【摘要】本文研究、補(bǔ)充和整理歐氏幾何公理系統(tǒng)中外角定理及其推論，介紹歐氏幾何公理系統(tǒng)、合同公理及相關(guān)重要定理，重點(diǎn)介紹外角定理并證明其主要推論，說明歐氏幾何公理系統(tǒng)與中學(xué)幾何公理系統(tǒng)的聯(lián)系與區(qū)別.

【關(guān)鍵詞】歐氏幾何；高中數(shù)學(xué)；外角定理

1 引言

外角定理在歐氏幾何中至關(guān)重要，它奠定了三角形角邊關(guān)系、合同定理及線段中點(diǎn)等定理的理論基礎(chǔ)，并豐富了絕對幾何內(nèi)容.當(dāng)前文獻(xiàn)雖推論豐富，但證明不足.本文旨在深入研究和整理外角定理的推論，補(bǔ)充完善，為該領(lǐng)域提供全面深入的理論支持，確保推論完善且易于理解.

2 歐氏幾何公理系統(tǒng)簡介

公元前2世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中總結(jié)了前人的經(jīng)驗(yàn)，建立了初等幾何的基礎(chǔ).然而，隨著時間的推移，《幾何原本》的缺陷逐漸顯現(xiàn).為了修正這些缺陷，數(shù)學(xué)家們進(jìn)行了不懈的努力，其中希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》尤為突出.他提出了完整的歐氏幾何公理系統(tǒng)，不僅解決了《幾何原本》中的問題，還闡明了近代公理化的基本思想.希爾伯特以“點(diǎn)、直線、平面”為基礎(chǔ)，通過五組公理的約束，成功推導(dǎo)出歐氏幾何內(nèi)容，即中學(xué)初等幾何，使幾何邏輯結(jié)構(gòu)更加清晰，對幾何學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響.

3 預(yù)備知識

3.1 合同公理

公理Ⅲ 對于直線a上兩點(diǎn)A，B及直線a′（或a）上一點(diǎn)A′，在指定a′或a上A′的一側(cè)恒有一點(diǎn)B′，使線段AB與線段A′B′合同，并記作AB≡A′B′．

公理Ⅲ 若A′B′≡AB，A″B″≡AB，則A′B′≡A″B″．

公理Ⅲ 若AB*C，A′B′*C′成立，且AB=A′B′，BC=B′C′，則AC≡A′C′.

公理Ⅲ 對于平面α上的角∠h，k，在平面α′（或α）上射線h′所在直線的某一側(cè)，恰有一條射線k′使∠h，k與∠h′，k′合同，并記作∠h，k≡∠h′，k′，每一個角都與它自身合同.

公理Ⅲ 對△ABC和△A′B′C′，若AB≡A′B′，AC≡A′C′，∠BAC≡∠B′A′C′，則∠ABC≡∠A′B′C′.

3.2 合同公理的重要推論

由外角定理可以得出一系列基本的且重要的定理及推論：

（1）同位角合同或內(nèi)錯角合同，兩直線平行；

（2）過直線外一點(diǎn)至少可作一條與已知直線共面但不相交的直線；

（3）三角形中，較大的邊所對內(nèi)角較大，反之亦然；

（4）兩三角形中，若有兩對角及其中一對角所對邊分別合同，則兩三角形合同（角角邊）；

（5）兩三角形中，若有兩對邊及較大邊所對角分別相等，則兩三角形合同（邊邊角）；

（6）三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

（7）線段小于任意連接其兩端點(diǎn)的折線；

（8）兩三角形中，若有兩對邊相等但夾角不等，則夾角大者對應(yīng)邊也大，反之亦然.

4 外角定理及其推論的研究與證明

4.1 外角定理

外角的定義 三角形每一個角的鄰補(bǔ)角都叫做這個三角形的外角.

外角定理內(nèi)容 三角形的外角大于任一與其不相鄰的內(nèi)角．

證明 對于△ABC，在直線AB上取一點(diǎn)D，使得DA*B且DA≡CB，那么∠DAC是△ABC的一個外角，記為∠1.

先證∠1>∠C.

（1）如圖1，若∠1≡∠C，則∠2≡∠A，因?yàn)椤螦是∠1的鄰補(bǔ)角，所以∠2是∠C的鄰補(bǔ)角，即B、C、D共線.換句話說，點(diǎn)C在直線AB上，這與三角形定義矛盾．

（2）若∠1<∠C，作∠ACB′≡∠1，且CB′在∠C的內(nèi)部，AB*′B.對于△AB′C，∠1是其外角，且有∠1≡∠ACB′，由（1）知，這將導(dǎo)致矛盾．

因此，∠1>∠C得證．同理可證：∠1>∠B．

從證明可知，前三組希爾伯特公理可推出外角定理，無需歐氏平行公理.因此，外角定理在歐氏幾何中位于歐氏平行公理之前，是絕對幾何命題.

