摘 要：針對(duì)車(chē)載雷達(dá)多參數(shù)聯(lián)合超分辨計(jì)算復(fù)雜度高、無(wú)法快速實(shí)現(xiàn)參數(shù)估計(jì)的問(wèn)題，提出了基于頻域波束降維的多參數(shù)聯(lián)合超分辨算法。所提算法通過(guò)快速傅里葉變換（fast Fourier transform， FFT）將空時(shí)多參數(shù)域聯(lián)合數(shù)據(jù)變換到頻域，處理感興趣區(qū)域的多維頻域數(shù)據(jù)，完成空時(shí)波束空間降維和基于頻域數(shù)據(jù)的多參數(shù)聯(lián)合超分辨，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)信息的快速聯(lián)合估計(jì)。推導(dǎo)了頻域子空間正交性及頻域波束降維超分辨算法理論。仿真研究了算法的分辨率和估計(jì)性能與信噪比的關(guān)系。仿真結(jié)果表明，所提算法的精度和分辨率遠(yuǎn)超傳統(tǒng)FFT算法，相對(duì)于傳統(tǒng)多重信號(hào)分類(lèi)（multiple signal classification， MUSIC）算法，所提算法計(jì)算量大幅降低。

關(guān)鍵詞： 頻域; 波束空間; 聯(lián)合超分辨; 多重信號(hào)分類(lèi)

中圖分類(lèi)號(hào)： TN 911.23; TN 958

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A" DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.10.10

Frequency-domain beam dimension reduction based multi-parameter joint

super-resolution algorithm for vehicle radar

LIU Runhu^1， CAO Bingxia LI Yingchun YAN Fenggang JIN Ming¹

（1. Institute of Information Engineering， Harbin Institute of Technology （Weihai）， Weihai 264209， China;

2. School of Electronics and Information Engineering， Harbin Institute of Technology， Harbin 15000 China）

Abstract： Aiming at the problem that the multi-parameter joint super-resolution of vehicle radar has high computational complexity and cannot achieve parameter estimation quickly， a multi-parameter joint super-resolution algorithm based on frequency-domain beam dimension reduction is proposed. The proposed algorithm transforms the joint data of space-time multi-parameter domain to frequency domain by fast Fourier transform （FFT）， to process multi-dimensional frequency-domain data of the region of interest and complete the dimension reduction of the beam-space in space-time and the multi-parameter joint super-resolution based on the frequency-domain data， which achieve fast joint estimation of target information. The theory of frequency-domain subspace orthogonality and frequency-domain beam dimension reduction super-resolution is deduced. The relationship between the resolution， estimation performance of the algorithm and the signal to noise ratio （SNR） is investigated in simulation， and the simulation results show that compared with the traditional FFT， the accuracy and resolution of the proposed algorithm have been greatly improved， and the computational quantity is greatly reduced compared with that of the multiple signal classification （MUSIC） algorithm.

Keywords： frequency domain; beam-space; joint super-resolution; multiple signal classification （MUSIC）

0 引 言

在目標(biāo)探測(cè)算法中，傳統(tǒng)的快速傅里葉變換（fast Fourier transform， FFT）算法能夠快速地實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的多維參數(shù)估計(jì)。車(chē)載雷達(dá)的角度分辨率隨陣列天線的增加而提升，距離分辨率隨信號(hào)帶寬的增加而提升，速度分辨率隨幀時(shí)間的增加而提升。對(duì)于一個(gè)參數(shù)固定的車(chē)載雷達(dá)而言，由于硬件體積及成本要求，天線個(gè)數(shù)有限，信號(hào)帶寬及幀時(shí)間固定，則目標(biāo)的參數(shù)估計(jì)分辨率在傳統(tǒng)FFT算法下存在固定值^［1］。同時(shí)，F(xiàn)FT的估計(jì)精度受陣列的幾何結(jié)構(gòu)、信噪比、多徑等因素的影響，無(wú)法有效地估計(jì)高動(dòng)態(tài)范圍和高速移動(dòng)目標(biāo)的到達(dá)角^［2］。針對(duì)傳統(tǒng)FFT算法瓶頸，為提升目標(biāo)參數(shù)估計(jì)的精度及分辨率，超分辨算法逐漸被應(yīng)用至車(chē)載雷達(dá)的目標(biāo)探測(cè)^［3］。以多重信號(hào)分類(lèi)（multiple signal classification， MUSIC）算法^［47］及旋轉(zhuǎn)不變子空間（estimating signal parameter via rotational invariance techniques， ESPRIT）算法^［811］等為代表的超分辨算法雖然可以提升目標(biāo)信息的估計(jì)精度及分辨率，但龐大的數(shù)據(jù)運(yùn)算量仍然嚴(yán)重影響上述算法的工程化應(yīng)用進(jìn)程^［1214］。

