摘 要：針對現(xiàn)有壓縮感知貪婪算法容易陷于局部最優(yōu)、過擬合等問題，提出一種稀疏恢復(fù)算法，稱為多路徑支撐集回溯貪婪重構(gòu)（multipath backtracking greedy pursuit， MBGP）算法。該算法以最小殘差為重構(gòu)目標，對候選原子展開多條路徑同時搜索，且每次篩選多個原子，通過回溯過程剔除誤選的原子。基于有限等距性質(zhì)給出MBGP算法重構(gòu)信號的充分條件，以確保其從測量值精確恢復(fù)任何K-稀疏信號，并通過信號重構(gòu)能力來評估MBGP算法的性能。數(shù)值實驗結(jié)果表明，該算法在相同信號條件下，能夠在采樣數(shù)更少、稀疏度更大的場合下精確重構(gòu)信號，且性能更逼近理想Oracle-最小二乘估計器。

關(guān)鍵詞： 壓縮感知; 信號恢復(fù); 匹配追蹤; 子空間追蹤; 剪枝; 回溯; 貪婪算法

中圖分類號： TN 911.5; TN 919.8

文獻標志碼： A"" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.10.05

Multipath backtracking greedy pursuit algorithm

TIAN Wenbiao^1， RUI Guosheng ZHANG Song ZHANG Haibo WANG Lin²

（1. School of Aviation Operations and Support， Naval Aviation University， Yantai 26400 China;2. Signal and Information Processing Provincial Key Laboratory in Shandong， Naval Aviation University， Yantai 26400 China）

Abstract： For the existing compressed sensing （CS） greedy algorithm， it is easy to fall into problems such as local optimum and overfitting. A sparse recovery algorithm called multipath backtracking greedy pursuit （MBGP） is proposed. MBGP algorithm searches the signal support set and iteratively examines multiple candidate support set estimates at the same time， and finally selects the one that minimizes the reconstruction residual. Based on the restricted isometry property， the sufficient conditions for the MBGP algorithm to reconstruct the signal are given to ensure that it can accurately recover any K-sparse signal from the measured value. The performance of the MBGP algorithm is evaluated by the signal reconstruction ability. Numerical experimental results show that the algorithm can accurately reconstruct signals with fewer samples and greater sparsity under the same signal conditions， and its performance is closer to the ideal Oracle-least square estimator.

Keywords： compressed sensing （CS）; signal recovery; matching pursuit; subspace pursuit; pruning; backtracking; greedy algorithm

0 引 言

近年來， 壓縮感知（compressed sensing， CS）理論的出現(xiàn)引發(fā)了信號采集處理領(lǐng)域的廣泛關(guān)注， 其指出可遠低于Nyquist頻率對信號進行隨機觀測， 革命性地將數(shù)據(jù)采集與壓縮同時進行，實現(xiàn)從信號采樣到信息采樣的轉(zhuǎn)變。其主要任務(wù)是從少量的線性測量中恢復(fù)一個高維的稀疏向量?！吧俨蓸?，巧計算”的CS技術(shù)重點都落在了如何從僅有的少量觀測數(shù)據(jù)中最大程度地恢復(fù)原信號上。由于實現(xiàn)簡單和重構(gòu)性能較好，貪婪算法受到了廣泛的關(guān)注。

