[摘 要] 數(shù)學(xué)概念是建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的核心，其在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位和價(jià)值是不言而喻的. 在概念教學(xué)中，教師應(yīng)充分發(fā)揮大觀念持久性、可遷移性的優(yōu)勢(shì)，創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生經(jīng)歷概念形成、發(fā)展與應(yīng)用的過(guò)程，以此促進(jìn)知識(shí)聯(lián)結(jié)與建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生可持續(xù)學(xué)習(xí)能力，提升學(xué)生的思維品質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 概念教學(xué);大觀念;思維品質(zhì)

在概念教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、分析、探究和合作來(lái)體驗(yàn)概念的形成、發(fā)展與應(yīng)用，從而幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 本文以“弧度制”的教學(xué)為例，探討大觀念指導(dǎo)下的概念教學(xué)方法.

教學(xué)設(shè)計(jì)

在弧度制的教學(xué)中，若教師僅介紹概念和換算方法，不引導(dǎo)學(xué)生理解概念的形成和演變，則會(huì)導(dǎo)致學(xué)生將其視為簡(jiǎn)單的度量單位，不利于學(xué)生深入學(xué)習(xí)和應(yīng)用. 弧度制是三角函數(shù)中的關(guān)鍵概念，它促進(jìn)了幾何與代數(shù)的融合，方便了問(wèn)題的解決. 教師可利用歷史背景，引導(dǎo)學(xué)生理解弧度制的起源和發(fā)展，以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)弧度制的理解和教學(xué)效果.

1. 設(shè)置情境，提出問(wèn)題

師：我們班男生誰(shuí)最高？猜猜他有多高.

生1：1米85.

生2：187厘米.

師：同學(xué)們分別用米和厘米來(lái)度量身高，你們知道古代人是用什么來(lái)度量身高的嗎？

生齊聲答：尺.

師：很好，我們可以用米、尺等單位來(lái)度量長(zhǎng)度. 那么，質(zhì)量可以用什么單位來(lái)度量呢？

生3：噸、千克、斤、磅.

師：角可以用什么單位來(lái)度量呢？

生4：度、分、秒.

師：還有沒(méi)有其他單位可以用來(lái)度量角呢？（學(xué)生竊竊私語(yǔ)）

師：今天，我們一起來(lái)學(xué)習(xí)度量角的另一種單位制——弧度制.

師：結(jié)合學(xué)習(xí)角度制的經(jīng)驗(yàn)，你們認(rèn)為研究弧度制應(yīng)從何開(kāi)始？（學(xué)生沉思）

生5：定義單位角.

師：說(shuō)得很好，弧度制是如何定義單位角的呢？要解決這個(gè)問(wèn)題還需要從角度制談起，古巴比倫人以圓為載體，給出了1°角的定義，即將圓周分成360等份，每一份圓弧所對(duì)的圓心角的大小就是1°.

設(shè)計(jì)意圖 從學(xué)生熟悉的長(zhǎng)度和質(zhì)量的度量單位談起，自然引出度量角的另一種單位制——弧度制. 在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比角度制，確定弧度制的研究方向.

2. 問(wèn)題探究，提出概念

師：現(xiàn)以圓為載體，思考這樣一個(gè)問(wèn)題：在圓中，什么量與圓心角的大小有關(guān)呢？

生齊聲答：半徑r和弧長(zhǎng)l.

探究1 在角度制中，半徑r、弧長(zhǎng)l和圓心角n°之間有著怎樣的關(guān)系呢？

生6：l=.

師：可以用r和l表示n嗎？

生7：n=.

師：繼續(xù)變形得n=·，由此你發(fā)現(xiàn)了什么？

生8：是大于0的常數(shù)，是實(shí)數(shù)，n與成正比關(guān)系.

師：非常棒的發(fā)現(xiàn). 數(shù)學(xué)家歐拉以等分圓周為切入口，提出了弧度制，今天我們跟隨他的腳步一起來(lái)探索弧度制.

師：歐拉將圓周二等分、四等分，得到了表1所示的數(shù)據(jù). 結(jié)合表1不難發(fā)現(xiàn)，是π，這樣的實(shí)數(shù)，顯然與角度制中的180°，90°有所不同，于是歐拉就用π來(lái)表示二分之一的圓所對(duì)的圓心角，用表示四分之一的圓所對(duì)的圓心角.

師：結(jié)合表1及自己的探究結(jié)果，你們認(rèn)為可以如何定義單位角的大小呢？

生9：取等于r的弧長(zhǎng)l，得=1，這樣定義單位角可使運(yùn)算更簡(jiǎn)潔.

設(shè)計(jì)意圖 教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已有知識(shí)將半徑、弧長(zhǎng)、圓心角建立聯(lián)系，繼而讓學(xué)生理解用來(lái)度量角的大小的合理性. 在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生從“最簡(jiǎn)”的角度出發(fā)，理解取等于r的弧長(zhǎng)l去定義單位角的科學(xué)性.