如何實(shí)現(xiàn)空時(shí)多參數(shù)聯(lián)合超分辨算法的高效化，降低算法的復(fù)雜度，是目前亟待解決的問(wèn)題，也是算法工程化中無(wú)法繞開(kāi)的問(wèn)題。Bienvenu等^［15］提出的基于波束空間降維的高分辨目標(biāo)方位估計(jì)方法，通過(guò)波束轉(zhuǎn)換矩陣將陣元域數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到波束域輸出，利用部分感興趣波束數(shù)據(jù)進(jìn)行超分辨估計(jì)，選擇的波束空間維數(shù)通常遠(yuǎn)小于原陣元數(shù)據(jù)維數(shù)，極大地降低了超分辨算法的復(fù)雜度。波束空間降維能提高空間譜矩陣估計(jì)的統(tǒng)計(jì)穩(wěn)定性，去除波束外干擾，增強(qiáng)算法穩(wěn)健性^［16］。通過(guò)波束的合理選擇，參數(shù)估計(jì)的精度和分辨率都可以得到提高^［17］。同時(shí)，在車(chē)載雷達(dá)的多目標(biāo)探測(cè)場(chǎng)景應(yīng)用中，參數(shù)估計(jì)通常包括陣元域?qū)?yīng)的角度測(cè)量、快時(shí)域和慢時(shí)域?qū)?yīng)的距離和速度測(cè)量，而原始采樣的空時(shí)多參數(shù)聯(lián)合數(shù)據(jù)非常龐大，原始數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)、計(jì)算都是工程實(shí)現(xiàn)的難題^［1821］。在工程操作中，一般根據(jù)目標(biāo)信息或數(shù)據(jù)預(yù)處理結(jié)果，確定感興趣的參數(shù)區(qū)域，再進(jìn)行超分辨。

基于以上傳統(tǒng)聯(lián)合超分辨超高復(fù)雜度無(wú)法工程化應(yīng)用的難題，本文將波束空間降維思想^［22］應(yīng)用至頻域，提出一種基于頻域波束降維的多參數(shù)聯(lián)合超分辨方法，基于空時(shí)數(shù)據(jù)的多維離散傅里葉變換（discrete Fourier transform， DFT）和波束空間變換的等效性，根據(jù)目標(biāo)的先驗(yàn)信息，選擇目標(biāo)區(qū)域?qū)?yīng)的頻域數(shù)據(jù)區(qū)域，進(jìn)行基于波束降維的三維（three dimensional， 3D）MUSIC聯(lián)合超分辨。波束域數(shù)據(jù)維度的極大降低，使得聯(lián)合超分辨工程實(shí)現(xiàn)成為可能，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)車(chē)載雷達(dá)的目標(biāo)多參數(shù)快速聯(lián)合探測(cè)。相比于傳統(tǒng)FFT算法的固定分辨能力，本文所提算法使得目標(biāo)參數(shù)估計(jì)的分辨率顯著提升，是一種工程可行的快速聯(lián)合超分辨算法。

1 信號(hào)模型

車(chē)載雷達(dá)常采用時(shí)分復(fù)用多輸入多輸出（time division multiplexing-multiple input multiple output， TDM-MIMO）雷達(dá)擴(kuò)展虛擬孔徑，以提升角度估計(jì)精度。TDM-MIMO雷達(dá)陣列模型如圖1所示。TDM-MIMO雷達(dá)工作時(shí)，發(fā)射天線分時(shí)發(fā)射調(diào)頻信號(hào)，每個(gè)調(diào)頻周期內(nèi)只有一個(gè)發(fā)射天線工作，接收天線相應(yīng)地分時(shí)接收回波信號(hào)^［2326］。

設(shè)定L_TX、L_RX分別為發(fā)射、接收天線的個(gè)數(shù)，T_x1為第一個(gè)發(fā)射天線，T_xLTX為第L_TX個(gè)發(fā)射天線，簡(jiǎn)化陣列模型如圖1所示。接收陣元間距為d_r=λ/2，λ為信號(hào)波長(zhǎng)，發(fā)射陣元間距為d_t，其中d_t=L_RX·d_r。假設(shè)某一任意接收天線l_RX與接收天線陣列中的第一個(gè)接收天線之間的間距d_r/（RX）=（l_RX－1）d_r。圖1雷達(dá)模型產(chǎn)生的虛擬陣元數(shù)為L(zhǎng)=L_TX·L_RX的陣列，其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可等效為陣列孔徑為（L_TXL_RX－1）·λ/2的均勻線陣。

通過(guò)TDM-MIMO雷達(dá)擴(kuò)展虛擬孔徑，本文針對(duì)圖1模型下的線性調(diào)頻連續(xù)波（linear frequency modulated continuous wave， LFMCW）雷達(dá)為例分析系統(tǒng)信號(hào)模型^［27］，雷達(dá)發(fā)射的鋸齒LFMCW信號(hào)（簡(jiǎn)稱(chēng)為鋸齒波）及回波信號(hào)的頻率時(shí)間示意圖如圖2所示。

