摘 要：

針對(duì)文獻(xiàn)報(bào)道的魯棒自適應(yīng)波束形成（robust adaptive beamforming， RAB）算法，分析了在存在相干干擾時(shí)其性能嚴(yán)重下降甚至失效的原因：通過將接收信號(hào)協(xié)方差矩陣分解為陣列流形矩陣左和共軛右乘一個(gè)矩陣P的描述形式，在存在相干干擾時(shí)，P為非對(duì)角陣，其非對(duì)角元素表征了信號(hào)與干擾間的互相關(guān)，該成分造成了RAB算法的失效;另表明：快拍數(shù)有限可視為特殊的相干干擾情況。為此，提出了一種構(gòu)建P為對(duì)角陣的協(xié)方差矩陣擬合方法;并據(jù)擬合的協(xié)方差矩陣，給出了對(duì)非平滑相干干擾RAB方法。仿真驗(yàn)證了分析的有效性，所提方法在相干干擾時(shí)仍能實(shí)現(xiàn)非相干干擾時(shí)的性能，且收斂速度優(yōu)于報(bào)道方法。

關(guān)鍵詞：

魯棒自適應(yīng); 波束形成; Capon譜; 相干干擾; 協(xié)方差矩陣擬合

中圖分類號(hào)：

V 243.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A""" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.05.01

A robust adaptive beamformer with non-smoothing coherent interference

LU Wenlong， LI Dan*， BI Quanyang， ZHANG Jianqiu

（School of Information Science and Engineering， Fudan University， Shanghai 200433， China）

Abstract：

The robust adaptive beamforming （RAB） algorithms reported in the literature are analyzed， to explain the serious performance degradation or even completely invalid in the presence of coherent interference. When the covariance matrix of the received data is decomposed into the description form of the array manifold matrix left and conjugate right multiplied by a matrix P. P is a non-diagonal matrix when the received data are interfered by the coherent signal sources， and the off-diagonal elements in the matrix P represent the coherences between the signal and interference sources as well as among interference ones， which are the main reasons for the failure of RAB algorithm reported in the literature. It is shown further that the insufficient number of snapshots can be regarded as a special case of coherent interference. In order to deal with these situations， a covariance matrix fitting method is proposed by constructing P as a diagonal matrix. Based on the fitted covariance matrix， an RAB method for non-smooth coherent interference is presented. The simulation results verify the effectiveness of the analytical ones. Meanwhile， they also show that the proposed method can still achieve the performances of the non-coherent interference RAB algorithms in the case of coherent interference， and has a faster convergence rate than the methods reported in the literature.

Keywords：

robust adaptive; beamforming; Capon spectrum; coherent interference; covariance matrix fitting

0 引 言

自適應(yīng)波束形成是陣列信號(hào)處理的基礎(chǔ)技術(shù)，它已經(jīng)廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納、通信、醫(yī)療成像以及其他領(lǐng)域［1-5］。在各種波束形成器中，Capon自適應(yīng)波束形成器是可能最大化輸出信干噪比（signal-to-interference-plus-noise-ratio， SINR）的最優(yōu)空域波束形成器［6］。在過去數(shù)十年的研究中，文獻(xiàn)報(bào)道了大量基于非相干假設(shè)的魯棒自適應(yīng)波束形成（robust adaptive beamforming， RAB）技術(shù)，然而當(dāng)感興趣信號(hào)（signal of interest， SOI）和/或干擾之間相干時(shí)，RAB算法將會(huì)由于信號(hào)和/或各干擾之間的相干，而產(chǎn)生嚴(yán)重的性能損失。