經(jīng)典貪婪算法每次迭代僅擴充一個候選原子，算法僅依靠迭代的深入來逼近原信號，這就是前向搜索^［12］，如正交匹配追蹤（orthogonal matching pursuit， OMP）^［35］、正交最小二乘（orthogonal least squares， OLS）^［6］等。為了提高效率，每次迭代可選入多個候選原子，這其中又有不同的策略，分段OMP（stagewise OMP， StOMP）選入相關(guān)性超過某個閾值的原子。正則化OMP（regularized OMP， ROMP）首先選擇具有最強相關(guān)性的K個原子，然后根據(jù)預(yù)定義的正則化規(guī)則將候選者縮小為其中一個子集。廣義OMP（generalized OMP， gOMP）^［7］算法在每次迭代中找到固定數(shù)量的具有最強相關(guān)性的原子。上述這些算法都采用單路徑前向搜索支撐集，沒有剔除機制，一旦錯選誤差會逐步擴大。針對這一問題，回溯剪枝策略應(yīng)運而生，如子空間追蹤（subspace pursuit， SP）， 壓縮采樣匹配追蹤（compressive sampling matching pursuit， CoSaMP）、回溯矯正貪婪追蹤（back-off and rectification of greedy pursuit， BRGP）^［8］等。這類方法先批量擴充原子，然后再從中剔除可能的錯選項，盡管與傳統(tǒng)的OMP相比增加了批量擴充和剔除冗余的機制，但這類算法依然靠迭代的深入來逼近原信號，也就是僅在單路徑上來回搜索，存在陷入局部最優(yōu)的風(fēng)險。近年來，Kwon等^［9］提出多路徑匹配追蹤（multipath match-ing pursuit， MMP），使用樹搜索策略通過分多條路徑跟蹤候選原子盡量搜索全局最優(yōu)。Tao等^［10］為MMP引入一個正則化的過程來篩選候選路徑，目的主要是降低復(fù)雜度，解決毫米波大規(guī)模多輸入多輸出（multiple input multiple output， MIMO）的稀疏信道估計問題。Zhao等^［1114］探索MMP的可靠性和有效性以及有限等距性質(zhì)（restricted isometry property， RIP）條件。吳夢行等^［15］將自適應(yīng)思想引入MMP算法，改進內(nèi)積匹配的準則，利用變步長的思想估計稀疏度。但是這類基于MMP的方法仍然存在前向搜索的固有缺陷，即一旦錯選無法剔除且會誤導(dǎo)后續(xù)原子擴充。同時，上述方法都是基于匹配追蹤的思想，始終是在迭代中搜索和殘差最相關(guān)的原子^［1617］，該類方法受限于機理與Oracle估計器^［1824］（支撐集先驗已知的估計器）獲得的最佳可實現(xiàn)性能限相比還有較大差距^［9］。

因此，本文打破經(jīng)典算法思路，不再搜索最匹配殘差的原子，轉(zhuǎn)而以最小殘差為重構(gòu)目標，提出多路徑支撐集回溯貪婪重構(gòu)（multipath backtracking greedy pursuit，MBGP）算法，并行展開多條支撐集擴展路徑，每條路徑批量擴充候選原子，遴選出殘差趨減的子路徑并剪除雜支，以逼近Oracle估計器的最佳可實現(xiàn)性能限。

1 MBGP算法

簡要說明本文所用符號記法。CS觀測方程為y=Φx，待恢復(fù)K稀疏向量x=（x₁，x₂，…，x_N）∈R^N（x₀≤Kn），其支撐集定義為T={i|x_i≠0，i∈［1，N］}，其中Φ∈R^M×N（Mlt;N）通常被稱為感知矩陣。盡管觀測方程是不定方程組，但由于信號稀疏性，x可以通過求解l₀范數(shù)最小化問題從測量值y中準確恢復(fù)：

minxx₀ s.t. y=Φx（1）

Φ_S是以S為索引的Φ中列構(gòu)成的子陣，列滿秩，其偽逆為Φ_S=（ΦT_SΦ_S）^－1ΦT_S。span（Φ_S）為Φ_S各列張成的空間，P_S=Φ_SΦ_S為投影至span（Φ_S）的算子，P^⊥_S=I－P_S為投影至span（Φ_S）正交補空間的算子，其中I為單位陣。