圖2中，f_IF為差拍信號(hào)頻率。在此模型下獲取TDM-MIMO LFMCW雷達(dá)鋸齒波差拍信號(hào)為

x（t）=A_mpTsA_mpRs·expj2π2vf_cc+2μRc+2μvmT_mct·

expj2π（（l_tx－1）L_RXd_r+（l_rx－1）d_r）sin θλ·

expj2π2Rf_cc+2f_cvmT_mc+G（t）=

A_mpTsA_mpRs·expj2π2vf_cc+2μRc+2μvmT_mct·

expj2πl(wèi)d_rsin θλ·expj2π2Rf_cc+2f_cvmT_mc+G（t）（1）

式中：A_mpTs，A_mpRs分別表示發(fā)射、接收信號(hào)對(duì)應(yīng)幅度;R，v，θ分別為目標(biāo)相對(duì)毫米波雷達(dá)的距離、速度、方位角；c=3×10⁸ m/s為電磁波傳播速度;fc為信號(hào)載頻;μ=B/T_m表示調(diào)頻斜率，其中B為信號(hào)帶寬，T_m為鋸齒波的重復(fù)周期;l_tx=1，2，…，L_TX，l_rx=1，2，…，L_RX，L_TX和L_RX分別為發(fā)射、接收天線個(gè)數(shù);l=0，1，…，L－1代表虛擬陣列接收天線陣元序號(hào)，L為通過(guò)接收、發(fā)射天線得到的虛擬陣列的天線個(gè)數(shù)；m=0，1，…，M－1代表重復(fù)周期序號(hào)，M為最大重復(fù)周期個(gè)數(shù)，即慢時(shí)域采樣數(shù)；T_m為信號(hào)重復(fù)周期；G（t）為加性高斯白噪聲。

2 時(shí)頻等效的頻域波束空間變換

2.1 空時(shí)超分辨處理等效性

式（1）表明，天線陣列的接收數(shù)據(jù)是一個(gè)包括空域、快時(shí)域和慢時(shí)域的3D大規(guī)模數(shù)據(jù)包，分別對(duì)應(yīng)了對(duì)目標(biāo)的方位角、距離和運(yùn)動(dòng)速度的測(cè)量。本節(jié)首先說(shuō)明空域數(shù)據(jù)的超分辨算法對(duì)時(shí)域數(shù)據(jù)的等效性，確定空時(shí)數(shù)據(jù)聯(lián)合超分辨的理論可行性。

文獻(xiàn)［28］證明了采樣中的空時(shí)等效性，闡述了空時(shí)信號(hào)處理等效原理;文獻(xiàn)［29］對(duì)時(shí)域延遲及空域延遲的等效性、特殊性進(jìn)行闡明分析：即可通過(guò)延遲器實(shí)現(xiàn)時(shí)域延遲，通過(guò)陣元間空間距離實(shí)現(xiàn)空域延遲。二者在某些特定條件下可進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，即時(shí)域處理可應(yīng)用至空域，空域處理可應(yīng)用至?xí)r域。

設(shè)每個(gè)Chirp內(nèi)的快時(shí)域采樣數(shù)為N，根據(jù)空時(shí)等效性，距離維、角度維和速度維進(jìn)行超分辨的導(dǎo)向矢量分別如下所示：

a_R（R）=［1，e^{－j2π2μRcfs}，…，e^{－j2π2μRcfs（N－1）}］T

a_θ（θ）=［1，e^{－j2πdsin θλ}，…，e^{－j2πdsin θλ（L－1）}］T

a_v（v）=［1，e^{－j2π2fcvTmc}，…，e^－j2π2f_c^{vTmc（M－1）}］T（2）

式中：f_s為采樣頻率。

依據(jù)空時(shí)等效性，空域的角度聯(lián)合超分辨可擴(kuò)展到空時(shí)域進(jìn)行距離、角度和速度的空時(shí)聯(lián)合超分辨，時(shí)域超分辨的維度遠(yuǎn)高于空域，聯(lián)合超分辨的技術(shù)瓶頸是算法的快速實(shí)時(shí)性。

在所有降低超分辨復(fù)雜度的方法中，波束空間降維算法只選擇遠(yuǎn)小于原陣元數(shù)據(jù)維數(shù)的維數(shù)，還可以保證譜估計(jì)的性能，是工程可行的低復(fù)雜度超分辨方法。最早的波束空間降維是基于空域的波束形成提出的。根據(jù)空時(shí)等效性原理，盡管物理意義不同，在時(shí)域，對(duì)速度和距離參數(shù)，同樣可以進(jìn)行形式類(lèi)似的降維超分辨算法。對(duì)式（1）模型對(duì)應(yīng)的大規(guī)模數(shù)據(jù)進(jìn)行3D聯(lián)合超分辨，采用類(lèi)似空域波束空間降維的形式，進(jìn)行降維聯(lián)合超分辨，是可能的聯(lián)合超分辨工程實(shí)現(xiàn)方案。

2.2 空時(shí)頻域超分辨處理可行性

為了減輕硬件的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)壓力，對(duì)原始采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行多維FFT處理，只存儲(chǔ)感興趣的參數(shù)區(qū)域數(shù)據(jù)。此時(shí)的數(shù)據(jù)為頻域數(shù)據(jù)，通常超分辨算法使用的是空域或時(shí)域采樣數(shù)據(jù)，需要證明FFT后頻域數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣具有相同的特征子空間且具備子空間正交性，即子空間類(lèi)超分辨算法在頻域仍成立。

