[摘 要] 課堂上給學生留下充足的思考時間，為學生創(chuàng)造更多的提問、探索與表達的機會，可有效發(fā)散學生的思維，培養(yǎng)學生的學科核心素養(yǎng). 文章以“指數(shù)函數(shù)”的教學為例，從“情境創(chuàng)設，激發(fā)探究興趣”“積極互動，揭露知識本質”“例題分析，增強應用意識”“回顧反思，提煉總結升華”四個方面展開教學設計與分析.

[關鍵詞] 過程;核心素養(yǎng);指數(shù)函數(shù)

隨著新課改的推進，發(fā)展學科核心素養(yǎng)已成為各門學科教學的主要任務. 高中數(shù)學教學，該如何引導學生經歷知識的形成過程，以發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)呢？筆者認為，為學生提供充足的思考時間，將課堂提問的權利、探索過程以及表達的機會都留給學生，可有效提高學生的邏輯推理能力，讓學生從真正意義上掌握概念的內涵與外延，實現(xiàn)深度學習，提升學力. 本文以“指數(shù)函數(shù)”為例，談談如何實踐這一教學理念.

教學簡錄

1. 情境創(chuàng)設，激發(fā)探究興趣

情境1 統(tǒng)計顯示，某市在2023年共產生了1千萬噸垃圾，如果以年均8%的速度增長，那么在2024年該市大約會產生多少垃圾？2025年呢？如果將2024年記為第一年，該市第x年產生的垃圾量為y，請寫出x與y之間的關系式.

對于學生而言，這個情境問題的難度不大. 學生很快就計算出該市在2024年產生的垃圾量為1.08千萬噸，在2025年產生的垃圾量為1.082千萬噸;關系式為y=1.08x（x∈N*）.

情境2 有人說，將一張普通的紙張連續(xù)對折64次，能搭建起地球通向月球的階梯. 對于這個說法，大家覺得可信度是多少？現(xiàn)在請大家取出白紙自主折疊，在折疊過程中探索對折次數(shù)x與對折后紙張的層數(shù)y之間的關系，并寫出關系式. 若白紙的面積是1，經過多次對折后，每層紙張的面積y與對折次數(shù)x之間存在怎樣的關系？用式子表達出來.

對于這個情境問題，學生通過思考與交流，得到對折次數(shù)x與對折后紙張的層數(shù)y之間的關系式為y=2x（x∈N*）;每層紙張的面積y與對折次數(shù)x之間的關系式為y=

x（x∈N*）.

設計意圖 上述兩個情境與學生的生活有一定的聯(lián)系. 情境1的提出，一方面引發(fā)學生對本節(jié)課所學內容的探索興趣，另一方面引發(fā)學生的環(huán)保意識，讓學生切身感知當前的垃圾產量巨大，對未來生活會產生較大的負面影響，因此需做好日常的垃圾分類工作，爭取做一個環(huán)保達人. 關于情境2，學生并不陌生，但要寫出相應的關系式，需要通過思考與交流. 這兩個情境成功吸引了學生的思維，使其聚焦于教學主題，為后續(xù)教學活動的開展做好了鋪墊.

2. 積極互動，揭露知識本質

（1）探索指數(shù)函數(shù)的一般形式

師：借助以上兩個情境，咱們獲得了幾個關系式？

生1：三個關系式：y=1.08x（x∈N*），y=2x（x∈N*）與y=

x（x∈N*）.

師：如果將關系式中的“x∈N*”改成“x∈R”，那么這三個關系式能否構成x與y的函數(shù)表達式呢？

學生給出肯定的答案，因為每一個確定的x，均存在唯一確定的y和它對應. 在此基礎上，教師要求學生說一說這三個函數(shù)表達式的共同特征. 學生經交流和補充，列舉了以下三個特征：三個函數(shù)表達式均為指數(shù)式，x均位于指數(shù)上，底數(shù)均為常數(shù).

師：能否根據以上特征，寫出此類函數(shù)的一般形式？

生2：y=ax.

師：咱們觀察這個函數(shù)表達式，可見底數(shù)是常數(shù)，自變量位于指數(shù)上，但它的定義域是什么呢？

生3：應該是實數(shù)集R.

師：類似于y=ax（x∈R）的函數(shù)，就是我們即將重點探索的一種新函數(shù)——指數(shù)函數(shù)（板書：指數(shù)函數(shù)）. 現(xiàn)在請大家列舉一些指數(shù)函數(shù).

生4：如y=a3，y=a-5等.

生5：我認為生4所舉的這兩個例子不對，因為這兩個函數(shù)表達式不符合指數(shù)函數(shù)的定義. 指數(shù)函數(shù)的指數(shù)是自變量x，但這兩個函數(shù)的指數(shù)均為常數(shù).

