摘 要： 針對(duì)測(cè)距儀（distance measure equipment， DME）信號(hào)嚴(yán)重干擾L頻段數(shù)字航空通信系統(tǒng)（L-band digital aviation communication system， L-DACS）前向鏈路接收機(jī)的問(wèn)題，提出基于相關(guān)稀疏變分貝葉斯（correlated sparse variational Bayesian， cSVB）算法的DME脈沖干擾抑制方法。所提方法利用L-DACS系統(tǒng)正交頻分復(fù)用（orthogonal frequency division multiplexing， OFDM）接收機(jī)的空子載波信息構(gòu)建接收信號(hào)的壓縮感知方程;然后，根據(jù)cSVB算法進(jìn)行三層次貝葉斯信號(hào)建模，最后選擇了兩種變體算法重構(gòu)DME干擾信號(hào)，并將其從時(shí)域接收信號(hào)中去除。理論分析與仿真結(jié)果表明，所提出的干擾抑制方法可以充分利用信號(hào)先驗(yàn)信息，進(jìn)一步降低DME干擾信號(hào)估計(jì)的歸一化均方誤差，有效改善L-DACS系統(tǒng)的誤碼性能，提高傳輸可靠性。

關(guān)鍵詞： L波段數(shù)字航空通信系統(tǒng); 測(cè)距儀; 塊稀疏貝葉斯; 變分貝葉斯推理

中圖分類(lèi)號(hào)： TN 973.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

DOI：10.12305/j.issn.1001-506X.2024.08.35

DME pulse interference suppression method based on cSVB algorithm

LI Dongxia^*， WANG Jiani， PENG Xiangqing， LIU Haitao， WANG Lei

（School of Electronic Information and Automation， Civil Aviation University of China， Tianjin 300300， China）

Abstract： To solve the problem that the distance measure equipment （DME） signal seriously interferes with the forward link receiver of L-band digital aviation communication system （L-DACS）， a DME pulse interference suppression method based on correlated sparse variational Bayesian （cSVB） algorithm is proposed. In this method， the empty subcarrier information of the orthogonal frequency division multiplexing （OFDM） receiver of L-DACS system is used to construct the compressed sensing equation of the received signal. Then， three-level Bayesian signal modeling is carried out according to the cSVB algorithm. Finally， two variant algorithms are selected to reconstruct DME interference signal and remove it from the received signal in the time domain. Theoretical analysis and simulation results show that the proposed interference suppression method can make full use of prior information and further reduce the normalized mean square error of DME interference signal estimation， effectively improve the error performance of L-DACS system， and enhance the transmission reliability.

Keywords： L-band digital aviation communication system （L-DACS）; distance measure equipment （DME）; block sparse Bayesian; variational Bayesian inference

0 引 言

L頻段數(shù)字航空通信系統(tǒng)（L-band digital aviation communication system， L-DACS）已被國(guó)際民航組織確定為未來(lái)面向航路階段的空地寬帶數(shù)據(jù)鏈路^［1］，其前向鏈路采用正交頻分復(fù)用（orthogonal frequency division multiplexing， OFDM）技術(shù)^［2］。測(cè)距儀（distance measure equipment， DME）是工作在L頻段的重要民用航空陸基導(dǎo)航系統(tǒng)。為了提高頻譜利用率，L-DACS的工作頻段嵌套在測(cè)距儀兩個(gè)相鄰頻段之間^［3］。因此，在頻段邊緣處會(huì)發(fā)生兩個(gè)系統(tǒng)信號(hào)的頻譜混疊。研究表明，DME信號(hào)對(duì)相鄰頻段的L-DACS系統(tǒng)OFDM接收機(jī)造成嚴(yán)重干擾^［4］，導(dǎo)致其傳輸性能急劇下降。如何有效抑制DME干擾信號(hào)成為L(zhǎng)-DACS系統(tǒng)應(yīng)用研究的關(guān)鍵問(wèn)題之一。