為應(yīng)對(duì)相干干擾的問題，文獻(xiàn)也報(bào)道了一系列利用空間平滑技術(shù)的魯棒波束形成器。例如，文獻(xiàn)［7］提出的托普利茲矩陣重構(gòu)算法，即試圖通過采樣協(xié)方差矩陣（sampling covariance matrix， SCM）沿著對(duì)角線進(jìn)行平均，以保留采樣協(xié)方差矩陣的托普利茲特性。文獻(xiàn)［8］則將整個(gè)陣列拆分成數(shù)個(gè)子陣列，以各個(gè)子陣列的協(xié)方差矩陣的均值，作為設(shè)計(jì)波束形成矢量的采樣協(xié)方差矩陣，并以此對(duì)相干信號(hào)進(jìn)行解耦。文獻(xiàn)［9］將前后向子陣列輸出的自相關(guān)矩陣，進(jìn)行互相關(guān)后矩陣的平均，視為糾正的空間平滑矩陣，提升了空間平滑魯棒波束形成器的性能。近年來，文獻(xiàn)［10-12］則進(jìn)一步研究了基于空間平滑的相干魯棒波束形成算法，這些方法能對(duì)相干信號(hào)進(jìn)行有效的解耦，然而，它們無法克服空間平滑算法的固有缺點(diǎn)：即以犧牲陣列的有效孔徑為代價(jià)，來?yè)Q取對(duì)相干干擾的魯棒性［12］。

近年來，在不存在相干干擾的前提下，文獻(xiàn)報(bào)道了一系列的RAB方法，在總體上可將可它們分為：對(duì)角加載［13-14］、特征空間投影［15-16］、不確定集約束［17-20］和噪聲干擾協(xié)方差矩陣（interference-plus-noise covariance matrix， INCM）重構(gòu)4類。而基于INCM重構(gòu)方法所表現(xiàn)出來的優(yōu)越性能，就成為最近來魯棒波束成形器的研究熱點(diǎn)，這些方法可分為3種。第1種方法從SCM或者改善SCM中移除SOI［21-22］;第2種方法通過在干擾存在的角域?qū)apon譜進(jìn)行積分，而重構(gòu)INCM［23-24］;第3種則是：首先估計(jì)出所有信號(hào)和干擾的導(dǎo)向矢量及功率，以及噪聲的功率而對(duì)INCM進(jìn)行重構(gòu)［25-29］。與前兩種方法相比，第3種方法完全移除了SOI成分，因此就能夠獲得更準(zhǔn)確的INCM［29］。例如，文獻(xiàn)［25］在信號(hào)和干擾源稀疏分布的基礎(chǔ)上，通過求解壓縮感知問題而重構(gòu)INCM，這種稀疏重構(gòu)的方法，在較大的信噪比（signal to noise ratio， SNR）范圍內(nèi)，都有著近乎最優(yōu)的性能。文獻(xiàn)［29］分析了干擾功率估計(jì)對(duì)于RAB的影響，進(jìn)而提出了一種通過簡(jiǎn)單干擾功率估計(jì)，而可對(duì)INCM進(jìn)行重構(gòu)的方法，該方法在達(dá)到與［25］相同性能的同時(shí)，簡(jiǎn)化了計(jì)算過程。然而這些方法，在沒有其他先驗(yàn)知識(shí)的情況下，不得不利用采樣協(xié)方差來對(duì)陣列接收快拍進(jìn)行Capon譜搜索［25，29］，以獲得信號(hào)和干擾的譜，以獲取對(duì)SOI和干擾的功率，以及它們導(dǎo)向矢量的估計(jì)，而重構(gòu)INCM?？墒?，相干干擾引起采樣協(xié)方差估計(jì)的虧秩和誤差，就必將影響Capon譜的搜索結(jié)果，進(jìn)而影響重構(gòu)的INCM，以致最終就會(huì)影響據(jù)其而設(shè)計(jì)波束成形器的性能。

在不犧牲陣列天線有效孔徑的前提下，本文擬研究對(duì)相干干擾魯棒的波束形成方法，并期待其能達(dá)到非相干魯棒波束形成其的性能。為此，本文首先對(duì)陣列接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行了分析。分析表明：當(dāng)SOI和/或各干擾間相干時(shí)，陣列接收信號(hào)的互協(xié)方差矩陣，將不可避免地包含SOI成分，這就會(huì)導(dǎo)致基于采樣協(xié)方差構(gòu)建的INCM與理想INCM存在較大不同，并將導(dǎo)致Capon類的波束形成器性能下降，甚至完全失效。而進(jìn)一步的分析則表明：將協(xié)方差矩陣R分解為導(dǎo)向矢量矩陣A左乘一個(gè)矩陣P，再右乘A的共軛轉(zhuǎn)置形式，即