師：誰來列舉一些指數(shù)函數(shù)的例子？

生6：如y=3x，y=1x，y=（）x.

生7：還可以補充一些，如y=

，y=（-3）x，y=0x.

生8：他們列舉的函數(shù)雖然都符合y=ax的形式，但都沒有提及定義域.

師：很好！是不是大家列舉的所有函數(shù)的定義域均為R呢？現(xiàn)在請大家合作討論.

學生合作討論后獲得結論為：y=0x并不滿足定義域為R的要求，當x≤0時，該式就沒有實際意義了;y=（-2）x也不滿足定義域為R的要求，因為（-2）=無意義;而y=1x的結論恒為y=1，此為一個常數(shù)函數(shù).

師：y=1x為常數(shù)函數(shù)是之前研究的內容，本節(jié)課不再繼續(xù)探索，這里我們明確規(guī)定指數(shù)函數(shù)y=ax中a>0且a≠1（板書強調底數(shù)的取值范圍）.

設計意圖 借助情境問題所構建的函數(shù)表達式，探索指數(shù)函數(shù)的一般形式，整個過程自然、樸實、流暢. 在師生積極且深入的互動交流下，學生清晰地把握了函數(shù)的定義域問題. 這種引導方式與新課標所倡導的“以生為本”“自主學習”等理念不謀而合.

（2）探索指數(shù)函數(shù)的性質

師：基于以上探索，大家對指數(shù)函數(shù)的概念已經有了初步認識.若想進一步研究指數(shù)函數(shù)，根據以往的學習經驗，接下來該研究什么呢？

生（眾）：指數(shù)函數(shù)的性質.

師：結合以往咱們研究一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的經驗，大家覺得可從何處著手來研究指數(shù)函數(shù)的性質？

生9：可從函數(shù)圖象著手來研究. 根據以往的經驗，通過列表、描點、連線可畫出指數(shù)函數(shù)的圖象.

師：非常好！將學習方法與經驗遷移到新知的學習中，這就是數(shù)學能力的體現(xiàn). 現(xiàn)在請你們自主選擇1～2個指數(shù)函數(shù)，在自己的小方格紙上畫出其圖象.

要求前后桌四位學生畫不一樣的指數(shù)函數(shù)圖象，畫完圖象后，重點說一說自己所畫的圖象的異同點.

生10：我發(fā)現(xiàn)四個同學所畫的指數(shù)函數(shù)圖象均過點（0，1）.

師：關于指數(shù)函數(shù)的圖象過點（0，1），有沒有辦法證明？

生10：因為a0=1（a>0，且a≠1），所以指數(shù)函數(shù)的圖象均過點（0，1）.

師：不錯，關于指數(shù)函數(shù)的特征，還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

生11：若指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為整數(shù)，其圖象從左往右呈上升趨勢;若底數(shù)為分數(shù)，其圖象從左往右呈下降趨勢.

生12：這么表達不嚴謹，應該是：當a>1時，指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象從左往右呈上升趨勢;而當0<a<1時，指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象從左往右呈下降趨勢.

師：這兩位同學的結論究竟正不正確呢？接下來我們一起借助幾何畫板進行驗證.

利用幾何畫板的直觀演示功能，展示指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a取值變化時，其圖象的變化情況，并在同一個坐標系內作以下幾組指數(shù)函數(shù)的圖象：y=2x和y=

;y=3x和y=

;y=10x和y=

.

師：通過圖象展示，大家覺得誰的結論更準確一些？根據圖象演示，你們從中有沒有發(fā)現(xiàn)新的特征？

生13：生12的說法更準確. 通過圖象觀察，發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）的圖象一直處于x軸的上方，且無限趨近于x軸.

生14：我發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)y=ax和y=

（a>0，且a≠1）的圖象具有關于y軸對稱的特點.

生15：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大，其位于第一象限內的圖象就越往上，但在第二象限則剛好相反.

……

教師充分肯定學生的發(fā)現(xiàn)，并將學生的發(fā)現(xiàn)逐條羅列出來，整理為指數(shù)函數(shù)的性質，并板書.

設計意圖 引導學生結合其他函數(shù)的探索經驗，自主進入指數(shù)函數(shù)性質的探索中來. 隨著經驗的遷移與圖象的輔助，學生的思維在由淺入深的探索中逐漸明朗. 教師將學生發(fā)現(xiàn)的各個性質整合在一起板書出來，可進一步深化學生對指數(shù)函數(shù)性質的理解，提升學生的思考能力，為后續(xù)靈活應用夯實基礎.

（3）探索指數(shù)函數(shù)的值域與單調性

師：函數(shù)圖象處于x軸的上方，可以看出函數(shù)的什么性質？

生16：可見函數(shù)的值域是（0，+∞）.