DME信號(hào)在時(shí)域呈現(xiàn)為高斯脈沖對(duì)，并具有稀疏性?；谶@一時(shí)域特性，現(xiàn)有的DME脈沖干擾的抑制方法主要分為兩大類(lèi)：一類(lèi)是非線(xiàn)性抑制方法^［5-8］。該類(lèi)方法是一種無(wú)記憶非線(xiàn)性映射，通過(guò)脈沖熄滅、脈沖限幅和聯(lián)合脈沖熄滅與限幅等非線(xiàn)性處理方法對(duì)高于給定閾值的DME脈沖干擾信號(hào)幅值進(jìn)行限制，從而降低對(duì)L-DACS系統(tǒng)OFDM接收信號(hào)的影響;該類(lèi)方法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，主要不足是門(mén)限設(shè)置困難，會(huì)產(chǎn)生子載波間干擾，通信性能相對(duì)較差。另外一類(lèi)干擾抑制方法是使用稀疏信號(hào)重構(gòu)技術(shù)重構(gòu)DME干擾信號(hào)^［9-11］，將其從接收信號(hào)中去除從而實(shí)現(xiàn)干擾抑制?；谙∈柝惾~斯學(xué)習(xí)（sparse Bayesian learning，SBL）的貝葉斯壓縮感知方法由于具有較好的重構(gòu)性能，在信號(hào)重構(gòu)^［12-13］、光譜分析^［14-15］、雷達(dá)成像^［16-17］等方面得到廣泛應(yīng)用?；赟BL算法實(shí)現(xiàn)DME信號(hào)重構(gòu)和干擾的抑制方法也得到了國(guó)內(nèi)外研究人員的廣泛關(guān)注。

SBL算法主要分為傳統(tǒng)SBL算法^［18］和具有塊內(nèi)相關(guān)性的塊SBL（block SBL， BSBL）算法^［19］。在利用傳統(tǒng)SBL算法實(shí)現(xiàn)DME信號(hào)重構(gòu)方面，文獻(xiàn)［20］使用基于SBL的期望最大化（SBL-expectation maximization， SBL-EM）算法，在先驗(yàn)信息未知的情況下，使用期望最大化（expectation maximization， EM）方法估計(jì)信號(hào)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)DME脈沖干擾的有效重構(gòu)和去除。但該算法涉及矩陣反演運(yùn)算，具有較高的復(fù)雜度和處理延遲，且隨著問(wèn)題維數(shù)的增加，復(fù)雜度迅速增加。文獻(xiàn)［21］提出了一種高斯廣義近似消息傳遞SBL（Gaussian generalized approximate message pas-sing SBL， GGAMP-SBL）算法估計(jì)稀疏信號(hào)，該算法與SBL-EM算法相比，復(fù)雜度大大降低。在利用BSBL算法實(shí)現(xiàn)DME信號(hào)重構(gòu)方面，文獻(xiàn)［10］將DME信號(hào)建模為塊稀疏信號(hào)，利用邊界優(yōu)化BSBL（BSBL-the bound optimization， BSBL-BO）算法對(duì)DME脈沖信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)去除，該方法具有較好的收斂速度和重構(gòu)效果。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［11］考慮了信號(hào)塊未知的情景，優(yōu)化了信號(hào)塊劃分策略，提出了擴(kuò)展BSBL-BO（expanded BSBL-BO， EBSBL-BO）算法的DME脈沖干擾抑制方法，進(jìn)一步提高了DME信號(hào)重構(gòu)精度，有效改善了L-DACS系統(tǒng)的接收性能。