4.2 外角定理推論的證明與研究

外角定理是歐氏幾何的重要定理，可推導(dǎo)出多個重要定理及推論.

4.2.1 外角定理推論1

內(nèi)容 共面兩直線被第三直線所截，如果截得的同位角合同，或內(nèi)錯角合同，則這兩條直線不相交（同位角、內(nèi)錯角等概念易給出定義）.

證明 （1）已知兩直線a，b被直線c所截，∠1與∠2是同位角且∠1≡∠2．假設(shè)直線a，b相交于點(diǎn)A（如圖2），則∠2是△ABC的外角，由定理可知∠2>∠1，這與∠1≡∠2矛盾．所以，直線a，b不相交．

（2）∠1 與∠3是內(nèi)錯角且∠1≡∠3，則同理可證直線a，b不相交．

“同位角合同，兩線平行”和“內(nèi)錯角合同，兩線平行”為平行線判定定理，確保過一點(diǎn)有直線與已知線不相交，因此有以下定理.

4.2.2 外角定理推論2

內(nèi)容 過直線外一點(diǎn)，可作至少一條與已知直線共面不相交的直線.

證明 已知點(diǎn)A在直線a外（如圖3），過點(diǎn)A作任一直線b，

（1）若直線b與直線a不相交，則結(jié)論成立；

（2）若直線b與直線a相交，設(shè)交點(diǎn)為B，則過點(diǎn)A作直線AC使得∠1≡∠2，推論1表明直線a過點(diǎn)B且與直線c不相交.綜上，結(jié)論成立.

推論 過直線外一點(diǎn)，存在至少一條與已知直線共面且不相交的直線.

4.2.3 外角定理推論3

內(nèi)容 任意三角形中，大邊對大角，大角對大邊.

證明 （1）已知△ABC中，BC>AC，現(xiàn)欲證∠A>∠B（如圖4），對于△ABC，由于BC>AC，根據(jù)定理3.2（3），可以在直線BC上取一點(diǎn)D，使得BD*C且DC≡AC，連接AD，由DC≡AC可得∠ADC≡∠DAC.在△ABD中，∠ADC為△∠ADB的一個外角，由外角定理得∠ADC>∠B，因?yàn)椤螧AC≡∠BAD+∠DAC≡∠BAD+∠ADC，所以∠BAC>∠ADC>∠B，因此∠BAC>∠B成立.

（2）已知△ABC中，∠A>∠B，現(xiàn)欲證BC>AC.假設(shè)BC>AC不成立.若BC≡AC，則∠A≡∠B，這與已知∠A>∠B矛盾；若BC<AC，則由（1）的證明可知∠B>∠A，這與已知∠A>∠B矛盾；所以，假設(shè)不成立，即BC>AC.

該推論簡化了三角形邊角關(guān)系，即“大邊對大角”定理.

4.2.4 外角定理推論4

內(nèi)容 三角形的任意兩邊之和大于第三邊，且任意兩邊之差小于第三邊.

證明 （1）對于△ABC，在直線BC上取一點(diǎn)D，使得DB*C且DB≡AB，連接AD（如圖5），則有∠D≡∠DAB.

在△ADC中∠DAC≡∠DAB+∠BAC≡∠D+∠BAC，所以∠DAC>∠D，所以DC>AC（推論3），DC≡DB+BC≡AB+BC，所以AB+BC>AC.

同理可證AC+BC>AB，AB+AC>BC．

（2）在△ABC中，不妨設(shè)BC>AC>AB，在BC上取點(diǎn)D，使得BD*C且BD≡AB，連接AD（如圖6）.所以∠BAD≡∠ADB.在△ABD中∠ADC>∠BAD（外角定理），在△ADC中，∠ADB>∠DAC，所以∠ADC>∠DAC，所以AC>DC，因?yàn)镈C≡BC－BD，BD≡AB，所以DC≡BC－AB，所以AC>BC－AB.同理得BC－AC<AB，AC－AB<BC．

該推論簡述了三角形三邊關(guān)系.

5 結(jié)語

中學(xué)幾何教材直接討論全等關(guān)系，不引入“合同”概念.它認(rèn)為“合同圖形”與“全等圖形”相同，通過“運(yùn)動”概念說明全等.但“相等”或“全等”的論述邏輯不嚴(yán)謹(jǐn).與希爾伯特公理體系不同，中學(xué)幾何邏輯基礎(chǔ)有差異，但結(jié)構(gòu)直觀，適合青少年.雖不必嚴(yán)格遵循公理體系，但邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性也很重要.教師了解歐氏幾何證法有助于理解教材公理結(jié)構(gòu)，指導(dǎo)教學(xué).

參考文獻(xiàn)：

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