R=APAH

式中：（·）H表示共軛轉(zhuǎn)置，那么P矩陣的對(duì)角線元素，將對(duì)應(yīng)著SOI與干擾的功率，而其非對(duì)角線元素，則將對(duì)應(yīng)于SOI與干擾的互相關(guān)成分。如果能消除協(xié)方差矩陣R中的互相關(guān)成分，即消除P矩陣的非對(duì)角元素，那么在不采用空間平滑技術(shù)的條件下，也可使RAB算法在相干干擾時(shí)保持與非相干干擾時(shí)同樣的性能。分析也表明：當(dāng)對(duì)采樣協(xié)方差矩陣進(jìn)行分解時(shí)，即使是陣列接收數(shù)據(jù)未受到相干的干擾，但由于快拍數(shù)的不足或有限，SOI、干擾和噪聲之間，依然會(huì)存在著互相關(guān)成分，換言之，分解后的P矩陣，同樣存在著影響波束形成器性能的非對(duì)角元素。以這一觀點(diǎn)出發(fā)，就發(fā)現(xiàn)了文獻(xiàn)［21］報(bào)道的RAB算法，即使沒有相干干擾而快拍數(shù)不足或有限時(shí)，P矩陣存在著非對(duì)角元素，這一點(diǎn)就與相干干擾時(shí)面對(duì)的問題相同，也就是說，快拍數(shù)不足或有限可視作一種特殊的相干干擾。

為了應(yīng)對(duì)這些情況，本文進(jìn)而提出了一種通過構(gòu)建P為對(duì)角陣，以加權(quán)最小二乘準(zhǔn)則獲得不含信號(hào)與干擾，以及干擾與干擾互相關(guān)成分的協(xié)方差矩陣擬合方法，據(jù)擬合的協(xié)方差矩陣，進(jìn)而給出了對(duì)非平滑相干干擾魯棒的RAB方法。仿真驗(yàn)證了分析結(jié)果的有效性，同時(shí)它們也表明：提出的方法，在相干干擾時(shí)仍能實(shí)現(xiàn)非相干干擾RAB算法的性能，以及具有更快的收斂速度，且其性能優(yōu)于文獻(xiàn)報(bào)道的方法。

本文其他內(nèi)容安排如下：第1節(jié)包括問題模型與相干干擾的分析;第2節(jié)在第1節(jié)分析的基礎(chǔ)上提出本文的RAB算法;第3節(jié)為仿真部分;第4節(jié)對(duì)全文進(jìn)行總結(jié)。

1 信號(hào)模型與問題背景

1.1 Capon波束形成器

考慮一個(gè)由M個(gè)全向陣元組成的均勻線陣（uniform linear array， ULA），有N個(gè)窄帶信號(hào)（一個(gè)SOI與N－1個(gè)干擾）從θ1，θ2，…，θN方向入射到陣列，那么在k時(shí)刻陣列的觀測(cè)［1］可以建模為

2.4 復(fù)雜度分析

在本節(jié)將分析本文方法的計(jì)算復(fù)雜度，并將與文獻(xiàn)［23，29］報(bào)道的兩種基于INCM重構(gòu)方法的計(jì)算復(fù)雜度進(jìn)行比較。本文方法的計(jì)算代價(jià)，主要是協(xié)方差矩陣的重構(gòu)及其求逆，以及譜峰搜索過程。重構(gòu)協(xié)方差矩陣過程復(fù)雜度為O（M2L），協(xié)方差矩陣求逆過程復(fù)雜度為O（M3），由于最多可分辨M個(gè)信號(hào)，譜峰搜索過程為O（M2L）。文獻(xiàn)［23］方法的計(jì)算復(fù)雜度，主要由INCM的重構(gòu)與SOCP問題求解組成，計(jì)算復(fù)雜度為O（M2S）+O（M3.5），其中S表示干擾可能存在區(qū)域內(nèi)的采樣格點(diǎn)數(shù)。文獻(xiàn)［29］方法的計(jì)算，主要包括譜峰搜索與特征值分解，計(jì)算復(fù)雜度為O（M2L）+O（M3）?？紤]到本文的迭代過程，以及在后續(xù)數(shù)值仿真中經(jīng)驗(yàn)，本文方法計(jì)算量高于文獻(xiàn)［29］的方法，比文獻(xiàn)［23］的方法效率更高。

