【摘要】受個體差異影響，每一名學生的最近發(fā)展區(qū)有所不同，因此，在學科教學實踐中教師所開展的教學活動應能夠滿足不同層次學生的學習需求，促進學生快速跳躍最近發(fā)展區(qū)，繼而發(fā)展學生的技能.本文基于分層教學理念圍繞高中數(shù)學解題教學實踐，以高中數(shù)學排列組合問題為例，通過例舉排列組合相關(guān)習題和解析的方式，詮釋排列組合問題的分層解題教學模式，旨在提升高中數(shù)學解題教學實效.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學；分層教學；解題技巧

分層教學的核心思想為“以學定教”，即教師結(jié)合學生的基礎(chǔ)水平差異，將學生科學地劃分成不同層次進行教學，分層教學的本質(zhì)在于學生現(xiàn)有水平與最近發(fā)展區(qū)之間的相互轉(zhuǎn)化，通過分層教學使班級形成積極的學習氛圍，帶動班內(nèi)后進生快速提升知識掌握水平.在解題教學中實施分層教學模式，教師可以將具體的習題作為切入點，通過對習題的分層使各層次學生均能夠在解題教學中學有所獲.

1 基礎(chǔ)鞏固題組教學

在排列組合問題的專項解題教學實踐中，基礎(chǔ)鞏固題組的教學指導應側(cè)重于向?qū)W生傳授解題技巧，即使班內(nèi)存在部分學生已經(jīng)掌握了基礎(chǔ)鞏固題組的解題技巧，教師仍需給予必要的教學指導，從而兼顧班內(nèi)中等生，帶動班內(nèi)后進生，實現(xiàn)提升班級全體學生解題能力的教學目標.

例1 為了發(fā)展學生的審美素養(yǎng)，某校開設(shè)美術(shù)學類選修課程4門，設(shè)計學類選修課程4門，小紅從中共選3門課程.若要求兩類選修課程中至少選擇一門課程，則不同的選法共有（ ）種.

（A）24. （B）48. （C）32. （D）4.

解析 解題過程中，需要分兩種情況討論：其一，小紅選擇1門美術(shù)學類選修課與2門設(shè)計學類選修課，選法共有C¹C²=24；其二，小紅選擇2門美術(shù)學類選修課與1門設(shè)計學類選修課，選法共有C²C¹=24.合并兩種情況下的選法，共計48種選法.故答案為（B）.

對于該例題，教學實踐中教師應側(cè)重于引導學生掌握“分類討論”的解題技巧，通過設(shè)置“存在幾種選課方式”的交互問題啟發(fā)學生分兩種情況進行討論.

例2 5名警察A，B，C，D，E被分配到4個路口進行交通指揮工作，每名警察只能去一個路口，同時每個路口也至少要求有一名警察，其中警察A不能單獨完成工作，則分配方法共有（ ）種.

（A）24. （B）48. （C）96. （D）12.

解析 根據(jù)題意，除警察A，其余的警察B，C，D，E均能夠獨立工作，從B，C，D，E中選擇一人與警察A同時工作的分配方法共有C¹種，然后將剩余的三個警察視為三個組，所選擇的兩個人視為一組，組成四組，分到不同的路口處，共有A⁴種，則分配方法共有C¹A⁴=4×24=96.故答案為（C）.

對于該例題，教學實踐中教師應側(cè)重于引導學生應用“數(shù)形結(jié)合”法進行解題，通過板書的方式幫助學生理清無法單獨工作的警察A與其余四名警察之間的關(guān)系，為學生正確分配警察提供思路指引.

例3 圓桌上有西瓜2個、火龍果3個、蘋果3個，現(xiàn)將它們排成一列，要求2個西瓜相鄰、3個火龍果相鄰、3個蘋果中任意2個都不相鄰，則不同的排法有（ ）種.

（A）288. （B）144. （C）72. （D）36.

解析 首先，將2個西瓜視為1個整體；將3個火龍果視為1個整體，然后將其排成一排，排法共有A²種.其次，將3個蘋果插在兩個整體形成的3個空位中間，排法共有A³種.最后排2個西瓜有A²種方法、排3個火龍果有A³種排法，根據(jù)分步計數(shù)原理，不同的排法共有A²A³A²A³=144種.故答案為（B）.

