第3章 勾股定理

領(lǐng)" 銜" 人：李庚南（正高級教師、江蘇省特級教師）

組稿團隊：江蘇省李庚南數(shù)學(xué)教學(xué)研究所

勾股定理被譽為“千古第一定理”，它刻畫了直角三角形三邊的關(guān)系，由“形”定“數(shù)”，體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合。

勾股定理的學(xué)習(xí)包含對勾股定理的探索、發(fā)現(xiàn)以及證明的過程，是對三角形性質(zhì)的深入學(xué)習(xí)，有助于同學(xué)們了解直角三角形三邊之間的關(guān)系，掌握直角三角形的性質(zhì)，理解從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。勾股定理逆定理的證明則體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的嚴謹性，為后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

直角三角形是一種常見而特殊的三角形，它有許多性質(zhì)，如兩個銳角互余、30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半等。勾股定理指出了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，這為我們在幾何圖形和數(shù)量關(guān)系之間搭建了一座橋梁，從而發(fā)揮了它重要的作用。

相傳，畢達哥拉斯從觀察地面圖案的面積關(guān)系發(fā)現(xiàn)了直角三角形三邊的平方關(guān)系。畢達哥拉斯還畫出一個可以無限重復(fù)的圖形，又因為重復(fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹，所以該圖形被稱為畢達哥拉斯樹（如圖1）。

我們也可以通過觀察繼續(xù)研究。例如，研究等腰直角三角形這種特殊直角三角形的面積關(guān)系。通過觀察，我們可以從圖2中發(fā)現(xiàn)，以兩直角邊為邊長的小正方形的面積之和等于以斜邊為邊長的正方形的面積，從而得出三邊之間的數(shù)量關(guān)系。

圖3是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制的一幅弦圖，后人稱其為趙爽弦圖。這也是一種面積證法。如圖4，它的依據(jù)是圖形在經(jīng)過適當切割后再拼接成一個新圖形，切割前和拼接后圖形的各部分的面積之和不變。趙爽所用的這種方法是我國古代數(shù)學(xué)家常用的“出入相補法”。當然，勾股定理證明方法很多，感興趣的同學(xué)可以查閱資料，了解更多的證法。

據(jù)說古埃及人是用圖5的方法畫直角的：把一根長繩打上等距離的13個結(jié)，然后分別以三個、四個、五個結(jié)間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角。相傳，我國古代大禹治水時也是用類似的方法確立直角。

我們可以據(jù)此提出猜想：如果三角形的三邊滿足兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。有興趣的同學(xué)可以查閱教材或相關(guān)資料，了解關(guān)于“勾股定理逆定理”的證明方法。

（作者單位：江蘇省海安市城南實驗中學(xué)）