為不失一般性，下面以一維均勻線陣為例，論證上述問(wèn)題。天線接收的時(shí)域數(shù)據(jù)，在信號(hào)入射方向陣列流型張成的子空間與信號(hào)子空間相同，且均與噪聲子空間正交^［29］，即：

span（S）⊥span（G）

span（A）=span（S）（3）

式中：span（S）為信號(hào)子空間；span（G）為噪聲子空間；span（A）為陣列流型張成的子空間;⊥表示正交。

L個(gè)天線組成一維均勻線陣，其任意一次快拍接收的時(shí)域數(shù)據(jù)可用L×1維列向量表示為

x_t（l）=［x_t（1），x_t（2），…，x_t（L）］T

=A（θ）s（l）+n（l）（4）

對(duì)x_t（l）進(jìn)行DFT，可得到L點(diǎn)的頻域數(shù)據(jù)。根據(jù)DFT理論，第k（k=1，2，…，L）個(gè)DFT的值為

x_f（k）=∑Ll=1x_t（l）e^－j2kπLl=

e^－j1L2kπ，e^－j2L2kπ，…，e^－jLL2kπx_t（1）

x_t（2）

x_t（L）=fT（ω_k）x_t（l）（5）

式中：f（ω_k）=［e^－j1L2kπ，e^－j2L2kπ，…，e^－jLL2kπ］T為L(zhǎng)×1維列向量;ω_k=（2kπ）/L為第k個(gè)DFT值所對(duì)應(yīng)的頻譜值。根據(jù)式（5），可將L點(diǎn)的DFT用L×1維列向量表示為

x_f（k）=［x_f（1），x_f（2），…，x_f（L）］T=

［f（ω₁），f（ω₂），…，f（ω_k）］Tx_t（l）=Fx_t（l）（6）

式中：F=［f（ω₁），f（ω₂），…，f（ω_k）］T為L(zhǎng)×L維傅里葉變換矩陣。將式（4）代入式（6），可得

x_f（k）=F［A（θ）s（l）+n（l）］（7）

時(shí)域的特征子空間分解可通過(guò)時(shí)域數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣特征分解獲取，則根據(jù)式（7），可得x_f（k）的協(xié)方差矩陣為

R_f=E［x_f（k）xH_f（k）］=［FA］R_s［FA］H+σ²_nFFH（8）

由式（8）可知，頻域數(shù)據(jù)相當(dāng)于具有等價(jià)流型的F（ω）A所觀測(cè)到的時(shí)域數(shù)據(jù)，而變換矩陣F為常數(shù)矩陣，與波達(dá)角無(wú)關(guān)。因此，在頻域也可以采用超分辨算法，則式（8）可重寫(xiě)為

R_f=S_fΛ_sSH_f+G_fΛ_sGH_f（9）

式中：S_f=FS;G_f=FG。式（9）即為R_f的特征值分解（eigenvalue decomposition， EVD），而S_f和G_f則分別為R_f EVD后所提取的信號(hào)子空間和噪聲子空間。其中，F(xiàn)具有范德蒙結(jié)構(gòu)，S_f和G_f分別為S和G的滿(mǎn)秩變換，S_f和G_f的秩必然分別相等于S和G的秩;由于S_f和G_f的列分別可以表示為S和G列的線性組合，因此S_f和G_f的列張成的子空間必然分別相等于S和G的列張成的子空間。

可見(jiàn)，R_f與時(shí)域數(shù)據(jù)x_t（k）的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣R_t具有相同的特征子空間及子空間正交性，頻域數(shù)據(jù)同樣可以進(jìn)行超分辨估計(jì)。由span［FA］=（A）得，在頻域：

span（S_f）⊥span（G_f）

span（A）=span（S_f）（10）

因此，在頻域構(gòu)造譜函數(shù)時(shí)所采用的搜索導(dǎo)向矢量與時(shí)域搜索譜函數(shù)時(shí)所采用的導(dǎo)向矢量相同。

由上述內(nèi)容可得，對(duì)陣元域數(shù)據(jù)，做FFT后的頻域數(shù)據(jù)超分辨算法仍然成立;同理，對(duì)快時(shí)域和慢時(shí)域數(shù)據(jù)，做FFT后的頻域數(shù)據(jù)也可直接進(jìn)行超分辨。在本文論證的系統(tǒng)中，原始數(shù)據(jù)先進(jìn)行3D-FFT到頻域，對(duì)FFT后的頻域數(shù)據(jù)和原始空時(shí)數(shù)據(jù)聯(lián)合超分辨，結(jié)果是一致的，即3D頻域數(shù)據(jù)可完成聯(lián)合超分辨參數(shù)估計(jì)，算法步驟如算法1所示。

算法 1 3D超分辨算法

步驟 1 由采樣數(shù)據(jù)得到3D聯(lián)合數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣;

步驟 2 對(duì)3D聯(lián)合協(xié)方差矩陣進(jìn)行EVD;

步驟 3 確定信號(hào)子空間;

步驟 4 在參數(shù)搜索范圍內(nèi)，進(jìn)行譜峰搜索（spectral peak search， SPS）;

步驟 5 求得目標(biāo)角度、速度及距離信息。

直接對(duì)目標(biāo)信息做聯(lián)合超分辨可以獲得目標(biāo)的角度速度距離的聯(lián)合信息，但是龐大的數(shù)據(jù)計(jì)算量導(dǎo)致工程實(shí)現(xiàn)的可能性幾乎為零，接下來(lái)對(duì)超分辨過(guò)程中的計(jì)算復(fù)雜度進(jìn)行分析。超分辨過(guò)程中計(jì)算復(fù)雜度的來(lái)源主要包括3個(gè)方面：① 陣列協(xié)方差矩陣（array covariance matrix， ACM）的生成過(guò)程;② 協(xié)方差矩陣的EVD處理部分;③ SPS部分。其計(jì)算復(fù)雜度如表1所示。