為了更充分地利用先驗(yàn)信息，文獻(xiàn)［22］提出一類(lèi)廣義的相關(guān)稀疏變分貝葉斯（correlated sparse variational Bayesian， cSVB）算法，在利用高斯尺度混合（Gaussian scale mixture，GSM）模型對(duì)信號(hào)建模時(shí)采用了三層次貝葉斯結(jié)構(gòu)，并且根據(jù)層次結(jié)構(gòu)中不同的信號(hào)先驗(yàn)分布，派生出3種變體算法：相關(guān)杰弗里稀疏變分貝葉斯（correlated Jeffrey sparse variational Bayesian， cJSVB）算法、相關(guān)拉普拉斯稀疏變分貝葉斯（correlated Laplace sparse variational Bayesian， cLSVB）算法和相關(guān)學(xué)生t稀疏變分貝葉斯（correlated student’t of sparse variational Bayesian， cStSVB）算法，并在胎兒心電信號(hào)領(lǐng)域中得到初步應(yīng)用。此算法在使用三層次貝葉斯結(jié)構(gòu)建模時(shí)，在分層結(jié)構(gòu)中選擇不同的參數(shù)值，可獲得不同的稀疏信號(hào)模型。利用這一特性，可以通過(guò)選取合適模型參數(shù)，更加精確地重構(gòu)DME信號(hào)。

為了更有效地實(shí)現(xiàn)L-DACS系統(tǒng)中DME干擾抑制，本文提出基于cSVB算法的DME脈沖信號(hào)抑制方法。利用OFDM接收機(jī)空子載波構(gòu)造壓縮感知欠定線(xiàn)性模型，分別使用cLSVB算法和cStSVB算法重構(gòu)DME信號(hào)，并將重構(gòu)信號(hào)從時(shí)域接收信號(hào)中去除，從而提高L-DACS系統(tǒng)的接收性能。仿真結(jié)果表明，兩種算法均具有較好的干擾信號(hào)重構(gòu)效果。

1 系統(tǒng)模型

1.1 DME信號(hào)模型

DME信號(hào)由高斯型隨機(jī)脈沖對(duì)序列組成，單個(gè)DME脈沖對(duì)信號(hào)^［8］可表示為

g_DME（t）=e^-α2t2+e^{-α2（t-Δ t）2}（1）

式中：α=4.5×10¹¹s^－2;Δt為脈沖對(duì)時(shí)間間隔。

由于DME脈沖信號(hào)與L-DACS系統(tǒng)OFDM接收機(jī)載波頻率相差±0.5 MHz，因此載波偏置的DME信號(hào)^［8］可表示為

i（t）=∑Vv=1∑Nvu=1A_vg（t-t_v，u）e^{j2πfvt+jφv，u}（2）

式中：V表示DME基站的數(shù)目;N_v，A_v，f_v（v=1，2，…，V）分別表示第v個(gè)DME基站在觀測(cè)時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的脈沖對(duì)數(shù)目、峰值振幅和載波頻率偏移值;t_v，u（u=1，2，…，N_v）表示第v個(gè)DME基站的第u個(gè)脈沖對(duì)的到達(dá)時(shí)間，服從泊松分布;φ_v，u表示第v個(gè)DME基站的第u個(gè)脈沖對(duì)的載波初始相位，在區(qū)間［0，2π］內(nèi)服從均勻分布。

1.2 L-DACS系統(tǒng)OFDM發(fā)射機(jī)與接收機(jī)模型

圖1為L(zhǎng)-DACS系統(tǒng)OFDM發(fā)射機(jī)與接收機(jī)原理框圖。在發(fā)射端，二進(jìn)制比特序列經(jīng)過(guò)卷積編碼、交織和調(diào)制后，將生成的信號(hào)映射到OFDM符號(hào)的N_s個(gè)子載波上;映射后的信號(hào)經(jīng)過(guò)采樣因子為U的上采樣處理，隨后通過(guò)UN_s點(diǎn)快速傅里葉逆變換（inverse fast Fourier transform， IFFT）轉(zhuǎn)換為時(shí)域信號(hào)x;在每個(gè)OFDM信號(hào)前插入循環(huán)前綴（cyclic prefix，CP）;最后經(jīng)過(guò)數(shù)模轉(zhuǎn)換器（digital/analog，D/A）與射頻前端處理發(fā)射至無(wú)線(xiàn)信道。

