【摘要】大單元教學模式的應用，有助培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).本文對圓錐曲線教學內(nèi)容進行細致分析，并以橢圓小單元的橢圓及其標準方程為例進行教學實踐探究.通過教學實踐發(fā)現(xiàn)，學生對于橢圓的概念、橢圓標準方程的推導及其應用掌握得很好.研究表明，大單元教學能夠幫助學生形成系統(tǒng)的知識結構，提高其數(shù)學綜合素養(yǎng)和解決實際問題的能力.

【關鍵詞】高中數(shù)學；大單元；圓錐曲線

2022年修訂的《普通高中數(shù)學課程標準》強調(diào)教學要以學科大概念為中心培育核心素養(yǎng).然而，現(xiàn)階段的高中數(shù)學教學中，教師們往往專注于碎片化知識的傳授，這不僅難以培養(yǎng)學生的數(shù)學思想方法和基本活動經(jīng)驗，而且對提升學生的“四能”效果有限^［1］.因此，教師們需要從更高的視角出發(fā)，整體規(guī)劃學生核心素養(yǎng)的發(fā)展，使課程教學設計從關注單個知識點、課時轉向關注單元整體設計.大單元教學模式是實現(xiàn)這一目標的重要途徑.然而，在實際教學中，大單元教學仍面臨許多挑戰(zhàn)，如教師對大單元設計的理解和實施能力不足，教學資源的整合難度大等問題，這些困境需要通過實際教學實踐來探索解決途徑.圓錐曲線作為高中數(shù)學中的重要內(nèi)容，其知識點多、邏輯關系復雜，是培養(yǎng)學生數(shù)學思維和綜合能力的理想載體^［2］.本文通過圓錐曲線的大單元教學實踐，旨在探索如何將學科素養(yǎng)落實到單元及具體課時中，并為其他數(shù)學內(nèi)容的大單元教學提供借鑒和參考.

1 高中數(shù)學大單元教學的現(xiàn)實問題

當前，大單元教學在實際實施中仍面臨一些問題，具體可概括為以下幾個方面：（1）教師精力和能力的限制：大單元教學需要教師具備較高的整體規(guī)劃和設計能力，但由于日常教學任務繁重，許多教師難以投入足夠的時間和精力進行深入研究和準備.（2）教師缺少系統(tǒng)的培訓和指導：大單元教學作為一種相對新的教學理念和方法，許多教師對此缺乏深入理解和實踐經(jīng)驗.因此，教師們普遍需要資深教師的指導和更多的培訓機會.然而，目前的教師培訓體系中，針對大單元教學的專門培訓較為缺乏，教師在實施過程中難以獲得有效的支持和幫助.（3）教師對大單元的理解不透徹：許多教師將大單元誤認為是不同單元之間的簡單整合，這種片面的理解限制了教師在教學設計中的創(chuàng)新和探索.（4）進行大單元教學設計的教師5rpcW8YDoO2OgK4sQWCSHN8klewisYtORDfnVsg6dzE=占比不多：盡管教育部門提倡以大概念為基礎進行單元教學設計，但實際中能真正按照這一理念進行教學設計的教師仍然占少數(shù)^［3］.

2 大單元視角下圓錐曲線教學設計

2.1 圓錐曲線教學內(nèi)容設計

2.1.1 圓錐曲線大單元教學內(nèi)容

大單元學習內(nèi)容涵蓋四個主要部分：橢圓、雙曲線、拋物線的定義及其標準方程、幾何性質(zhì)和應用.具體教學內(nèi)容包括通過實際背景引出圓錐曲線的概念，詳細介紹橢圓、雙曲線和拋物線的定義，應用坐標法推導三種圓錐曲線的標準方程，系統(tǒng)講解橢圓、雙曲線和拋物線的標準方程，分析它們的范圍、對稱性、頂點、離心率和漸近線（雙曲線），以及探討這些曲線在實際生活中的應用.

2.1.2 橢圓小單元教學內(nèi)容設計

在設計有關橢圓的教學單元時，首先應通過具體的應用場景來闡釋橢圓的相關背景，使學生能夠將橢圓的抽象概念與現(xiàn)實世界連接起來.接下來，介紹橢圓的定義及其關鍵的幾何屬性，幫助學生深入理解這一形狀的基本特征.之后，通過詳盡的步驟展示如何推導橢圓的標準方程，確保學生能夠正確并熟練地應用這一公式.此外，本單元還將探討橢圓的各種幾何屬性，如其范圍、對稱性、頂點以及離心率，以便學生能夠全面了解橢圓的結構和性質(zhì).最后，通過展示橢圓在日常生活中的多種應用，增強學生對橢圓概念的實際理解和興趣.