3 數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)

在仿真實(shí)驗(yàn)中，選擇全向陣元間距為半波長(zhǎng)，且M=10的均勻線陣，加性噪聲為復(fù)高斯零均值的空時(shí)白噪聲過程，并且每個(gè)陣元噪聲方差相同。假設(shè)SOI從方向θ1=5°入射到陣列，3個(gè)干擾分別來自方向θ2=－50°、θ2=－20°和θ3=30°，除第3.1.2節(jié)的仿真實(shí)驗(yàn)外，假設(shè)干擾和SOI間不相干。每個(gè)陣元干噪比（interference to noise ratio， INR）為30 dB，且噪聲方差設(shè)定為σ2n=1 W，干擾功率為30 dBW。除SNR變化的實(shí)驗(yàn)外，輸出SNR固定為20 dB，除快拍數(shù)變化的仿真實(shí)驗(yàn)外，快拍數(shù)固定為K=30。對(duì)基于重構(gòu)的波束形成器，假設(shè)SOI可能的角域?yàn)棣?［θ1－5°，θ1+5°］，干擾或散射徑的角域?yàn)棣╥=［θi－5°，θi+5°］（i=2，3，4），每個(gè)仿真均進(jìn)行500次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。采樣格點(diǎn)間隔為0.1°。性能評(píng)價(jià)指標(biāo)為據(jù)式（6）計(jì)算的SINR，在部分圖中使用了最優(yōu)SINR的偏差。由下式計(jì)算無SOI的INCM為

R^i+n=∑Ni=2∑Kk=1xi（k）xHi（k）K+∑Kk=1n（k）nH（k）K（35）

式（35）獲得的理想結(jié)果，是無法通過陣列接收數(shù)據(jù)恢復(fù)的，它將在本節(jié)中作為輸出SINR最優(yōu)的波束形成器，而視為對(duì)比對(duì)象，在后面將以SOI-free表示。

3.1 INCM重構(gòu)方法比較

本節(jié)將通過數(shù)值仿真比較不同INCM重構(gòu)方法的有效性。假設(shè)SOI準(zhǔn)確且已知。其他比較的波束成形器為：SMI-SOI表示在SCM中減去SOI成分而設(shè)計(jì)的波束形成器、基于重構(gòu)估計(jì)（reconstruction estimation based， REB）的波束形成器［23］，以及簡(jiǎn)化干擾功率估計(jì)的波束形成器（simplified interference power estimation， SIPE）［29］。在本節(jié)的兩個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)中，所有方法的SOI導(dǎo)向矢量均采用假定SOI導(dǎo)向矢量即a（5°）。

3.1.1 干擾不相干

圖2給出了在信源間都互不相關(guān)情況下，各波束形成器輸出SINR隨SNR變化情況，為清晰顯示各方法間的差距，圖3給出了不同波束形成器輸出SINR與最優(yōu)SINR偏差隨SNR的變化情況。可以發(fā)現(xiàn)：本文提出方法與SIPE始終與最優(yōu)輸出SINR重合（SOI-free），REB與最優(yōu)輸出SINR具有一定的差距。隨著SNR的增加，SOI的功率將逐漸增大，以致SMI-SOI方法構(gòu)造的INCM中，其R^cross成分就將逐漸增加，這就使得其與理想INCM偏差逐漸變大，而使得由其設(shè)計(jì)的波束成形器性能逐漸變差。