在接收端，假設(shè)已進(jìn)行定時(shí)和載波同步，將接收到的信號(hào)進(jìn)行模數(shù)轉(zhuǎn)換器（analog/digital，A/D）、去除CP處理，得到時(shí)域接收矢量信號(hào)z：

z=Hx+e+n（3）

式中：H表示由信道脈沖響應(yīng)組成的循環(huán)卷積矩陣;e表示DME脈沖干擾信號(hào);n表示服從高斯分布的加性高斯白噪聲（additive Gaussian white noise， AWGN）。信號(hào)z經(jīng)過(guò)采用cSVB算法的DME脈沖干擾抑制處理模塊，再經(jīng)UN_s點(diǎn)離散傅里葉變換（discrete Fourier transform， DFT）轉(zhuǎn)換為頻域信號(hào)矢量y：

y=Fz=FF^HΛFx+Fe+Fn=ΛX+Fe+w（4）

式中：F為UN_s點(diǎn)DFT矩陣;H可分解為H=F^HΛF;Λ是以信道頻率響應(yīng)為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣;（·）^H表示共軛轉(zhuǎn)置;X=Fx為頻域發(fā)射信號(hào);w=Fn為n的頻域信號(hào)矢量，仍服從高斯分布。

設(shè)M為OFDM接收機(jī)的空子載波總數(shù)，k為空子載波的位置索引，（·）_k表示與索引k對(duì)應(yīng)的子矩陣（或子向量），則x_k=0。利用空子載波信道構(gòu)建壓縮感知欠定線(xiàn)性方程，將x_k=0代入式（4），則有：

y_k=F_ke+w_k（5）

式中：y_k∈R^M×1為空子載波信道對(duì)應(yīng)的觀測(cè)信號(hào)矢量;F_k∈R^M×UNs（Mlt;UN_s）為感知矩陣，屬于矩陣F的子矩陣;e∈R^UNs×1為待重構(gòu)的DME脈沖信號(hào)矢量;w_k∈R^M×1為AWGN信號(hào)矢量。

本文利用cSVB算法從觀測(cè)矢量信號(hào)y_k中重構(gòu)DME脈沖信號(hào)，記為，并將其從式（3）中去除。隨后，將干擾抑制后的信號(hào)經(jīng)過(guò)與發(fā)射機(jī)端對(duì)應(yīng)的互逆處理模塊（FFT、下采樣、解調(diào)、解交織和卷積譯碼），以及信道估計(jì)和信道均衡模塊，最后得到輸出比特序列。

2 基于cSVB算法的DME干擾重構(gòu)

假設(shè)信號(hào)e具有塊結(jié)構(gòu)，可分為以下G個(gè)信號(hào)塊：

e=［e₁，e₂，…，e_d1e^T1，…，e_dG-1+1，e_dG-1+2，…，e_dGe^TG］^T（6）

式中：d_i為第i個(gè)信號(hào)塊的大小（i=1，2，…，G），且∑^G_i=1d_i=UN_s。在G塊中，有且只有s塊（s≤G）是非零的，其具體位置未知。式（5）的塊稀疏線(xiàn)性模型可表示為