假設(shè)天線陣元個(gè)數(shù)L=30，距離維的快時(shí)域采樣數(shù)為N=200，速度維的慢時(shí)域快拍采樣數(shù)M=256。定義角度維搜索個(gè)數(shù)l_s=236，距離維搜索個(gè)數(shù)n_s=89，速度維搜索個(gè)數(shù)m_s=118，代入可算出計(jì)算復(fù)雜度為O（3.623 9e+18），因此研究一種快速的多維聯(lián)合超分辨算法具有必要性。

2.3 基于直接選取的頻域波束降維方法

波束空間降維超分辨算法取原始采樣數(shù)據(jù)與波束空間轉(zhuǎn)換矩陣相乘，獲取波束域數(shù)據(jù)，同時(shí)導(dǎo)向矢量也根據(jù)波束選擇進(jìn)行降維。本文方法先對(duì)多維數(shù)據(jù)進(jìn)行FFT，且只存儲(chǔ)了感興趣的參數(shù)區(qū)域?qū)?yīng)的頻域數(shù)據(jù);當(dāng)且僅當(dāng)頻域直接選取數(shù)據(jù)與波束空間變換數(shù)據(jù)等價(jià)時(shí)，對(duì)部分頻域數(shù)據(jù)進(jìn)行超分辨，才與原始數(shù)據(jù)的波束空間降維超分辨等價(jià)。下面分別推導(dǎo)證明一維到多維FFT后的頻域數(shù)據(jù)直接選擇與對(duì)應(yīng)維度波束空間變換的等效性。

2.3.1 一維頻域波束降維

由文獻(xiàn)［29］可知，陣元間距為λ/2的L元的均勻線陣陣列的導(dǎo)向矢量為

a（θ）=［1，exp（jπu），…，exp（jπ（L－1）u）］T（11）

式中：u=sin θ。

通過(guò)L點(diǎn)傅里葉變換構(gòu)成的向量為式（5）中的fT（ω_k），由fT（ω_k）可知式（11）為傅里葉變換的不同表現(xiàn)形式。不同之處在于exp（－j（2π/L））變?yōu)閑xp（－juπ）。定義L×L維的傅里葉變換矩陣為F_L，F(xiàn)_L中對(duì)于陣列輸出的第l次DFT為

f（u，l）=∑L－1k=0x_k（l）exp（－jkπu）=aH_L（u）x（l）（12）

由式（12）可知，陣列的導(dǎo)向矢量本質(zhì)上是一個(gè)波束形成器，形成的波束主瓣指向sin θ，定義L×L維的全波束形成矩陣W為

W=［a（0），a2L，…，a（L－2）2L，a（L－1）2L］（13）

其中，每一列為波束主瓣指向sin（2k/L）（k=0，1，…，L－1）的波束形成器，各個(gè)相鄰的主瓣指向之間的間隔為Δ=2/L。通過(guò)式（11）～式（13）可知，對(duì)于陣元間距為λ/2的均勻線陣，進(jìn)行波束空間變換后的陣元域數(shù)據(jù)與傅里葉變換后的數(shù)據(jù)相差一個(gè)系數(shù)，兩種數(shù)據(jù)進(jìn)行超分辨算法的結(jié)果是等價(jià)的，即直接在頻域數(shù)據(jù)中選擇對(duì)應(yīng)的參數(shù)區(qū)域與原始數(shù)據(jù)利用波束形成矩陣得到的數(shù)據(jù)是等價(jià)的。

基于第2.1節(jié)的空時(shí)等效性，上述結(jié)論在時(shí)域也是成立的，因此空時(shí)數(shù)據(jù)可進(jìn)行聯(lián)合波束降維。為減輕數(shù)據(jù)存儲(chǔ)壓力和降低計(jì)算復(fù)雜度，空時(shí)數(shù)據(jù)統(tǒng)一進(jìn)行多維FFT，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)預(yù)處理或者直接根據(jù)其他已知信息選取感興趣的目標(biāo)區(qū)域數(shù)據(jù)，在多個(gè)維度上直接選取頻域數(shù)據(jù)完成數(shù)據(jù)降維，同樣可實(shí)現(xiàn)多維的降維超分辨。下面分別以理論公式說(shuō)明上述結(jié)論擴(kuò)展到二維和3D也成立。

2.3.2 多維頻域波束降維

首先，分別定義各維度的波束空間陣列流型中的波束變換矩陣，角度維波束變換矩陣WH_θ∈C^L_b^×L，L_b為空域有效波束選擇個(gè)數(shù)，即降維后數(shù)據(jù)長(zhǎng)度，WH_θ的第l_b行為

wH_θ=［1，e^－jlb2πLb，…，e^{－j（Lb－1）lb2πLb}］（14）

式中：0≤l_b≤L_b－1;L_b≤L。當(dāng)L_b=L時(shí)，WH_θ為角度維全波束變換矩陣。同理，定義距離維波束變換矩陣為WH_R∈C^Nb×N，N_b為距離維有效波束選擇個(gè)數(shù)，其第n_b行為

wH_R=［1，e^－jnb2πNb，…，e^{－j（Nb－1）nb2πNb}］（15）

式中：0≤n_b≤N_b－1;N_b≤N。當(dāng)N_b=N時(shí)，WH_R為距離維全波束變換矩陣。同理，定義速度維波束變換矩陣為WH_v∈C^Mb×M，M_b為速度維有效波束選擇個(gè)數(shù)，其第m_b行為

wH_v=［1，e^－jmb2πMb，…，e^{－j（Mb－1）mb2πMb}］（16）

式中：0≤m_b≤M_b－1;M_b≤M。當(dāng)M_b=M時(shí)，WH_v為速度維全波束變換矩陣。

對(duì)3D傅里葉變換后的數(shù)據(jù)，通過(guò)直接數(shù)據(jù)選取的方式實(shí)現(xiàn)了波束空間降維，這里以距離維、角度維為例說(shuō)明直接選取頻域二維數(shù)據(jù)的波束空間降維算法是成立的。