圖4顯示了不同波束形成器輸出SINR與接收信號(hào)快拍數(shù)的關(guān)系。本方法在單快拍情況下也具有25 dB的輸出SINR，并在3快拍時(shí)基本收斂。在約25快拍時(shí)，SIPE波束形成器的輸出SINR收斂，而在快拍數(shù)10以下時(shí)，有著15 dB以上的性能損失。在低快拍數(shù)的情況下，Capon譜估計(jì)的性能下降，從而影響了SIPE的干擾導(dǎo)向矢量估計(jì)，以致其輸出SINR與最優(yōu)SINR存在較大差距。REB波束形成器在單快拍時(shí)性能損失也僅有5 dB，在快拍數(shù)為9時(shí)基本收斂，這是因?yàn)樵摲椒ㄔ谥貥?gòu)INCM時(shí)，僅對(duì)干擾可能存在區(qū)域內(nèi)的Capon譜進(jìn)行了積分，充分利用了先驗(yàn)信息;然而這樣的策略，也使得即使在快拍數(shù)足夠時(shí)，也不能準(zhǔn)確地重構(gòu)INCM，因此就有著約2 dB的性能損失。在圖4中，SMI-SOI波束形成器一直未收斂，在我們仿真實(shí)驗(yàn)中，該方法在250快拍時(shí)仍未收斂。

3.1.2 干擾相干

圖5給出了來自－50°與－20°的干擾相干時(shí)，不同波束形成器輸出SINR與SNR關(guān)系圖。可以看到，此時(shí)SIPE出現(xiàn)了嚴(yán)重的性能下降。這是因?yàn)榇藭r(shí)如圖1（c）給出的Capon譜，不能給出來自－50°與－20°這兩個(gè)方向干擾導(dǎo)向矢量的估計(jì)，而SIPE在INCM重構(gòu)時(shí)忽略了這兩個(gè)干擾，從而導(dǎo)致了波束形成器輸出與最優(yōu)SINR有著約22 dB的性能差距。而本文提出方法的性能與非相干干擾情況下沒有區(qū)別，與最優(yōu)輸出SINR僅有約0.3 dB的差距。REB方法由于充分利用了干擾位置的先驗(yàn)信息，相比非相干干擾時(shí)性能沒有下降。SMI-SOI方法則性能與前述實(shí)驗(yàn)完全一致。

圖6是相干干擾情況下，不同波束形成器輸出SINR與快拍數(shù)之間關(guān)系圖。本文提出方法保持著非相干干擾時(shí)的優(yōu)秀性能，在單快拍時(shí)仍然有著約25 dB的輸出SINR，并且在有3個(gè)快拍時(shí)即收斂。SIPE依舊直至20快拍以上才收斂。在相干干擾下，REB波束形成器，在10快拍以下時(shí)的性能顯著下降，與最優(yōu)SINR有著約25 dB的差距。

3.2 波束形成器輸出SINR比較

在本節(jié)中，將對(duì)兩個(gè)具有實(shí)際價(jià)值的應(yīng)用場(chǎng)景進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并將本文方法與REB波束形成器［23］、SIPE波束形成器［29］、最差性能優(yōu)化（worst case performance optimization， WCPO）波束形成器［17］，以及加載SMI（loaded SMI， LSMI）［4］進(jìn)行了對(duì)比。REB方法假設(shè)已知所有干擾或散射徑的角域Θi（i=2，3，4），WCPO中因子ε設(shè)置為0.3，LSMI的加載系數(shù)設(shè)置為10。

3.2.1 隨機(jī)陣列視向誤差

假設(shè)SOI與干擾都受到陣列視向誤差的影響，并產(chǎn)生隨機(jī)的DOA失配，失配的DOA是在［－4°，4°］內(nèi)均勻分布，也就是說SOI的DOA均勻分布在［1°，9°］之間，3個(gè)干擾的DOA分別均勻分布在［－54°，－46°］、［－24°，－16°］、以及［26°，34°］間。SOI與干擾的DOA在仿真實(shí)驗(yàn)之間是變化的，但在單次仿真實(shí)驗(yàn)的快拍間保持不變。

