摘要：電磁分支電路阻尼器是一種輕量化振動(dòng)控制手段。經(jīng)典參數(shù)優(yōu)化方法通常只適用于確定性參數(shù)模型，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)其抑振有效性可能會(huì)大大降低。考慮被控結(jié)構(gòu)存在剛度有界不確定情況下，對(duì)串聯(lián)型電阻-電感-電容電磁分支電路阻尼器進(jìn)行最壞情況下的優(yōu)化設(shè)計(jì)。采用一種改進(jìn)型等峰優(yōu)化設(shè)計(jì)代數(shù)方法，可以簡潔地推導(dǎo)出分支電路電學(xué)參數(shù)最優(yōu)值的近似解析表達(dá)式。最后，通過與經(jīng)典等峰設(shè)計(jì)方法進(jìn)行比較，驗(yàn)證了改進(jìn)型參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)在控制參數(shù)不確定性系統(tǒng)振幅的有效性。

關(guān)鍵詞：電磁分支電路阻尼器參數(shù)有界不確定最壞情況最優(yōu)化設(shè)計(jì)諧振分支電路

ResearchontheOptimizationofElectromagneticShuntDampingUnderUncertain-But-BoundedParameters

ZHOUShaoyiHUANGJungangCHENHuayinOUZijun

GuangzhouRailwayPolytechnic，Guangzhou，GuangdongProvince，511300China

Abstract：Electromagneticshuntdampingisalightweightapproachofvibrationcontrol.Classicparameteroptimizationmethodisusuallyapplicabletodeterministicparametermodels，possiblylosingitseffectivenesswhilethesystemparameterschange.Thearticleconsiderstheworst-caseoptimizationdesignofaseriesresistorinductorcapacitorelectromagneticshuntdampinginthepresenceofuncertain-but-boundedstiffnessinthecontrolledstructure.Animprovedmethodofequal-peakdesignis hereinadopted，withwhichonecouldconciselydeducttheapproximateanalyticalexpressionsofoptimalparametersoftheelectromagneticshunt.Finally，theeffectivenessofimprovedoptimaldesignincontrollingvibrationofuncertainsystemisvalidatedbycomparingwiththatofclassictuningstrategy.

KeyWords：Electromagneticshuntdamping;Uncertain-but-boundedparameter;Worst-caseoptimaldesign;Resonantshuntcircuit

在交通、機(jī)械、土木等眾多工程領(lǐng)域中，可采用動(dòng)力吸振器[1]來有效地限制主結(jié)構(gòu)的機(jī)械振動(dòng)。傳統(tǒng)的動(dòng)力吸振器是一種被動(dòng)式減振裝置，其由一個(gè)調(diào)諧質(zhì)量塊、彈簧元件和阻尼單元組成。動(dòng)力吸振器最廣泛采用的參數(shù)優(yōu)化策略是等峰優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[2]，這種經(jīng)驗(yàn)方法的形成是基于以下特殊現(xiàn)象，即無論吸振器阻尼水平如何變化，無阻尼主結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)曲線總是通過兩個(gè)固定點(diǎn)?；诖?，具有最優(yōu)化參數(shù)的動(dòng)力吸振器能夠使得主系統(tǒng)頻響曲線在兩個(gè)固定點(diǎn)處的振動(dòng)幅值相等且同時(shí)為頻響曲線最高點(diǎn)。被動(dòng)式動(dòng)力吸振器的抑振性能可通過增大調(diào)諧質(zhì)量、采用多個(gè)單自由度動(dòng)力吸振器串聯(lián)或并聯(lián)在一起來增強(qiáng)。針對(duì)輕量化振動(dòng)控制應(yīng)用場景，電磁分支電路阻尼器[3]是傳統(tǒng)動(dòng)力吸振器的一種有效替代方式，可以有效解決質(zhì)量和體積等物理限制條件。電磁分支電路阻尼器的核心元件是電磁換能器，它可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)機(jī)械能和電能之間的轉(zhuǎn)換，從而可以通過與換能器外接的分支電路來消耗電能，進(jìn)而減少系統(tǒng)的機(jī)械能。