y_k=∑Gi=1Fⁱ_ke_i+w_k（7）

式中：e_i∈R^di×1為第i個(gè)信號(hào)塊;Fⁱ_k∈R^M×di為e_i對(duì)應(yīng)的感知矩陣。

2.1 觀測(cè)模型

假設(shè)噪聲向量w_k服從均值為0、協(xié)方差為β^－1I_M的高斯分布，則觀測(cè)向量信號(hào)y_k的條件分布為

p（y_k|e，β）～N（F_ke，β^－1I_M）

式中：N（·）表示正態(tài)分布。β服從共軛伽馬分布^［22］，即

p（β;k_β，θ_β）～G（β;k_β，θ_β）

式中：G（·）表示伽馬分布，k_β，θ_βgt;0為常數(shù)參數(shù)。

2.2 信號(hào)模型

使用高斯尺度混合模型^［23-24］將式（6）中的每個(gè)信號(hào)塊e_i表示為

e_i=1α_i B^-12ig， i=1，2，…，G（8）

式中：g∈R^di×1為標(biāo)準(zhǔn)多元高斯變量，滿(mǎn)足g～N（0_di，I_di）;隨機(jī)參數(shù)α_igt;0，控制塊的稀疏性。當(dāng)α_i→∞時(shí)，對(duì)應(yīng)的第i個(gè)信號(hào)塊為零;確定性參數(shù)B^-1_i∈R^di×di表示塊內(nèi)相關(guān)性信息?；赾SVB算法對(duì)e_i的貝葉斯建模分為3個(gè)層次。

（1） 第1層次

由式（8）定義，信號(hào)塊e_i的條件先驗(yàn)分布p（e_i|α_i;B_i）服從高斯分布，即

p（e_i|α_i;B_i）～N（0_di;α^－1_iB^－1_i）

假設(shè)各信號(hào)塊相互獨(dú)立，則e的條件先驗(yàn)分布為p（e|α;B）=∏^G_i=1p（e_i|α_i;B_i），則有

p（e|α;Β）～N（0_N;∑₀）

式中：∑₀diag {α^-1₁B^-1₁，α^-1₂B^-1₂，…，α^-1_GB^-1_G} 為塊對(duì)角矩陣，α=［α₁，α₂，…，α_G］^T，B=［B₁，B₂，…，B_G］^T。e_i的邊緣概率分布可表示為

p（e_i）=∫^∞₀p（e_i|α_i;B_i）p（α_i）dα_i（9）

式中：p（α_i）表示混合分布，控制邊緣概率分布p（e_i）的形式。

（2） 第2層次

假設(shè)α_i服從廣義逆高斯分布^［22］，即

p（α_i|a_i，b_i，λ_i）～GIG（α_i;a_i，b_i，λ_i）=

（a_i/b_i）^λi/22K_λi（a_ib_i）α^λi－1iexp－12（a_iα_i+b_iα^－1_i）（10）

式中：GIG（·）表示廣義逆高斯分布;參數(shù)a_i，b_igt;0，λ_i∈R;K（·）為第二類(lèi)修正貝塞爾函數(shù)。

根據(jù)式（9）和式（10），可得e_i的邊緣概率分布服從廣義雙曲分布^［25］，即

p（e_i|a_i，b_i，λ_i;B_i）～GH（e_i;a_i，b_i，λ_i;B_i）=

b^di4i（2π）^di2a^λi/2iK_λi（a_ib_i）K_λi+di2（b_i（a_i）+B¹²ie_i²₂）（a_i+B¹²ie_i²₂）^di4+λi2|B_i|¹²（11）

式中：GH（·）表示廣義雙曲分布;·₂表示l₂范數(shù);|·|表示矩陣的行列式。

當(dāng)式（10）中a_i、b_i和λ_i取不同值時(shí)，式（11）表示的廣義雙曲分布包含大量其他分布，其中許多分布具有尖峰重尾的統(tǒng)計(jì)特性，可以鼓勵(lì)信號(hào)的稀疏性特征^［26］;因此本文考慮稀疏貝葉斯建模中經(jīng)典的多元拉普拉斯分布和多元學(xué)生t分布。