圖7給出了在存在隨機(jī)視向誤差的情況下，不同方法輸出SINR與最優(yōu)輸出SINR之間的偏差，以及與SNR關(guān)系圖。在SNR低于-5 dB時(shí)，由于譜峰與偽峰難以分辨，提出方法與SRC的SOI導(dǎo)向矢量均采用假設(shè)導(dǎo)向矢量即a（5°），因此相較于最優(yōu)SINR有著0.8 dB左右的偏差;而在SNR高于-5 dB時(shí)，兩種方法均以SOI內(nèi)的譜峰位置，作為SOI的導(dǎo)向矢量，此時(shí)它們與最優(yōu)的SINR，僅有0.3 dB的性能偏差。REB波束形成器則與上一小節(jié)仿真驗(yàn)相同，有1.8 dB的性能偏差。由于仿真情況并不總是最差性能的情形，因此，WCPO波束形成器在高SNR時(shí)，性能急劇下降。由于LSMI的最優(yōu)加載因子難以確定，因此低SNR有效的加載因子，在高SNR時(shí)可能會(huì)失效。

圖8則給出了不同波束形成器收斂速度的對(duì)比，本文提出方法仍然有著最快的收斂速度與單快拍表現(xiàn)，兩種高性能對(duì)比方法SIPE與REB在10快拍以下性能損失嚴(yán)重。WCPO與LSMI方法在10快拍時(shí)收斂。

3.2.2 耦合多徑

假設(shè)由于散射體造成的多徑散射效應(yīng)，會(huì)使得期望信號(hào)發(fā)生耦合而產(chǎn)生散射，為此本節(jié)仿真了存在下面1個(gè)直射徑與3個(gè)散射徑的情況：

a=a（θs）+∑3γ=1ejγa（θγ）（36）

式中：a（θγ）（γ=1，2，3，4）為耦合散射徑;在每個(gè)仿真實(shí)驗(yàn)中，θγ（γ=1，2，3）分別為－50°、－20°和30°;相位γ（γ=1，2，3，4）均勻獨(dú)立地分布于［0，2π］之間。γ在不同仿真之間變化，在同一仿真的不同快拍之間保持不變。

圖9給出了在耦合多徑的情況下，不同波束形成器輸出SINR隨SNR變化的關(guān)系。在SNR低于-10 dB時(shí)，各方法性能差距不大，因?yàn)榇藭r(shí)INCM以噪聲成分為主。隨著SNR增加，本文提出方法性能始終與最優(yōu)SINR差距最小。LSMI方法、WCPO方法與SIPE方法逐漸失效影響。REB方法表現(xiàn)出僅次于本文方法的性能，是因?yàn)樵摲椒ɡ昧烁蓴_DOA角域的先驗(yàn)信息，當(dāng)DOA估計(jì)不可靠時(shí)，該方法將失效。因此本文提出方法在耦合多徑時(shí)具有最優(yōu)性能。

圖10比較了不同波束形成器的收斂速度，本文提出方法在少于10快拍數(shù)情況下，仍然有著接快拍數(shù)充足時(shí)的性能。僅有利用了干擾DOA先驗(yàn)信息的REB方法與本文方法相近，該方法在低快拍數(shù)時(shí)，性能損失比本文方法更多。SIPE方法則表現(xiàn)出最慢的收斂速度，在25快拍時(shí)才收斂。因此本文提出方法在低快拍數(shù)時(shí)，例如10快拍以下，仍然具有接近最優(yōu)的性能。

4 結(jié) 論

本文首先分析了在存在相干干擾情況下，魯棒波束成形算法性能會(huì)嚴(yán)重下降，甚至完全失效的原因，并提出了相應(yīng)的非平滑相干干擾RAB算法，結(jié)論如下：將協(xié)方差矩陣分解為導(dǎo)向矢量矩陣左和其共軛右乘一個(gè)矩陣P的描述形式，矩陣P在相干干擾下為非對(duì)角陣，其非對(duì)角元素表征了信號(hào)與干擾，以及干擾與干擾的互相關(guān)，并表明這些成分是造成文獻(xiàn)報(bào)道RAB算法失效的主要原因。進(jìn)一步的分析表明：快拍數(shù)不足或有限，可視為一種特殊的相干干擾情況。本文提出了一種通過構(gòu)建矩陣P為對(duì)角陣，以獲得一個(gè)不含信號(hào)與干擾，以及干擾與干擾互相關(guān)成分的協(xié)方差矩陣擬合方法，據(jù)擬合的協(xié)方差矩陣，進(jìn)而給出了一種對(duì)非平滑相干干擾魯棒的RAB方法。數(shù)值仿真驗(yàn)證了分析結(jié)果的有效性，數(shù)值仿真也表明：提出的方法在相干干擾時(shí)仍能實(shí)現(xiàn)非相干干擾RAB算法的性能，同時(shí)提出的方法具有更快的收斂速度，且其性能優(yōu)于文獻(xiàn)報(bào)道的方法。