假設(shè)一維傅里葉變換的矩陣分別為F_N和F_L，定義同式（7）。數(shù)據(jù)X_NL為N×L的距離角度二維原始數(shù)據(jù)，則二維傅里葉變換得到的頻域數(shù)據(jù)矩陣Y_NL表示為

Y_NL=F_NX_NLFT_L（17）

式（17）從左往右看是對(duì)每一列做FFT，從右往左看是對(duì)每一行做FFT，而且先做左邊或右邊的最終結(jié)果相同，即二維傅里葉變換為兩個(gè)一維傅里葉變換，且無(wú)關(guān)順序，更高維度傅里葉變換同理。若x₁，x₂，…，x_L是X_NL的列向量，則X_NL可寫(xiě)為X_NL=∑^L_ix_ieT_i變換，其中e_i是單位矩陣I_L的第i列，故：

vec（F_NX_NLFT_L）=vec{F_N（∑Li=1x_ieT_i）FT_L}=

∑Li=1vec（F_Nx_ieT_iFT_L）=∑Li=1vec{（F_Nx_i）（F_Le_i）T}=

∑Li=1F_Le_iF_Nx_i=（F_LF_N）∑Li=1（e_ix_i）=

（F_LF_N）vec（X_NL）（18）

式中：表示Kronecker乘積。故上述二維傅里葉變換可改寫(xiě)為

vec（Y_NL）=（F_LF_N）vec（X_NL）（19）

參考文獻(xiàn)［30］定義二維波束空間變換后的數(shù)據(jù)矩陣為Z，且有：

vec（Z）=（WH_RWH_θ）vec（X_NL）（20）

由式（19）對(duì)比式（20）可知，二維波束空間變換與二維傅里葉變換等效，式（19）是二維FFT的另一種表達(dá)方式，同時(shí)也具有和二維波束空間變換取全部波束時(shí)形式上完全一致的表達(dá)式，即二維FFT與二維波束空間在全波束時(shí)是等效的。當(dāng)波束空間降維的兩個(gè)維度分別降為L(zhǎng)_b和N_b時(shí)，與二維FFT數(shù)據(jù)按照波束的線性對(duì)應(yīng)關(guān)系直接選取數(shù)據(jù)也是對(duì)應(yīng)的。由此推理，直接取二維頻域數(shù)據(jù)和二維波束空間降維是等效的。

以上證明了波束空間降維與直接選取頻域數(shù)據(jù)的等效性，對(duì)于波束空間超分辨算法，文獻(xiàn)［29］完成了基于波束空間的一維MUSIC證明，通過(guò)式（19）可將基于波束空間的一維MUSIC算法擴(kuò)展至二維，以距離維角度維的聯(lián)合估計(jì)為例，式（20）實(shí)現(xiàn)了原始數(shù)據(jù)矩陣X_NL向數(shù)據(jù)矩陣Z的降維變換，為協(xié)方差估計(jì)、EVD及SPS等計(jì)算量的降低提供基礎(chǔ)。定義二維波束空間搜索導(dǎo)向矢量為

b（θ，R）=（WH_Ra_R）（WH_θa_θ）=b_Rb_θ（21）

協(xié)方差矩陣為

R_{beam－2MUSIC}=1N_bL_bZZH（22）

對(duì)其進(jìn)行EVD后可得噪聲子空間U_n-2BMUSIC，得到SPS函數(shù)為

P_2D=1bH（θ，R）U_n－2BMUSICUH_n－2BMUSICb（θ，R）（23）

對(duì)式（23）進(jìn)行SPS可獲取譜峰值，而譜峰對(duì)應(yīng)處即為距離和角度的信息。相比傳統(tǒng)二維MUSIC算法，波束空間后的MUSIC算法在協(xié)方差估計(jì)、EVD及SPS部分均實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)維度的降低，大大減少了計(jì)算時(shí)間。

接下來(lái)論證3D頻域數(shù)據(jù)直接選取的頻域波束降維超分辨理論的正確性。在原有距離角度的二維信息數(shù)據(jù)上增加速度維信息，定義速度維傅里葉變換矩陣為F_M。已知目標(biāo)信息數(shù)據(jù)矩陣為（N×L）×M的3D數(shù)據(jù)X_3dim，若將N×L維的平面數(shù)據(jù)定義為一幀數(shù)據(jù)，則X_3dim共有M幀數(shù)據(jù)。距離角度二維傅里葉變換在M幀上都完成后，就完成了3D數(shù)據(jù)中距離速度維的傅里葉變換。此時(shí)，可將每個(gè)幀的二維數(shù)據(jù)向量化，得到了NL×M的二維數(shù)據(jù)，再對(duì)該二維數(shù)據(jù)進(jìn)行NL次F_M對(duì)應(yīng)的M維傅里葉變換，數(shù)據(jù)就變成了頻域的Y_M×NL，即：