2.1.3 雙曲線小單元教學內(nèi)容設計

首先，通過具體實例引入雙曲線的現(xiàn)實背景與幾何情境，使學生了解其實際應用背景.接著，講解雙曲線的定義及其特征，幫助學生理解其幾何特征與概念.然后，詳細推導雙曲線的標準方程，并解釋其幾何意義，使學生能夠掌握這一重要公式.進一步分析雙曲線的幾何性質(zhì)，包括范圍、對稱性、頂點、漸近線和離心率等，使學生全面了解雙曲線的基本特征.最后，探討雙曲線在現(xiàn)實生活中的應用，幫助學生理解知識的實際運用.通過這樣的設計，學生不僅能夠掌握雙曲線的理論知識，還能理解其在現(xiàn)實中的應用.

2.2 圓錐曲線大單元教學目標設計

2.2.1 學會遷移

教學的首要目標是培養(yǎng)學生通過類比推廣的能力.從探索橢圓開始，學生首先學習其幾何特性和標準方程，再深入到這些方程如何揭示橢圓的性質(zhì)及其實際應用.這種方法隨后被用來解析雙曲線和拋物線，從而建立起一套系統(tǒng)的圓錐曲線理論體系.同時，強調(diào)運用坐標法來解決幾何問題，通過實例展示如何將數(shù)學概念與幾何形狀相互轉換，以發(fā)展學生的數(shù)形結合思維.

2.2.2 意義理解

要求學生不僅要對圓錐曲線的基本概念有透徹的理解，還要掌握其應用原理.通過觀察和操作具體圖形，學生可以直觀地感知其幾何特征，并利用方程來驗證這些觀察結果.學習如何使用方程來分析幾何形狀的性質(zhì)，并掌握用代數(shù)解決幾何問題的方法.此外，通過對圓錐曲線方程的系統(tǒng)學習，學生將能全面探索其幾何屬性，如范圍、對稱性、頂點和離心率等，并理解這些特性在實際應用中的重要性.同時，學習過程中將強化學生在數(shù)學抽象、建模、邏輯推理和計算等方面的綜合數(shù)學能力.

3 橢圓及其標準方程教學實踐

圓錐曲線大單元教學可以劃分為三個小單元，其中，在橢圓小單元中，可以將其劃分為橢圓的定義、橢圓標準方程，橢圓簡單幾何性質(zhì)、橢圓簡單應用等小節(jié).同時，不同小單元之間具有相似性，因此，筆者選擇橢圓及其標準方程，進行大單元下的教學實踐^［4］.

3.1 創(chuàng)設情境

教師首先引導學生回顧上節(jié)課學習的內(nèi)容，即圓錐曲線的名稱由來、發(fā)展歷史、實際用途和坐標方法.通過回顧，旨在鞏固學生對圓錐曲線的基本認識，理解學習圓錐曲線的重要性、目的和方法.然后，教師利用多媒體進行動畫演示，形象地展示圓、橢圓、拋物線和雙曲線這四種不同的截口曲線.這一環(huán)節(jié)的設計，旨在通過直觀的方式，激發(fā)學生的學習興趣，幫助他們更好地理解圓錐曲線的概念和特征.在動畫演示后，教師明確指出，圓、橢圓、拋物線和雙曲線中，后三者被稱為圓錐曲線.這一概念的澄清，為學生接下來的學習奠定了堅實的基礎.通過這一系列的情境創(chuàng)設和課題引入，教師可以為學生營造一個生動、有趣的學習環(huán)境，激發(fā)他們對橢圓及其標準方程的學習興趣和好奇心，為后續(xù)的學習打下了良好的基礎.