首先，算法前向遍歷母節(jié)點，令T^l－1={t^l－1₁，t^l－1₂，…，t^l－1_|Tl－1|}為第l－1次迭代產(chǎn)生的候選集的集合，t^l－1_i是其中第i個元素（i∈［1，|T^l－1|］），同時也是一個候選的支撐集估計，其對應(yīng)的信號估計為x^^l－1_i。第l次迭代不再用經(jīng)典OMP搜索最匹配殘差原子的思路，轉(zhuǎn)而采用OLS策略以最小殘差為重構(gòu)目標，篩選出2K個候選原子集TΔ=arg minΠ：|Π|=S∑_π∈ΠP^⊥_Tl－1∪{π}y22。接下來，算法經(jīng)由多路徑回溯搜索支撐集，取TΔ中的前S項表示為Ω=TΔ（1∶S），將Ω與母節(jié)點支撐集t^l－1_i合并得到擴充集記作T～^l_j（第j條子路徑）。嘗試重構(gòu)得到x^_t=Φ_T～ljy，若x～₀≥K，則找出最大的前K項系數(shù)構(gòu)成新的支撐集估計t^l_i，j即完成剪枝，用t^l_i，j重構(gòu)信號得到x^^l_i，j=Φ_tli，jy，并更新殘差r^l_i，j=P^⊥_tli，jy和恢復(fù)支撐集的集合T^l=∪i，j{t^l_i，j}。令TΔ=TΔ－Ω，避免各條子路徑擴充重復(fù)的原子。準備開始第j+1條子路徑重構(gòu)，直到j(luò)=L為止，則第i個母節(jié)點下的L條子路徑總共選入了LS個原子即TΔ（1∶LS）。這里便于理解，將多路徑搜索描述成順序執(zhí)行，實際算法當(dāng)中可以并行計算。

當(dāng)?shù)K止時，將使殘差最小的候選集確定為最終支持集。算法流程總結(jié)如算法1所示。

算法 1 MBGP算法

輸入 y，Φ，K，L，S

輸出 x^

步驟 1 （初始化）x^=0，r⁰=y，l=i=j=0，T⁰={t⁰₁，…，t⁰_i，…t⁰_L}=arg minΠ：|Π|=L∑_π∈ΠP^⊥πy22

步驟 2 （前向遍歷母節(jié)點）l=l+1，i=i+1，TΔ=arg minΠ：|Π|=2K∑_π∈ΠP⊥_tl－1i∪{π}y22，若i≤|T^l－1|循環(huán)執(zhí)行步驟3

步驟 3 （多路徑回溯搜索）j=j+1，Ω=TΔ（1∶S）

若j≤L循環(huán)執(zhí)行（這里順序描述便于理解，實際可并行計算）

步驟 3.1 （原子擴充）T～^l_j=t^l－1_i∪Ω

步驟 3.2 （嘗試重構(gòu)）x～=Φ_T～ljy

步驟 3.3 （剪枝）t^l_i，j=arg minΠ：|Π|=Kx～－x～_Π2

步驟 3.4 （重構(gòu)）x^^l_i，j=Φ_tli，jy

步驟 3.5 （更新殘差）r^l_i，j=P^⊥_tli，jy

步驟 3.6 （更新支撐集樹）T^l=∪i，j{t^l_i，j}，TΔ=TΔ－Ω

步驟 4 （迭代停止判斷）若mini，jr^l_i，j2lt;minir^l－1_i2，（I，J）∶=argmini，jr^l_i，j2，x^_tlI，J=x^^l_I，J，轉(zhuǎn)到步驟2;否則停止迭代輸出x ^

迭代停止條件保障了殘差遞減，且最終輸出結(jié)果為各路徑中使殘差最小的估計值。

圖1所示為L=2，S=2，K=4時MBGP算法思想與經(jīng)典算法對照示意圖，其中×代表剪枝過程剔除的原子。直觀可見，圖1（a）中OMP、OLS等前向搜索算法每次只擴充一個候選原子，采用的是單路徑前向搜索支撐集，沒有剔除機制，一旦錯選誤差會逐步擴大，即容易陷于某次迭代的局部最優(yōu)難以跳出。圖1（b）中，SP、CoSaMP等回溯算法引入了原子剔除的機制，但是也僅限于單路徑上來回搜索，且原子擴充、剔除的規(guī)模固定，可能出現(xiàn)過擬合的現(xiàn)象。圖1（c）是本文提出的MBGP方法將原子搜索的方向從1個拓展到了L個，同時兼顧搜索效率，每個母節(jié)點下的分支擴展2K個原子，且候選支撐集多余K個原子時末位剔除，最終是在若干滿足條件的候選支撐集中遴選使得重構(gòu)殘差最小的那個，目的是盡可能實現(xiàn)全局最優(yōu)。