Y_NL×M=（FT_LF_M）X_NL×MF_M（24）

對(duì)式（24）進(jìn)行向量化式，參照式（18）得

vec（Y_NL×M）=vec（（F_LF_M）X_NL×MF_M）=

（（FT_LF_M）TF_N）vec（X_N×LM）（25）

式（25）左側(cè)為3D數(shù)據(jù)傅里葉變換后的向量化，右側(cè)為原始數(shù)據(jù)3D波束空間變換表達(dá)式。與二維結(jié)論相同，直接選取3D頻域數(shù)據(jù)和3D波束空間降維是等效的。由此可見(jiàn)，系統(tǒng)預(yù)處理只需要存儲(chǔ)感興趣的參數(shù)區(qū)域?qū)?yīng)的頻域3D數(shù)據(jù)，再直接選取3D頻域數(shù)據(jù)完成3D波束空間降維超分辨，即可實(shí)現(xiàn)低復(fù)雜度的3D參數(shù)聯(lián)合估計(jì)。定義3D波束空間搜索導(dǎo)向矢量為

a=［vecexp［j2π2vf_cc+2μRc+2μvmT_mct］·

exp［j2πl(wèi)d_rsin θλ］·exp［j2π2Rf_cc+2f_cvmT_mc］］T（26）

因此，a是L_bM_bN_b維的列向量。與傳統(tǒng)3D-MUSIC算法相比，搜索導(dǎo)向矢量實(shí)現(xiàn)了由LMN到L_bM_bN_b的降維。計(jì)算所選頻域數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣，通過(guò)EVD得到3D波束空間變換后的噪聲子空間U_n-3DBS，則SPS函數(shù)為

P_3D=1aH（R，θ，v）U_n-3DBSUH_n-3DBSa（R，θ，v）（27）

基于頻域的聯(lián)合超分辨，數(shù)據(jù)存儲(chǔ)壓力和計(jì)算復(fù)雜度均得到顯著降低。根據(jù)已有研究，在波束選擇合理的條件下，波束空間降維算法的分辨率和參數(shù)估計(jì)性能更具穩(wěn)定性^［16］。

本文所提的基于頻域波束降維的車(chē)載雷達(dá)多參數(shù)聯(lián)合超分辨算法過(guò)程如算法2所示，其主要的計(jì)算復(fù)雜度同樣來(lái)自于ACM、EVD及SPS部分，其計(jì)算復(fù)雜度如表2所示。

算法 2 基于頻域波束降維的多維聯(lián)合超分辨算法

步驟 1 通過(guò)FFT將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到頻域;

步驟 2 建立波束變換矩陣，合理選擇波束個(gè)數(shù);

步驟 3 通過(guò)頻域波束范圍選擇頻域數(shù)據(jù);

步驟 4 獲取選取的頻域數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣;

步驟 5 對(duì)協(xié)方差矩陣做EVD，獲取噪聲子空間;

步驟 6 對(duì)導(dǎo)向矢量進(jìn)行波束變換;

步驟 7 通過(guò)SPS獲取角度、速度及距離信息。

假設(shè)在角度維頻域波束取L_b=8，距離維頻域波束取N_b=13，速度維頻域波束取M_b=13。n、m及l(fā)數(shù)值與前文相同，代入則可算出計(jì)算復(fù)雜度O（5.824 0e+09），相比前文復(fù)雜度降低了8個(gè)數(shù)量級(jí)。當(dāng)選定目標(biāo)區(qū)域較小時(shí)，波束數(shù)還可以更小，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度的進(jìn)一步降低。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

根據(jù)頻域子空間正交性和頻域波束空間降維算法的理論證明，對(duì)頻域數(shù)據(jù)進(jìn)行基于波束空間降維的聯(lián)合超分辨開(kāi)展仿真參數(shù)設(shè)置，如表3所示。

按照傳統(tǒng)FFT方法，距離分辨率R_res=1 m，速度分辨率V_res=1.53 m/s，角度分辨率為θ_res=3.8°。在本文中采用均方根誤差（root mean square error， RMSE）作為衡量目標(biāo)信息估計(jì)精度的唯一標(biāo)準(zhǔn)：

RMSE_θ=1ment∑menti=1（θ^_i－θ）²

RMSE_R=1ment∑menti=1（R^_i－R）²

RMSE_v=1ment∑menti=1（v^_i－v）²（28）

式中：ment為蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù);θ^_i，R^_i，v^_i分別為第i次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)時(shí)信號(hào)入射角度θ、距離R及速度v的估計(jì)值。

（1） 目標(biāo)信息有效估計(jì)圖

目標(biāo)的3D譜峰數(shù)據(jù)不易直接顯示，在本文中將兩個(gè)維度數(shù)據(jù)看作一幀數(shù)據(jù)，在另一個(gè)維度進(jìn)行相干累積繪制二維圖像，直觀表現(xiàn)目標(biāo)分辨和參數(shù)的估計(jì)情況。信噪比SNR=0 dB時(shí)，以速度距離為例，分別繪制本文所提算法的距離速度維有效性估計(jì)圖及傳統(tǒng)3D-FFT算法有效性估計(jì)圖，如圖3和圖4所示，并對(duì)其進(jìn)行對(duì)比。