（教師板書值域）

師：升、降趨勢分別對應函數(shù)的什么性質？該怎樣描述？

生17：升、降趨勢分別對應函數(shù)的遞增、遞減性，也就是當a>1時，指數(shù)函數(shù)y=ax在區(qū)間（-∞，+∞）上單調遞增;當0<a<1時，指數(shù)函數(shù)y=ax在（-∞，+∞）上單調遞減. （教師板書指數(shù)函數(shù)的單調性）

師：以上所獲得的指數(shù)函數(shù)的性質，都是通過觀察圖象而來的，還缺乏嚴謹?shù)淖C明過程. 但證明過程涉及一些我們尚未接觸的內容，因此將其放在以后進行探索. 請大家將本節(jié)課所掌握的指數(shù)函數(shù)的定義、圖象、性質等整理到表格中.

設計意圖 值域與單調性是指數(shù)函數(shù)的重要性質，在后續(xù)解決一些綜合性問題時涉及較多，因此需著重加以引導，并要求學生將對應內容整理到表格中. 幫助學生進一步梳理知識結構，完善知識架構，形成良好的辨析能力，為接下來的實際應用奠定基礎.

3. 例題分析，增強應用意識

多媒體展示如下式子，要求學生比較各組式子的大?。孩?3.2，22.5;②0.8-1.5，0.8-1.2;③0.81.2，1.50.3.

對于①②組的大小比較，大部分學生根據函數(shù)y=2x與y=0.8x的單調性，可順利解決. 但對于③組，則需要進行深入的探索. 由于③組中的式子的底數(shù)與指數(shù)均不一樣，因此只構造一個指數(shù)函數(shù)顯然無法比較大小. 為了解決這一問題，有學生提出將0.81.2轉化為（0.84）0.3，并在同一坐標系內畫出y=1.5x與y=（0.84）x的圖象，通過對x=0.3時對應點的縱坐標的比較，獲得結論：1.50.3>（0.84）0.3=0.81.2.

除此之外，還可以構造兩個指數(shù)函數(shù)y=1.5x，y=0.8x，將它們的圖象畫在同一個坐標系內，通過對x=0.3與x=1.2時對應點的縱坐標的比較，可知1.50.3>0.81.2.

基于以上分析，還有學生提出：可根據指數(shù)函數(shù)的單調性分別構造y=1.5x，y=0.8x，則1.50.3>1.50=1，0.81.2<0.80=1，因此1.50.3>0.81.2.

設計意圖 此問意在發(fā)展學生的應用意識，增強學生的應變能力. 通過指數(shù)冪的大小比較，學生不僅獲得良好的解題能力，還在解題過程中不斷優(yōu)化思維，提升理解與分析能力，此為發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)的基礎. 尤其是中間量的發(fā)現(xiàn)，使得解題過程更加便捷，凸顯了數(shù)學思維的靈活性.

4. 回顧反思，提煉總結升華

鼓勵學生自主總結本節(jié)課學習了指數(shù)函數(shù)的哪些知識，應用了哪些研究方法與數(shù)學思想等，并在課堂尾聲留下思考與探索問題，以滿足不同認知水平學生的發(fā)展需求.

思考：對于情境2，若想讓折疊后的每層紙張的面積均小于0.05，至少需折疊幾次？

探索：情境2中提到“將一張普通的紙張連續(xù)對折64次，能搭建起地球通向月球的階梯”，這句話正確嗎？（設地球與月球的距離為38.4×104 km）.

設計意圖 本節(jié)課學習了指數(shù)函數(shù)的定義、性質與應用等，涉及數(shù)形結合、特殊到一般、具體到抽象等數(shù)學思想，對教學內容的總結和回顧可進一步夯實知識基礎，完善知識體系. 而思考與探索問題的提出，為學生留下了懸念，激趣的同時進一步拓寬學生的思維.

思考感悟

打造自然、樸實、智慧、高效的課堂是促進教育高質量發(fā)展的基礎，也是提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)的關鍵. 好的問題情境，一般選擇與學生生活相關的素材作為背景，學生基于這種背景更容易培養(yǎng)出良好的建模能力和“三會”能力.

本節(jié)課，以“社會熱點問題——垃圾的產量”“趣味性問題——紙張折疊形成的高度”為情境素材，成功激發(fā)了學生的探索欲，并增強了他們的環(huán)保意識. 隨著問題的探索與研究，學生不僅明晰了指數(shù)函數(shù)的相關知識，還獲得了良好的數(shù)學遷移能力以及“四基”“四能”. 這些都是發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)的基石.

總之，秉持“以生為本”的教學理念，踐行深度學習，能夠為學生開辟更為廣闊的思考與探索空間，不斷發(fā)散學生的思維，挖掘學生的潛能，提升學生的推理能力與創(chuàng)新能力，為培養(yǎng)學生可持續(xù)性發(fā)展能力與關鍵性人格品質做鋪墊.