參考文獻(xiàn)

［1］ LI J， STOICA P. Robust adaptive beamforming［M］. New York： Wiley， 2005.

［2］ 王永良， 丁前軍， 李榮鋒. 自適應(yīng)陣列處理［M］. 北京： 清華大學(xué)出版社， 2009.

WANG Y L， DING Q J， LI R F. Adaptive array processing［M］. Beijing： Tsinghua University Press， 2009.

［3］ 汪晉寬， 宋聽. 魯棒自適應(yīng)陣列信號(hào)處理［M］. 北京： 電子工業(yè)出版社， 2009.

WANG J K， SONG T. Robust adaptive array signal processing［M］. Beijing： Electronic Industry Press， 2009.

［4］ 袁曉壘. 魯棒自適應(yīng)波束形成算法研究［D］. 成都： 電子科技大學(xué)， 2017.

YUAN X L. Research on robust adaptive beamforming algorithm［D］. Chengdu： University of Electronic Science and Technology， 2017.

［5］ 畢權(quán)楊， 李旦， 張建秋. 空時(shí)自適應(yīng)處理張量波束成形器的外積合成法［J］. 航空學(xué)報(bào)， 2019， 40（10）： 158-170.

BI Q Y， LI D， ZHANG J Q. The outer product synthesis method of space-time adaptive processing tensor beamformer［J］. Journal of Aeronautics， 2019， 40（10）： 158-170.

［6］ CAPON J. High-resolution frequency-wavenumber spectrum analysis［J］. Procceedings of the IEEE， 1969， 57（8）： 1408-1418.

［7］ KUNG S， LO C， FOKA R. A Toeplitz approximation approach to coherent source direction finding［C］∥Proc.of the IEEE International Conference on Acoustics， Speech， and Signal Processing， 1986： 193-196.

［8］ MAHESWARA K， REDDY V U. Analysis of spatial smoothing with uniform circular arrays［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 1999， 47（6）： 1726-1730.

［9］ WU X D， MA L， LIANG Z H. Improved weighted spatial smoothing algorithm［J］. Journal of Data Acquisition and Processing， 2015， 30： 824-829.

［10］ GUO Y， ZHANG L， ZHANG J， et al. A coherent signal beamforming technique based on sub-array cross correlation［J］. Digital Signal Processing， 2022， 121： 1051-2004.

［11］ DU Y， CUI W J， MEI F T， et al. Coherent signals adaptive beamforming algorithm based on eigenvalue［C］∥Proc.of the 2nd International Conference on Electronics， Communications and Information Technology， 2021： 388-393.

［12］ ZHANG L， LIU W. Robust beamforming for coherent signals based on the spatial-smoothing technique［J］. Signal Processing， 2012， 92（11）： 2747-2758.

［13］ COX H， ZESKIND R M， OWEN M M. Robust adaptive beamforming［J］. IEEE Trans.on Acoustics， Speech， Signal Processing， 1987， 35（10）： 1365-1376.

［14］ DU L， LI J， STOICA P. Fully automatic computation of diagonal loading levels for robust adaptive beamforming［J］. IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems， 2010， 46（1）： 449-458.

［15］ FELDMAN D D. An analysis of the projection method for robust adaptive beamforming［J］. IEEE Trans.on Antennas Propagation， 1996， 44（7）： 1023-1030.

［16］ JIA W M， JIN W， ZHOU S H， et al. Robust adaptive beamforming based on a new steering vector estimation algorithm［J］. Signal Processing， 2013， 93（9）： 2539-2542.