ZHOUS等人[4]采用等峰優(yōu)化方法推導(dǎo)了外接電容或電阻電容（RC）分支電路的最佳調(diào)諧參數(shù)。TANGX等人[5]系統(tǒng)地研究了串聯(lián)或并聯(lián)電阻電容分支電路的和參數(shù)優(yōu)化問題，并推導(dǎo)出了參數(shù)的精確解表達(dá)式。PEIY等人[6]研究了耦合多個(gè)諧振分支電路的電磁分支電路阻尼器參數(shù)優(yōu)化問題，并展示了其土木結(jié)構(gòu)隔振的潛在應(yīng)用前景。然而，上述研究都是基于確定性系統(tǒng)模型的假設(shè)，而在參數(shù)不確定性下對(duì)動(dòng)力吸振器或電磁分支電路阻尼器進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)研究仍鮮見報(bào)道。在實(shí)際工程應(yīng)用中，由于測量不準(zhǔn)確、制造公差和環(huán)境條件，結(jié)構(gòu)參數(shù)或外部激勵(lì)載荷可能存在參數(shù)不確定性。這些參數(shù)不確定性可由概率或非概率兩種方式來進(jìn)行描述。前一種方法是用由概率密度函數(shù)定義的高斯隨機(jī)過程來表征參數(shù)不確定性。然而，當(dāng)沒有足夠的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來定義參數(shù)波動(dòng)特性的概率密度函數(shù)時(shí)，這種方法無法提供可靠的準(zhǔn)確性。在這種情況下，可以采用區(qū)間分析方式來定義參數(shù)不確定性，并假設(shè)參數(shù)在該區(qū)間內(nèi)具有均勻的概率分布，稱為參數(shù)有界不確定[7]。

本文采用串聯(lián)型電阻-電容-電感（RLC）諧振電路的電磁分支電路阻尼器來控制單自由度無阻尼主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，研究主結(jié)構(gòu)存在剛度有界不確定的情況下分支電路參數(shù)最優(yōu)化問題。本文采用一種改進(jìn)等峰優(yōu)化方法，以更簡潔有效地推導(dǎo)出分支電路的最優(yōu)調(diào)諧參數(shù)。

1電磁分支電路阻尼器動(dòng)力學(xué)模型

圖1所示被控結(jié)構(gòu)為單自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，控制其振動(dòng)幅度的是由電磁換能器產(chǎn)生的反作用力（類似于傳統(tǒng)動(dòng)力吸振器產(chǎn)生的恢復(fù)力）。這個(gè)反作用力起到阻尼力的作用，與分支電路中電流大小成正比，即

式（1）中，表示電磁換能器的機(jī)電耦合常數(shù)，是分支電路中的電荷，符號(hào)上點(diǎn)表示相對(duì)于時(shí)間的微分。圖2為外接串聯(lián)型RLC分支電路的電磁換能器的等效電路模型，其中和分別為電磁換能器的內(nèi)電感和內(nèi)電阻，為等效受速度控制電壓源。現(xiàn)考慮主結(jié)構(gòu)受到正弦力激勵(lì)的情況，則圖1所示機(jī)電耦合系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可描述為

式（2）中，是等效質(zhì)量，是機(jī)械剛度，表示分支電路電容值。此外，和分別代表分支電路中的總電阻和總電感。最后，下標(biāo)指代實(shí)際的系統(tǒng)參數(shù)。

分別用和表示位移和外界激勵(lì)力的復(fù)幅值，通過對(duì)式（2）進(jìn)行拉普拉斯變換可獲得主系統(tǒng)位移的頻率響應(yīng)函數(shù)。

式（3）中，為復(fù)變量（），為外部激勵(lì)頻率。通過分子和分母同時(shí)除以，并定義無量綱復(fù)變量為，主系統(tǒng)位移頻率響應(yīng)函數(shù)可變換為

下標(biāo)表示主結(jié)構(gòu)的名義系統(tǒng)參數(shù)，如和，而表示主系統(tǒng)的名義固有頻率。

1.1確定性模型

在能量采集和振動(dòng)控制領(lǐng)域，確定性模型被廣泛用于預(yù)測系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。在本研究中，當(dāng)假設(shè)主系統(tǒng)是確定性的，即系統(tǒng)參數(shù)中不存在不確定性時(shí)，有和，然后可以將先前的位移頻響函數(shù)簡化為

