高，但仍然是E （ M ） 函數(shù)的局域極小值。對于M = 1 的飽和鐵磁相，亞穩(wěn)條件可以明確地寫為Δ +（ g↑↓- g↑↑） n gt; 0，它劃定的亞穩(wěn)邊界實(shí)際上就對應(yīng)于（7）式在g↑↓gt; g 一側(cè)的延長線。類似地，對于M =-1 的飽和鐵磁相，我們可以得到亞穩(wěn)條件為Δ +（ g↓↓- g↑↓） n lt; 0，它劃定的亞穩(wěn)邊界對應(yīng)于（8）式給出的延長線。

2.4 基態(tài)相圖

綜合以上結(jié)果，我們得到圖3 所示的基態(tài)相圖。當(dāng)g↑↓lt; g 時，順磁相和飽和鐵磁相都是力學(xué)穩(wěn)定的，它們之間的兩條相邊界分別由（7）式和（8）式給出；當(dāng)g↑↓gt; g 時，除兩種均勻的飽和鐵磁相以外，還會出現(xiàn)二者的相分離態(tài)，相分離的密度區(qū)間由（11）式確定。磁性模型預(yù)言的臨界點(diǎn)就落在這個區(qū)間內(nèi)，因此磁化率發(fā)散的量子臨界現(xiàn)象實(shí)際上是觀測不到的。圖3 還標(biāo)出了飽和鐵磁相作為亞穩(wěn)態(tài)存在的邊界（虛線）。當(dāng)g↑↓gt; g↑↑+ g↓↓／2 時，亞穩(wěn)相區(qū)可以覆蓋整個相分離區(qū)域，甚至延伸至相分離區(qū)域以外；當(dāng)g lt; g↑↓lt; g↑↑+ g↓↓／2 時，亞穩(wěn)相區(qū)則只能覆蓋相分離區(qū)域的一部分，而另一部分則對應(yīng)于均勻相無法保持穩(wěn)定的旋節(jié)區(qū)間。

值得指出的是，上述相分離圖象只適用于同自旋原子間具有非對稱相互作用的情形。當(dāng)g↑↑= g↓↓ 時，（9） 式給出的壓縮率κ =2／（ g + g↑↓） n2 恒為正數(shù)，說明順磁相不會出現(xiàn)力學(xué)失穩(wěn)。在這種情況下，順磁- 鐵磁相變的量子臨界點(diǎn)仍然是可以實(shí)現(xiàn)的。

3 與非相干混合凝聚體的比較

本文討論的相分離態(tài)與非相干玻色混合氣體中的不混溶態(tài)具有相同的構(gòu)型，但在后者的情形下，組分間的內(nèi)態(tài)轉(zhuǎn)化是被嚴(yán)格禁止的，因此這兩種相分離也存在如下重要區(qū)別：首先，在非相干玻色混合氣體中，混溶條件僅由相互作用參數(shù)決定［5］，與體系的密度或體積無關(guān)。而對于我們考慮的贗自旋體系，P-v曲線在相分離區(qū)間呈現(xiàn)類似于氣液相變的平臺特征，這意味著均勻態(tài)與相分離態(tài)間的轉(zhuǎn)變可以通過體積的膨脹和壓縮來實(shí)現(xiàn)。

其次，在非相干混合體系中，均勻相的旋節(jié)分解源于組分間的擴(kuò)散不穩(wěn)定性，當(dāng)發(fā)生混溶-不混溶相變時，壓縮率并無奇異性的表現(xiàn)。而在贗自旋體系中，順磁相的旋節(jié)分解源于力學(xué)不穩(wěn)定性，在順磁相和相分離態(tài)的交界處，體系的壓縮率會出現(xiàn)發(fā)散。

最后，在非相干混合體系中，無論同種原子間的相互作用是否相等，不混溶態(tài)都可以在給定的組分配比下穩(wěn)定存在。而對于旋量凝聚體，相分離態(tài)只有在g↑↑≠ g↓↓時才能保持穩(wěn)定。當(dāng)g↑↑= g↓↓時，任意小的失諧漲落即會導(dǎo)致全部原子極化到同一自旋方向上，從而破壞相分離結(jié)構(gòu)。

4 結(jié)論

綜上所述，本文運(yùn)用平均場方法研究了贗自旋1/2 玻色氣體在Rabi 耦合強(qiáng)度趨于零時的基態(tài)相圖。我們考察了原子間相互作用對于順磁-鐵磁相變的影響，指出當(dāng)同自旋原子間具有非對稱相互作用時，體系會在適當(dāng)?shù)氖еC和密度參數(shù)下發(fā)生兩種自旋極化相反的飽和鐵磁BEC 的相分離。通過計算壓縮率和P-v 曲線，我們刻畫了基態(tài)的相變特征，這些特征是不能用純磁性模型描述的。本文的結(jié)果有助于進(jìn)一步研究有限Ra?bi 耦合強(qiáng)度下旋量凝聚體的基態(tài)性質(zhì)。

致謝：感謝山西大學(xué)理論物理研究所余增強(qiáng)教授對此項工作的指導(dǎo)意見。

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基金項目：國家自然科學(xué)基金（12104275；12174230）