［17］ VOROBYOV S A， GERSHMAN A B， LUO Z Q. Robust adaptive beamforming using worst-case performance optimization： a solution to the signal mismatch problem［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2003， 51（2）： 313-324.

［18］ LI J， STOICA P， WANG Z S. Doubly constrained robust Capon beamformer［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2004， 52（9）： 2407-2423.

［19］ VOROBYOV S A， CHEN H H， GERSHMAN A B. On the relationship between robust minimum variance beamformers with probabilistic and worst-case distortionless response constraints［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2008， 56（11）： 5719-5724.

［20］ JIANG X， ZENG W J， YASOTHARAN A， et al. Robust beamforming by linear programming［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2014， 62（7）： 1834-1849.

［21］ ZHUANG J， MANIKAS A. Interference cancellation beamforming robust to pointing errors［J］. IET Signal Processing， 2013， 7（2）： 120-127.

［22］ RUAN H， DE LAMARE R C. Robust adaptive beamforming using a low-complexity shrinkage-based mismatch estimation algorithm［J］. IEEE Signal Processing Letters， 2014， 21（1）： 60-64.

［23］ GU Y J， LESHEM A. Robust adaptive beamforming based on interference covariance matrix reconstruction and steering vector estimation［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2012， 60（7）： 3881-3885.

［24］ HUANG L， ZHANG J， XU X， et al. Robust adaptive beamforming with a novel interference-plus noise covariance matrix reconstruction method［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2015， 63（7）： 1643-1650.

［25］ GU Y J， GOODMAN N A， HONG S， et al. Robust adaptive beamforming based on interference covariance matrix sparse reconstruction［J］. Signal Processing， 2014， 96（B）： 375-381.

［26］ SHEN F F， CHEN F F， SONG J Y. Robust adaptive beamforming based on steering vector estimation and covariance matrix reconstruction［J］. IEEE Communication Letters， 2015， 19（9）： 1636-1639.

［27］ ZHANG Z T， LIU W， LENG W，" et al. Interference-plus-noise covariance matrix reconstruction via spatial power spectrum sampling for robust adaptive beamforming［J］. IEEE Signal Processing Letters， 2016， 23（1）： 121-125.

［28］ YUAN X L， GAN L. Robust adaptive beamforming via a novel subspace method for interference covariance matrix reconstruction［J］. Signal Processing， 2017， 130： 233-242.

［29］ ZHENG Z， YANG Y， WANG W Q， et al. Robust adaptive beamforming via simplified interference power estimation［J］. IEEE Trans.on Aerospace and Electronic Systems， 2019， 55（6）： 3139-3152.

［30］ ABEIDA H， ZHANG Q L， LI J. Iterative sparse asymptotic minimum variance based approaches for array processing［J］. IEEE Trans.on Signal Processing， 2013， 61（3）： 933-944.

［31］ ABEIDA H， DELMAS J. Efficiency of subspace-based DOA estimators［J］. Signal Processing， 2007， 87： 2075-2084.

［32］ 章平亮， 張建秋. 一般性廣義噪聲協(xié)方差矩陣自適應(yīng)迭代譜估計(jì)［J］. 系統(tǒng)工程與電子技術(shù)， 2013， 35（10）： 2037-2043.

ZHANG P L， ZHANG J Q. Adaptive iterative nonparametric spectral estimation method based on generalized noise covariance［J］. Systems Engineering and Electronics， 2013， 35（10）： 2037-2043.

［33］ 張賢達(dá). 矩陣分析與應(yīng)用［M］. 北京： 清華大學(xué)出版社， 2004.

ZHANG X D. Matrix analysis and application［M］. Beijing： Tsinghua University Press， 2004.

作者簡(jiǎn)介

盧文龍（1998—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理。

李 旦（1982—），男，副教授，博士，主要研究方向?yàn)樾盘?hào)處理及應(yīng)用。

畢權(quán)楊（1995—），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)樾盘?hào)處理。

張建秋（1962—），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)樾盘?hào)處理及應(yīng)用。