式（5）中，是由針對(duì)系統(tǒng)靜位移進(jìn)行歸一化的無量綱主系統(tǒng)位移的拉普拉斯變換。其幅值平方大小可以表示為：

式（6）中，系統(tǒng)常數(shù)和無量綱參數(shù)定義如下：

式（7）中，表示主系統(tǒng)名義固有頻率，是分支電路諧振頻率，是電路阻尼比，表示電磁耦合系數(shù)。此外，表示無量綱外界激勵(lì)頻率，表示頻率調(diào)諧比。待優(yōu)化的分支電路參數(shù)為頻率調(diào)諧比和電路阻尼比。

1.2有界不確定性模型

由于各種因素，如材料退化和環(huán)境變化，系統(tǒng)機(jī)械參數(shù)可能存在不確定性。因此，根據(jù)經(jīng)典等峰優(yōu)化方法調(diào)諧的吸振器可能由于系統(tǒng)參數(shù)的失諧而失去抑振能力，甚至可能出現(xiàn)加劇被控結(jié)構(gòu)的振動(dòng)情況。本文中主系統(tǒng)的機(jī)械剛度是有界不確定的，可以用這樣一個(gè)區(qū)間變量來描述：

式（8）中，上標(biāo)I代指區(qū)間變量，和分別表示區(qū)間變量的下界限值和上界限值。本項(xiàng)研究中剛度區(qū)間變量被認(rèn)為是對(duì)稱的，其中間值即為系統(tǒng)名義剛度，因此也可以表示為

式（9）中，表示剛度最大不確定度；則是一個(gè)隨機(jī)變量，用于量化實(shí)際機(jī)械剛度與其名義值的偏差程度，其在整個(gè)區(qū)間內(nèi)概率分布是均勻的。因此，主系統(tǒng)存在剛度有界不確定情況下，其位移頻響曲線幅值平方的表達(dá)式可表述為

式（10）中，為中間變量，其他符號(hào)表達(dá)式分別為

因此，不確定系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)由強(qiáng)迫頻率、頻率調(diào)諧比、電阻尼比和實(shí)際剛度不確定性控制，即。

1.3有界不確定性下參數(shù)最優(yōu)化

針對(duì)系統(tǒng)參數(shù)有界不確定情況，本文采用一種改進(jìn)型等峰優(yōu)化方法進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，該方法旨在使得主系統(tǒng)在最差情況下所能達(dá)到的最左側(cè)共振峰（即）與其在最右側(cè)所能達(dá)到的共振峰（即）具有相同的幅值。該方法可通過以下公式來表示。

為節(jié)省篇幅，本文中分支電路優(yōu)化參數(shù)推導(dǎo)過程予以省略。經(jīng)分析，分支電路最優(yōu)頻率調(diào)諧比表達(dá)式為

式（14）中，。很容易證明，當(dāng)系統(tǒng)剛度等于其名義剛度值（即）時(shí)，本文所求出的最優(yōu)頻率比及阻尼比值與文獻(xiàn)中采用經(jīng)典等峰優(yōu)化方法得到的最優(yōu)值完全一致，驗(yàn)證了本文所提出的剛度有界不確定情況下參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的準(zhǔn)確性。

2數(shù)值仿真分析

本文中算例模型參數(shù)分別為：主系統(tǒng)等效質(zhì)量，剛度，電磁換能器內(nèi)電阻，內(nèi)電感，電磁耦合系數(shù)。

圖3展示了耦合串聯(lián)RLC分支電路阻尼器的主系統(tǒng)位移頻率響應(yīng)曲線。虛線表示阻尼器直接短接情況下具有名義參數(shù)的主系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。粗實(shí)線對(duì)應(yīng)名義參數(shù)情況下的最優(yōu)設(shè)計(jì)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。20條圓點(diǎn)虛線則對(duì)應(yīng)不同不確定度下的頻率響應(yīng)曲線（在[-β，+β]區(qū)間隨機(jī)抽取20個(gè)剛度不確定度值），細(xì)實(shí)線代表最壞情況下的頻響曲線。結(jié)果表明，與電磁換能器直接短接情況相比，采用經(jīng)典等峰方法調(diào)諧的阻尼器在具有名義參數(shù)情況下可將主體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)幅度降低18.7dB；而在考慮20%剛度不確定度的最壞情況下，僅可將振動(dòng)幅度降低14.6dB。也就是說，由于失諧，機(jī)械系統(tǒng)的振動(dòng)比名義參數(shù)情況下惡化60%，從而更加突出考慮參數(shù)不確定性下重新優(yōu)化分支電路參數(shù)的重要性。