（1） 多元拉普拉斯分布

當(dāng)a_i→0，λ_i=－d_i+12時(shí)，根據(jù)K（·）的性質(zhì)^［26］，式（10）近似于逆伽馬分布，即

p（α_i|b_i;λ_i）～I(xiàn)G α_ib_i2，d_i+12

則式（11）中e_i的邊緣分布服從多元拉普拉斯分布，表達(dá)式為

p（e_i|b_i;B_i）=|B|¹²b^di2iπ^di－122^diΓd_i+12exp（－b_iB¹²ie_i2）（12）

式中：Γ（·）為伽馬函數(shù)。

（2） 多元學(xué)生t分布

當(dāng)b_i→0，λ_igt;0時(shí)，式（10）近似于伽馬分布，即

p（α_i|a_i;λ_i）～G α_i|a_i2;λ_i

則式（11）中e_i的邊緣分布服從多元學(xué)生t分布，表達(dá)式為

p（e_i|a_i，λ_i;B_i）=|B|¹²Γλ_i+d_i2（πa_i）^di21+B¹²ie_i²₂a_i^－λi－di2（13）

（3） 第3層次

對(duì)于式（12）表示的多元拉普拉斯分布，變量b_i是一個(gè)未知模型參數(shù)，其先驗(yàn)分布服從共軛伽馬分布^［22］，即

p（b_i;k_b，θ_b）～G（b_i;k_b，θ_b）

其中，k_b，θ_bgt;0為常數(shù)參數(shù)。

對(duì)于式（13）表示的多元學(xué)生t分布，變量a_i也是一個(gè)未知模型參數(shù)，其先驗(yàn)分布服從共軛伽馬分布^［22］，即

p（a_i;k_a，θ_a）～G（a_i;k_a，θ_a）

其中，k_a，θ_agt;0為常數(shù)參數(shù)。

定義θ_r={e，α，β，a，b}為隱隨機(jī)變量，可得到聯(lián)合概率分布為

p（y_k，θ_r;B）=

p（y_k|e，β）p（e|α;B）p（α|a，b，λ）p（β）p（a，b） （14）

式中：a=［a₁，a₂，…，a_G］^T，b=［b₁，b₂，…，b_G］^T，λ=［λ₁，λ₂，…，λ_G］^T。

在貝葉斯壓縮感知框架中，通常獲得后驗(yàn)分布p（θ_r|y_k;B）=p（y_k，θ_r;B）∫p（y_k，θ_r;B） dθ_r，并最大化得到各隱隨機(jī)變量的估計(jì)值。

由于使用傳統(tǒng)貝葉斯推理難以獲得準(zhǔn)確的后驗(yàn)分布p（θ_r|y_k;B），這里采用變分貝葉斯推理（variational Bayesian inference，VBI）方法^［27-28］求取p（θ_r|y_k;B）的最優(yōu)近似解。

2.3 VBI

VBI方法通過(guò)尋求一個(gè)簡(jiǎn)單概率密度函數(shù)q（θ_r;B）近似后驗(yàn)概率密度函數(shù)p（θ_r|y_k;B），即將兩者之間的Kullback-Leibler （KL）散度最小化^［27-28］，從而得到最優(yōu)解q^*（θ_r;B）：

q^*（θ_r;B）=argminq（θr;B）KL（q（θ_r;B）p（θ_r|y_k;B））（15）

為了求解式（15），利用平均場(chǎng)定理^［29］，q（θ_r;B）可表示為

q（θ_r;B）=q（e;B）q（α;B）q（β;B）q（a，b;B）（16）

將式（16）代入式（15），根據(jù)變分貝葉斯推導(dǎo)，得到最優(yōu)解的一般表達(dá)式為

logq^*（θ_rl;B）=E［logp（y_k，θ_r;B）］_{q（θr＼θrl}）+const（17）

式中：θ_rl（l=1，2，…，5）表示θ_r中的第l個(gè)元素，θ_r＼θ_rl表示除去θ_rl的θ_r的集合，E［·］_q表示不包含θ_rl的變量關(guān)于概率密度函數(shù)q（θ_r＼θ_rl）的期望，const 為隨機(jī)常數(shù)，進(jìn)行歸一化。