2 MBGP算法重構(gòu)條件

開始分析之前，先給出RIP的定義。

定義 1 若對所有x₀≤K的x，矩陣Φ∈R^M×N都滿足

（1－δ_K）x22≤Φx22≤（1+δ_K）x22（2）

式中：K≤M，0lt;δ_Klt;1，則稱Φ滿足參數(shù)（K，δ_K）的RIP性質(zhì)，δ_K具有單調(diào)性，對任意兩個整數(shù)K≤K′，有δ_K≤δ_K′。

MBGP的收斂性分析可分為兩部分。在第一部分中，考慮確保在第i個母節(jié)點下的擴充集TΔ（1∶LS）至少選對一個原子。在第二部分中，研究保證該正確原子成功入選t^l_i，j的條件。結(jié)合兩部分即保證每次迭代至少有一個真實支撐集T中的項入選重構(gòu)支撐集。

用數(shù)學(xué)歸納法，第1次迭代將選對1個原子已經(jīng)由文獻［9］ 中定理3.5證明，條件為

δ_K+Llt;LK+L（3）

假設(shè)前l(fā)－1次迭代都至少選對了一個原子，繼續(xù)討論第l次迭代，即需證（t^l_i，j－t^l－1_i）∩T≠。令Π={π₁，π₂，…，π_LS}T，其中T代表支撐集的補集使得|v_π1|≥|v_π2|≥…≥|v_πLS|≥maxπ∈T－Π|v_π|。因此，maxs∈T－t^l－1i|v_s|gt;|v_πLS|保證了第i個母節(jié)點下的L條支路擴充集TΔ（1∶LS）至少選對一個原子。

定理 1 若δ_3K≤1/3，則maxs∈T－t^l－1i|v_s|gt;|v_πLS|，即保證了第i個母節(jié)點下的擴充集TΔ（1∶LS）至少選對一個原子。

證明 文獻［13］ 的定理1已經(jīng)證明當(dāng)S=1時，P條子路徑至少選對一個原子的條件為

δ_K+Plt;PK+P（4）

而本文提出的MBGP算法在同一個母節(jié)點的多路徑下一次迭代擴充P=LS個原子，而LS≤2K，此時式（4）推廣為

δ_K+LS≤δ_3Klt;LSK+LS≤13（5）

證畢

下面僅需證明經(jīng)過剪枝后，之前批量擴充進來的正確原子仍然留在估計的支撐集當(dāng)中，則算法最終收斂。由于L和S均為變量，本文受限于篇幅，僅從兩種典型取值的角度進行證明。

定理 2 δ_4Klt;0.1，LS≤2K時，算法收斂。

證明 定理1已經(jīng)證明批量擴充原子中至少有一個正確原子入選，不妨假設(shè)這個正確原子在第J條路徑的步驟3.1中被擴充進入T～^l_J=t^l－1_i∪Ω。又因為LS≤2K，所以|Ω|≤2K。現(xiàn)在考慮最惡劣的情況，即Ω中僅有一個原子ω_T在x的真實支撐集T中，其他2K－1個原子Ω－ω_T均在x支撐集外（x_Ω－ωT=0），經(jīng)過步驟3.3剪枝后僅保留最大的前K項，此過程類似CoSaMP中一次迭代，收斂性可由其推廣。文獻［25］的定理2.1和文獻［26］的定理2.1已經(jīng)證明在δ_4Klt;0.1的無噪環(huán)境下，x－x^^l_i，J2≤0.5x－x^^l－1_i2，即剪枝步驟能夠保留正確原子ω_T剔除錯誤原子。又因為該結(jié)論是在最惡劣假設(shè)下得到，所以對于LS≤2K的一般情況，本文算法在δ_4Klt;0.1時收斂。證畢