由圖3可知，本文所提算法可有效實(shí)現(xiàn)目標(biāo)信息的有效估計(jì)。由圖3與圖4對(duì)比可知，在此條件下3D-FFT無(wú)法對(duì)兩個(gè)目標(biāo)進(jìn)行分辨，本文所提算法則可實(shí)現(xiàn)兩個(gè)目標(biāo)的有效分辨和更精確的參數(shù)估計(jì)。

（2） 目標(biāo)信息分布圖

在本實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置SNR=0 dB，通過(guò)選取蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)中的前50次實(shí)驗(yàn)，將本文所提基于頻域波束降維的車(chē)載雷達(dá)多參數(shù)聯(lián)合超分辨算法與3D-FFT算法對(duì)兩個(gè)目標(biāo)各維度的信息估計(jì)值與目標(biāo)真實(shí)值進(jìn)行對(duì)比，得到距離維目標(biāo)信息分布圖、角度維目標(biāo)信息分布圖及速度維目標(biāo)信息分布圖，如圖5所示。

由圖5可知，當(dāng)前仿真條件下，傳統(tǒng)的3D-FFT算法不能完成兩目標(biāo)分辨，而本文所提算法可成功分辨兩目標(biāo)，且兩目標(biāo)的3D參數(shù)估計(jì)結(jié)果均與真實(shí)值相近。3D-FFT算法無(wú)法突破瑞利限的限制，分辨能力取決于陣列及參數(shù)大小，無(wú)法分辨參數(shù)相近的多目標(biāo)，本文算法在3個(gè)維度上均實(shí)現(xiàn)了超分辨。

（3） 性能分析-RMSE統(tǒng)計(jì)

信噪比變化為－30 dB：10 dB：20 dB，ment=100。將傳統(tǒng)3D-FFT算法與所提算法對(duì)目標(biāo)1進(jìn)行估計(jì)誤差分析，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示。

由圖6仿真結(jié)果可知，不同信噪比下本文所提算法在目標(biāo)距離、速度及角度維的估計(jì)精度均高于傳統(tǒng)3D-FFT算法，且在3個(gè)維度中其估計(jì)性能均隨著信噪比增加而提升，速度維及距離維估計(jì)精度略高于角度維估計(jì)精度。

（4） 復(fù)雜度分析

由于傳統(tǒng)3D-MUSIC算法的計(jì)算復(fù)雜度太大，無(wú)法實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)仿真，為了更好地對(duì)比，使用傳統(tǒng)二維MUSIC超分辨作為參照，并將本文所提可應(yīng)用至3D聯(lián)合超分辨的算法取兩維進(jìn)行仿真分析。即使是對(duì)兩維進(jìn)行分析處理，但在本文所提算法仿真條件下，速度距離聯(lián)合超分辨的計(jì)算復(fù)雜度仍然較高。為了方便起見(jiàn)，選取速度角度下的傳統(tǒng)二維MUSIC與本文所提的基于頻域波束降維的速度角度聯(lián)合算法進(jìn)行比較，結(jié)果如表4所示。

由表4可知，在本文前文仿真條件下，直接對(duì)速度角度維數(shù)據(jù)進(jìn)行二維MUSIC超分辨耗時(shí)巨大，但通過(guò)本文所提算法進(jìn)行降維處理后，算法耗時(shí)降低，為進(jìn)一步工程化應(yīng)用打下基礎(chǔ)。但值得注意的是，雖然表4的仿真實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜度的降低，但是1.007 684 s的CPU運(yùn)行時(shí)間仍然不理想。為了更快地得到估計(jì)信息，可以進(jìn)一步降低波束個(gè)數(shù)，實(shí)現(xiàn)維度的進(jìn)一步降低。

4 結(jié) 論

本文提出一種基于頻域波束降維的車(chē)載毫米波雷達(dá)多參數(shù)聯(lián)合超分辨算法，相較于傳統(tǒng)3D-FFT算法實(shí)現(xiàn)了分辨率及估計(jì)精度的有效提升。相對(duì)于傳統(tǒng)的多維MUSIC算法，通過(guò)頻域空時(shí)波束降維的方式，極大地減小了數(shù)據(jù)存儲(chǔ)壓力和數(shù)據(jù)處理的規(guī)模，實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和計(jì)算復(fù)雜度的多量級(jí)降低，利于工程化應(yīng)用的實(shí)現(xiàn)，為車(chē)載毫米波雷達(dá)目標(biāo)精準(zhǔn)探測(cè)難題的解決提供了有效的技術(shù)支撐和合理的解決方案。

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作者簡(jiǎn)介

劉潤(rùn)虎（1998—），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理、毫米波雷達(dá)信號(hào)處理。

曹丙霞（1988—），女，副教授，博士，主要研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理、雷達(dá)電子對(duì)抗。

李迎春（1987—），男，副教授，博士，主要研究方向?yàn)槔走_(dá)系統(tǒng)、多源融合感知技術(shù)。

閆鋒剛（1982—），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)樽赃m應(yīng)信號(hào)處理、電子對(duì)抗。

金 銘（1968—），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)殛嚵行盘?hào)處理、雷達(dá)系統(tǒng)設(shè)計(jì)。