分步計數(shù)原理是解決計數(shù)問題的一種基本方法，對于該例題，教學實踐中教師應側(cè)重于引導學生掌握“捆綁法”的解題技巧，并強調(diào)分步計數(shù)原理在解題過程中的應用，幫助學生內(nèi)化分步計數(shù)原理.

2 能力拔高題組教學

在排列組合問題的專項解題教學實踐中，能力拔高題組的教學指導應側(cè)重于鍛煉學生解題技巧的應用能力，經(jīng)過基礎(chǔ)鞏固題組的解題教學，班級學生已經(jīng)掌握了排列組合問題的解題技巧，如分類討論、捆綁法等，所以利用能力拔高題組教學進一步訓練學生解題技巧的靈活運用，可以促進班內(nèi)各層級學生跨越最近發(fā)展區(qū)，實現(xiàn)提升班級全體學生解題效率的教學目標.

例4 我國民用汽車號碼牌的編號主要由兩部分組成，第一部分為漢字表示省市簡稱、用英文字母表示發(fā)牌機關(guān)代號；第二部分為阿拉伯數(shù)字與英文字母組成的序號.對于“魯V·E8E96”，序號編碼規(guī)則為：由10個阿拉伯數(shù)字和除I，O之外的24個英文字母組成，且最多只能出現(xiàn)2個英文字母.那么采用5位序號編碼的魯V汽車牌照最多能夠發(fā)放____________萬張汽車號牌.

解析 分三種情況討論：（1）當號碼牌中存在兩個英文字母，同時兩個英文字母相同，可發(fā)放C¹×C²×10³=24×10⁴張；當號碼牌中兩個英文字母不相同時，可發(fā)放C²×A²×10³=552×10⁴張.（2）當號碼牌中存在一個英文字母時，可發(fā)放C¹×C¹×10⁴=120×10⁴張.（3）當號碼牌中沒有英文字母時，可發(fā)放10×10⁴張.所以滿足條件的汽車牌照共（552+24+120+10）×10⁴張，即706萬張.

對于該例題，教學實踐中教師應側(cè)重于引導學生應用“分類討論”法進行解題，通過設(shè)置“汽車號碼牌中的英文字母存在幾種情況”的交互問題啟發(fā)學生把握解題關(guān)鍵點，即兩個相同英文字母、兩個不同英文字母、一個英文字母、沒有英文字母，從而正確、快速解題.

例5 2024年4月15日是第九個全民國家安全教育日，省教育廳組織宣講團到各市6個不同高校進行國家安全知識宣講，宣講的時間順序要求為：甲高校必須被安排在第二個或第三個，同時在甲高校宣講結(jié)束后宣講團需要立即到高校丁進行國家安全知識宣講，而乙高校與丙高校不能相鄰，則不同的宣講順序共（ ）種.

（A）28. （B）32. （C）36. （D）44.

解析 根據(jù)題意，甲高校必須被安排在第二個或第三個，所以需要分兩種情況進行討論：情況①，當甲高校被安排在第二個時，丁高校必排在第三個，那么當乙/丙高校排在第一個時，共有C¹A³=12種排法，如果乙/丙高校不排在第一個時，那么這兩個高校只能排在第四個或者第六個，此情況下共有A²A²=4種排法.故，當甲高校被安排在第二個時，共有16種排法.情況②，當甲高校被安排在第三個時，丁高校必排在第四個，那么乙高校與丙高校只能一個在第一、第二個，另一個在第五、第六個，則有C¹C¹C¹A²=16種排法.綜上所述，滿足題意的排法共有32種.故答案為（B）.

對于該例題，教學實踐中教師應側(cè)重于引導學生應用“分類討論”法進行解題，通過設(shè)置“存在幾種情況”的交互問題將學生的關(guān)注點轉(zhuǎn)移到“甲高校必須被安排在第二個或第三個”這一已知條件上，從而進行分類討論，實現(xiàn)正確而快速解題.

3 結(jié)語

綜上所述，本文從基礎(chǔ)鞏固題組解題教學、能力拔高題組解題教學兩個方面論述了分層教學理念在解題教學中的具體應用.通過本文上述的理論分析得以明確，分層教學理念在高中數(shù)學解題教學中的應用有利于提升學生的解題能力與解題效率.在解題教學實踐中，教師應重視幫助學生掌握解題技巧，并利用不同層次水平的數(shù)學習題訓練學生解題技巧的應用，從而幫助學生跨越最近發(fā)展區(qū)，提升班級全體學生的解題能力與解題效率.

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