定理 3 δ_3Klt;0.205，LS≤K時，算法收斂。

證明 同定理2中分析思路，當(dāng)LS≤K時，假設(shè)最惡劣的情況，即Ω中僅有一個原子ω_T在x的真實支撐集T中，其他K－1個原子Ω－ω_T均在x支撐集外，不妨假設(shè)這個正確原子在第J條路徑，然后通過剪枝僅保留最大的前K項。過程類似SP的一次迭代，收斂性由其推廣。文獻［27］的定理1和推論3證明當(dāng)δ_3Klt;0.205時，x_{T－tli，J2}lt;x_T－tl－1i₂，也就是說明，正確原子ω_T經(jīng)歷剪枝步驟后，順利留在了本輪支撐集估計t^l_i，J當(dāng)中。又因為該結(jié)論是在最惡劣假設(shè)下得到，所以對于LS≤K的一般情況，本文算法在δ_3Klt;0.205時收斂。證畢

3 仿真分析

3.1 搜索路徑數(shù)和擴充集的勢對算法性能的增益

選取長度為N=100的一維稀疏測試信號，稀疏比K/N選擇0.3，采用高斯觀測矩陣，令壓縮比M/N在0.2～0.8變化。當(dāng)重構(gòu)均方誤差（root mean square error， RMSE）小于10^－4即認為成功重構(gòu)，其中：

RMSE=x－x^22x22（6）

子路徑數(shù)L從1至5步進，對照擴充集的勢S分別為1和7時，迭代2 000次統(tǒng)計的成功重構(gòu)概率，隨壓縮比M/N變化的趨勢如圖2所示。在同樣壓縮比和擴充集的勢S下，當(dāng)L增大MBGP成功重構(gòu)概率更高。這是由于隨著L增大，MBGP算法遍歷支撐集的可能性增大，但是所付出的復(fù)雜度也會更多。且注意到L分別為3，4，5時，對成功重構(gòu)概率的影響已經(jīng)很接近，因此權(quán)衡復(fù)雜度和重構(gòu)概率，本文后續(xù)實驗選擇L=4。同時，每條子路徑不同的原子擴充數(shù)量S也會影響算法的性能，由圖2可見，相同壓縮比和子路徑數(shù)前提下，S=7時的重構(gòu)概率均高于S=1時的對應(yīng)值。類似地，因為擴充集的勢S增大，MBGP算法一次擴充的候選者多了，正確入選的數(shù)目也就會比一次選一個多。

3.2 重構(gòu)誤差隨稀疏比變化

選取長度為N=100的一維稀疏測試信號，稀疏比K/N從0.1至0.5變化，采用高斯觀測矩陣，觀測值選擇M=2Kln（N/K）。針對MBGP算法的特征，分別選取經(jīng)典算法作為對照組，多路徑類選取MMP（深度優(yōu)先（depth-first， DF）、廣度優(yōu)先（breath-first， BF）），回溯剪枝類為SP、CoSaMP，批量擴充原子類為SP、CoSaMP、ROMP，單路徑單原子擴充類選取OMP、OLS。MMP和MBGP算法中，子路徑數(shù)L取4，最大候選路徑數(shù)N_max=50。

迭代2 000次統(tǒng)計的平均重構(gòu)誤差隨稀疏比K/N變化曲線對比如圖3所示。在相同信號條件下，與同類算法相比MBGP能夠在更大稀疏比場合下精確重構(gòu)信號。與MMP相比，相同稀疏度MBGP重構(gòu)誤差更小，這是得益于MBGP當(dāng)中的回溯剪枝策略，能夠動態(tài)剔除錯誤支撐集;但單純的回溯剪枝策略是不夠的，MBGP與SP、CoSaMP性能對比很好地說明了這一點，還需要多路徑并行搜索策略幫助避免重構(gòu)結(jié)果陷于局部最優(yōu)，但這其中只有MBGP算法既兼顧原子擴充的效率（每輪迭代擴充LS個）又以多路徑并行搜索保證重構(gòu)精度。實驗驗證了MBGP算法的收斂性以及在較大稀疏比應(yīng)用條件下的有效性。