3.2 嘗試探究，形成概念

教師在探究階段可以遵循以下步驟：（1）生活實例引入概念.例如，教師提問：“生活中，大家見過橢圓嗎？舉例說明.”學生舉例回答：橢圓形的蛋、橢圓形的耳環(huán)、建筑物的橢圓形結構、切開的蘿卜表面形狀等.教師通過展示這些實例，讓學生感知橢圓的實際存在和幾何特性.（2）繪制橢圓的過程.教師展示多個橢圓形物體，并提出問題：“這些物體的兩端面都固定在圖板的同一點，套上線、釘緊鉛筆，移動鉛筆，曲線的軌跡是什么？”學生嘗試用線描繪橢圓，通過親手操作，感知橢圓的形成過程.（3）實驗驗證.通過視頻展示，讓學生觀察并理解橢圓的形成過程.視頻中演示了用固定兩點的繩子繞著兩點旋轉，形成的軌跡是橢圓.隨后，教師使用幾何畫板動態(tài)展示橢圓的形成，幫助學生理解橢圓的定義.（4）進一步探究.教師提出問題：“如果固定點距離不同，會形成什么曲線？”學生通過合作探究，發(fā)現(xiàn)橢圓的軌跡特征，并在幾何畫板上進行實驗驗證.學生們通過實驗，發(fā)現(xiàn)改變繩長和固定點位置，會影響橢圓的形狀.（5）定義與特性.教師引導學生總結橢圓的定義：橢圓是平面內(nèi)兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡.通過進一步討論和實驗，學生理解了橢圓的幾何特性：范圍、對稱性、頂點、離心率等.

3.3 標準方程的推導

3.3.1 引導學生思考

本節(jié)課的核心目的是通過實際應用場景引入橢圓的概念，并詳細闡述如何逐步推導橢圓的標準方程.課程開始，教師將提出一個關鍵問題：“我們?nèi)绾文軌蛲茖С鰴E圓的標準方程？請嘗試描述這一過程的基本步驟.”學生們將進行小組討論，通過以下步驟來回答這個問題：首先，基于橢圓的幾何屬性設立一個直角坐標系；接著，確定在該坐標系中橢圓上的任意點需要滿足的幾何條件；然后，將這些幾何條件轉換成代數(shù)表達式；最后，通過化簡這些表達式得出橢圓的標準方程.這一系列步驟不僅幫助學生深入理解橢圓的數(shù)學結構，同時也鍛煉了他們將幾何直覺轉化為數(shù)學表達的能力.

3.3.2 標準方程的推導步驟

（1）建立坐標系：選擇適當?shù)闹苯亲鴺讼?，使得橢圓的方程表達簡潔.教師通過圖示，展示了六種可能的坐標系，并最終選擇一種最簡便的方案.

（2）設定點坐標：

設橢圓上的任意一點為M（x，y），焦點F和F的坐標分別為（c，0）和（－c，0）.

（3）列出方程：根據(jù)橢圓的定義MF+MF=2a，列出方程：x－c²+y²+x+c²+y²=2a.

3.3.3 化簡方程

通過平方和化簡，得到標準方程：x²a²+y²b²=1（a＞b＞0）.

其中，b²=a²－c²，教師帶領學生逐步推導，驗證每一步的正確性，并總結出標準方程.

3.3.4 討論和驗證

（1）變換坐標系：討論不同情況下，橢圓焦點在不同位置時，如何調(diào)整坐標系及對應的方程形式.例如，教師提問：“如果橢圓的焦點F和F在x軸上，且焦點坐標分別為（c，0）和（－c，0），那么橢圓的方程是什么？”通過推導，學生得到當焦點在y軸時的標準方程：y²a²+x²b²=1（a＞b＞0）.

（2）同解方程驗證：學生對于化簡過程中的兩個推導方程進行同解變形，最終得到結果，兩個推導公式是恒等式，方程與橢圓方程等價，最終確定為橢圓方程的標準形式.

4 結語

本文通過對圓錐曲線大單元教學的實踐探究，揭示了大單元教學在高中數(shù)學教育中的重要性和現(xiàn)實意義.盡管目前的實施過程中存在諸多挑戰(zhàn)，但通過科學合理的教學設計，仍可以提高教學效果.本文以橢圓及其標準方程為例，詳細闡述了從創(chuàng)設情境、嘗試探究到標準方程推導和應用概念的全過程，充分展示了大單元教學在培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)方面的優(yōu)勢.但是，仍需教師在實踐教學中進一步檢驗和完善，推進大單元教學模式的普及應用.

【貴港市教育科學“十四五”規(guī)劃2023年度課題《基于大單元教學的高中數(shù)學教學設計研究》（課題編號：2023085）研究成果】

參考文獻：

［1］李必船，杜奎.高中數(shù)學“大單元”教學的探索與實踐［J］.安徽教育科研，2024（08）：92-94.

［2］盧燕霞.基于學科核心素養(yǎng)的高中數(shù)學大單元教學設計——以“圓錐曲線”為例［J］.中學理科園地，2024，20（02）：52-54.

［3］孫成成.大單元教學的內(nèi)涵、類別和教學實例［J］.中小學數(shù)學（高中版），2023（10）：11-13.

［4］陳世亮.新課標下高中數(shù)學大單元教學分析［J］.家長，2023（24）：85-87.