3. 動(dòng)手操作，形成概念

師：如何畫(huà)長(zhǎng)度為r的弧長(zhǎng)呢？（教師引導(dǎo)學(xué)生利用“化直為曲”的思想得到一段長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧，并動(dòng)畫(huà)演示這一操作過(guò)程. ）

師：這段長(zhǎng)度等于r的圓弧所對(duì)的圓心角有多大呢？如果讓你畫(huà)出1弧度的角和2弧度的角，你會(huì)嗎？

教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生動(dòng)手操作，使其直觀感知1弧度的角和2弧度的角的大小. 在此基礎(chǔ)上，教師再給出一些相關(guān)規(guī)定，如在不引起誤解的前提下，可以將1 rad，π rad分別寫(xiě)成1，π.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)動(dòng)手操作讓學(xué)生直觀感知1弧度的角和2弧度的角的大小，引導(dǎo)學(xué)生抽象概括弧度制的定義.

4. 總結(jié)概括，深化概念

師：已知弧長(zhǎng)l和半徑r，你能求出α的弧度數(shù)嗎？

師生活動(dòng)：在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考、合作交流，最終確定用α=來(lái)表示α的弧度數(shù).其中，若α為正角，則α=;若α為負(fù)角，則α=-.

探究2 弧度制和角度制都是度量角的單位，兩者是否可以相互轉(zhuǎn)化呢？（學(xué)生自主探究）

設(shè)計(jì)意圖 此環(huán)節(jié)，教師基于學(xué)生的認(rèn)知體系，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究、合作交流，促進(jìn)學(xué)生內(nèi)化知識(shí).

5. 精選練習(xí)，理解概念

例1 把下列弧度化為角度：

（1）;（2）4.5.

例2 把下列角度化為弧度：

（1）142°;（2）11°15′.

解題時(shí)，教師讓學(xué)生獨(dú)立思考，并展示規(guī)范的解題過(guò)程.

探究3 在弧度制下，如何表示弧長(zhǎng)和扇形面積？

生10：由弧長(zhǎng)公式l=得l=αr，由扇形面積公式S=得S=αr2.

師：很好，還可以用其他方法轉(zhuǎn)化嗎？

生11：由α=得l=αr，S=lr=αr2.

師：可見(jiàn)，弧度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式簡(jiǎn)化了. 值得注意的是，在扇形面積公式中，α≤2π.

設(shè)計(jì)意圖 理解角度制和弧度制，掌握它們之間的轉(zhuǎn)化，認(rèn)識(shí)它們的區(qū)別和聯(lián)系，以加深對(duì)這些概念的理解.

6. 溝通聯(lián)系，拓展概念

探究4 在弧度制下，建立角的集合與實(shí)數(shù)集R之間的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，猜一猜，建立這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系有何深意呢？

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注蘊(yùn)含其中的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，體驗(yàn)弧度制的優(yōu)越性，為后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

7. 課堂小結(jié)，優(yōu)化認(rèn)知

師：通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你掌握了哪些知識(shí)？習(xí)得了哪些技巧？還有哪些疑問(wèn)？

設(shè)計(jì)意圖 教師安排時(shí)間讓學(xué)生深入反思和回顧，總結(jié)所學(xué)知識(shí)，提煉關(guān)鍵方法，分享經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)反思習(xí)慣，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

教學(xué)反思

1. 大觀念促進(jìn)知識(shí)理解，揭示概念本質(zhì)

在弧度制的概念教學(xué)中，教師沒(méi)有直接給出定義，而是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷概念形成和演變的過(guò)程，讓學(xué)生認(rèn)清弧度制和角度制的實(shí)質(zhì)就是劃分圓周. 在教學(xué)中，教師依托歷史事實(shí)，引導(dǎo)學(xué)生沿著古人的足跡探索弧度制，教會(huì)他們以發(fā)展的眼光審視世界，從而培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識(shí).

2. 大觀念促進(jìn)知識(shí)聯(lián)結(jié)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在探究弧度制的過(guò)程中，教師基于學(xué)生的認(rèn)知體系，引導(dǎo)他們回顧1°角的定義，并以等分圓周作為切入點(diǎn)，為新知的探索指明了方向. 教師結(jié)合教學(xué)實(shí)際設(shè)計(jì)探究性活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象、從特殊到一般的思維過(guò)程，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維能力，并讓學(xué)生深刻理解在大觀念框架下知識(shí)遷移的重要性.

3. 大觀念促進(jìn)知識(shí)建構(gòu)，提升思維品質(zhì)

在本節(jié)課中，教師設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)際相符的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中理解并深化概念，體驗(yàn)弧度制的優(yōu)勢(shì)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯分析和直觀想象能力. 教師還創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流、相互評(píng)價(jià)，以此不斷完善探究過(guò)程，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展.

總之，在大觀念的引導(dǎo)下，課堂教學(xué)需減少套路化的應(yīng)用，增加學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)和探究的機(jī)會(huì)，引領(lǐng)學(xué)生深入概念的形成與演化，輔助學(xué)生構(gòu)建系統(tǒng)性的知識(shí)結(jié)構(gòu)，助力學(xué)生獲得持久且可遷移的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而提高其思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).