3.3 重構(gòu)誤差隨壓縮比變化

令壓縮比M/N在0.2～0.8間變化，信號稀疏比K/N取固定值0.2。算法參數(shù)設(shè)置同第3.2節(jié)實驗。迭代2 000次統(tǒng)計的平均重構(gòu)誤差隨壓縮比M/N變化曲線對比如圖4所示。該實驗中，各算法重構(gòu)誤差隨壓縮比M/N增加而降低，在相同信號條件下，與同類算法相比MBGP能夠在采樣數(shù)更少的場合高精度重構(gòu)信號。例如，壓縮比為0.6時，MBGP平均重構(gòu)誤差為10^－16量級（受限于仿真計算機浮點相對精度eps=2.220 4×10^－16），而MMP平均重構(gòu)誤差在10^－4量級以上，OMP、OLS平均重構(gòu)誤差在10^－2量級，其他算法則幾乎無法成功重構(gòu)。這是因為觀測數(shù)較少時，觀測值中的原子混疊會更嚴重，各算法重構(gòu)時原子擴充的準確率均會受到影響。傳統(tǒng)算法此時容易陷入局部最優(yōu)或出現(xiàn)過擬合，MBGP得益于其多路徑搜索且最終遴選使誤差最小的候選支撐集重構(gòu)的策略，能更準確地重構(gòu)信號。

3.4 重構(gòu)誤差隨信噪比變化

本節(jié)中測試含噪環(huán)境對MBGP算法的影響，噪聲選取高斯白噪聲，信噪比（signal-to-noise ratio， SNR）從0 dB至40 dB以步長5 dB變化，主要考察RMSE隨SNR變化趨勢。信號觀測值選擇M=2Kln（N/K），各算法參數(shù)設(shè)置同第3.3節(jié)實驗。

信號長度N為256，稀疏度K分別為20和30，圖5為各算法RMSE隨SNR變化趨勢橫向?qū)Ρ?，相同條件下MBGP算法的RMSE最小，說明其抗噪聲性能在參比算法中最好，特別當(dāng)SNR較大時，如SNR=40 dB時，MBGP算法接近Oracle-最小二乘估計器的性能。對比圖5（a）和圖5（b）可見，稀疏度較小時，除ROMP外各算法重構(gòu)誤差性能差異在1個數(shù)量級以內(nèi)，當(dāng)稀疏度增大到30時，各算法性能拉開差異。MBGP算法在稀疏度較大時，其重構(gòu)支撐集能夠趨于真實值，因此RMSE性能趨近Oracle-最小二乘估計器的性能。OMP、OLS等每次迭代擴充一個原子的算法得益于其保守的支撐集搜索策略，性能比較穩(wěn)健。與之鮮明對照的是，CoSaMP每次迭代擴充2K個原子的粗放支撐集搜索策略，自然會造成稀疏度較大時噪聲干擾下錯選原子急劇增多，導(dǎo)致其抗噪聲性能急劇惡化。本實驗說明了MBGP對嘈雜場景的有效性。

4 結(jié) 論

本文以最小殘差為重構(gòu)目標，提出MBGP算法，并行展開多條支撐集擴展路徑，每條路徑批量擴充候選原子，遴選出殘差趨減的子路徑并剪除雜支，前向遍歷過程中克服了單路徑單原子擴充（如OMP、OLS等）一旦錯選無法剔除的缺點，多路徑回溯搜索解決了傳統(tǒng)單路徑批量擴充回溯剪枝（如SP、CoSaMP、ROMP等）容易陷于局部最優(yōu)的問題。同時，比傳統(tǒng)搜索效率、性能都有所提升，在實驗結(jié)果以及基于RIP的性能保障中，可以觀察到MBGP在有噪聲和無噪聲場景中的有效性。

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作者簡介

田文飚（1987—），男，副教授，博士，主要研究方向為壓縮感知、通信信號處理。

芮國勝（1968—），男，教授，博士研究生導(dǎo)師，博士，主要研究方向為壓縮感知、現(xiàn)代濾波理論、微弱信號檢測。

張 嵩（1979—），男，副教授，博士，主要研究方向為微弱信號檢測、航空通信技術(shù)。

張海波（1983—），男，副教授，博士，主要研究方向為多輸入多輸出通信、航空電子技術(shù)。

王 林（1985—），男，講師，博士，主要研究方向為航空通信技術(shù)。