圖4和圖5分別展示了剛度最大不確定度和情況下采用不同優(yōu)化設(shè)計(jì)方法下的耦合系統(tǒng)針對(duì)系統(tǒng)靜位移進(jìn)行歸一化的無量綱位移頻響曲線。細(xì)實(shí)線表示通過經(jīng)典等峰方法調(diào)諧系統(tǒng)參數(shù)的振動(dòng)響應(yīng)，粗實(shí)線則對(duì)應(yīng)改進(jìn)型等峰優(yōu)化方法。從圖4和圖5中均可以看到，無論最大不確定度大小如何，本文中采用的改進(jìn)型等峰優(yōu)化方法可以均衡主系統(tǒng)在兩種最壞情況（最低和最高頻率）下的振動(dòng)幅值，并使最壞情況下的峰值最小化且基本等高。當(dāng)最大不確定度為10%時(shí)，改進(jìn)型等峰方法設(shè)計(jì)的分支電路阻尼器能比經(jīng)典方法優(yōu)化的阻尼器再降低13.5%的振幅；而當(dāng)最大不確定度上升至50%時(shí)，改進(jìn)型等峰方法的優(yōu)勢進(jìn)一步得到體現(xiàn)，此時(shí)可比經(jīng)典調(diào)諧方法再降低78.8%的振幅。

3結(jié)語

本文研究了考慮主結(jié)構(gòu)剛度有界不確定情況下串聯(lián)型RLC電磁分支電路阻尼器的參數(shù)優(yōu)化問題，并采用一種改進(jìn)型等峰優(yōu)化代數(shù)方法，可以更簡潔、有效地推導(dǎo)出分支電路參數(shù)最優(yōu)值的解析公式。與經(jīng)典的等峰優(yōu)化方法相比，本文所采用的改進(jìn)調(diào)諧方法可以在整個(gè)不確定度范圍內(nèi)更有效地控制主結(jié)構(gòu)的機(jī)械振動(dòng)。數(shù)值仿真結(jié)果表明，考慮最大不確定度達(dá)到50%的極端情況下時(shí)，相對(duì)于經(jīng)典設(shè)計(jì)，改進(jìn)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)可以進(jìn)一步降低主結(jié)構(gòu)在最壞情況高達(dá)78.8%的振幅。

參考文獻(xiàn)

[1]張明華，楊國慶，楊毅青，等.內(nèi)置動(dòng)力吸振器的寬頻減振車刀設(shè)計(jì)及試驗(yàn)[J].振動(dòng)與沖擊，2023，42（18）：338-344.

[2]楊曉彤，申永軍，王俊鋒.一種含放大機(jī)構(gòu)、慣容和接地剛度的動(dòng)力吸振器的參數(shù)優(yōu)化[J].振動(dòng)與沖擊，2022，41（21）：308-315.

[3]ZHOUS，BAOB.Investigationonhigh‐orderresonantelectromagneticshuntdampersforvibrationcontrol：Methodologyandoptimumtuning[J].StructuralControlandHealthMonitoring，2022，29（11）：e3094.

[4]ZHOUS，JEAN-MISTRALC，CHESNES.Electromagneticshuntdampingwithnegativeimpedances：optimizationandanalysis[J].Journalofsoundandvibration，2019，445：188-203.

[5]TANGX，LIUY，CUIW，etal.AnalyticalsolutionstoH2andH∞optimizationsofresonantshuntedelectromagnetictunedmassdamperandvibrationenergyharvester[J].JournalofVibrationandAcoustics，2016，138（1）：011018.

[6]PEIY，LIUY，ZUOL.Multi-resonantelectromagneticshuntinbaseisolationforvibrationdampingandenergyharvesting[J].JournalofSoundandVibration，2019，423：1-17.

[7]楊振寶.具有有界不確定參數(shù)的FG-GPLRC板的強(qiáng)迫振動(dòng)分析[D].廣州：廣州大學(xué)，2020.