下面通過(guò)計(jì)算式（17）得到θ_rl的后驗(yàn)概率密度函數(shù)q^*（θ_rl;B），最終獲得e，α，β，a，b的估計(jì)值。

2.3.1 脈沖信號(hào)e的估計(jì)

當(dāng)θ_rl=e時(shí)，式（14）表示的聯(lián)合分布p（y_k，θ_r;Β）只保留與e相關(guān)部分，根據(jù)式（17）有

logq^*（e;Β）=E［logp（y_k，θ_r;Β）］_{q（α;B）q（β;B）q（a，b;B）}+const ∝

E［logp（y_k|e，β）+logp（e|α;B）］_{q（α;B）q（β;B）q（a，b;B）}∝

-12E［β］（y^T_ky_k-y^T_kF_ke-e^TF^T_ky_k+e^TF^T_kF_ke）-

12（e^T∑′^-1e）（18）

式中：∑′=diag1E［α₁］B^-1₁，1E［α₂］B^-1₂，…，1E［α_G］B^-1_G。由式（18）可知，q^*（e;B）服從均值為e ^、方差為∑_e的多元高斯分布，即

q^*（e;Β）～N（e ^，∑_e）

e ^=∑′F^T_k（E［β］^-1I_M+F_k∑′F^T_k）^-1y_k（19）

∑_e=∑′-∑′F^T_k（E［β］^-1I_M+F_k∑′F^T_k）^-1F_k∑′（20）

只要獲得參數(shù)β，α_i，a_i，b_i，B_i，則脈沖信號(hào)e的估計(jì)值可由式（19）計(jì)算的均值e ^得到。

2.3.2 參數(shù)β的估計(jì)

同理，當(dāng)θ_rl=β時(shí)，根據(jù)式（17）有

logq^*（β;Β）=E［logp（y_k，θ_r;Β）］_{q（e;B）q（α;B）q（a，b;B）}+const ∝

E［logp（y_k|e，β）+logp（β）］_{q（e;B）q（α;B）q（a，b;B）}∝

k_β+M2-1log（β）-β（θ_β+12y_k-F_ke ^²₂+

12tr（F^T_kF_k∑_e）） （21）

由式（21）可知，q^*（β;B）服從伽馬分布，則β更新表達(dá)式為

E［β］=k_β+M2θ_β+12y_k-F_ke ^²₂+12tr（F^T_kF_k∑_e）（22）

2.3.3 參數(shù)α_i和α^-1_i的估計(jì)

同理，當(dāng)θ_rl=α_i時(shí)，根據(jù)式（17）有

logq^*（α;Β）=E［logp（y_k，θ_r;Β）］_{q（e;B）q（β;B）q（a，b;B）}+const ∝

E［logp（e|α;Β）+logp（α|a，b，λ）］_{q（e;B）q（β;B）q（a，b;B）}=

∑Ni=1E［logp（e_i|α_i;B_i）+logp（α_i|a_i，b_i，λ_i）］_{q（e;B）q（β;B）q（a，b;B）}（23）

則更新q^*（α_i;B_i）時(shí)，根據(jù)式（10）有

logq^*（α_i;B_i）∝E［logp（e_i|α_i;B_i）+logp（α_i|a_i，b_i，λ_i）］∝

λ_i+d_i2-1logα_i-12（（E［a_i］+E［e^T_iB_ie_i］）α_i+E［b_i］α^-1_i）

由此可知，q^*（α_i;B_i）服從GIG分布，α_i和α^-1_i的更新表達(dá)式^［30］分別為

E［α_i］=E［b_i］E［a_i］+E［e^T_iB_ie_i］¹²·

K_λi+di2+1（（E［a_i］+E［e^T_iB_ie_i］）E［b_i］）K_λi+di2（（E［a_i］+E［e^T_iB_ie_i］）E［b_i］）（24）

E［α^-1_i］=E［b_i］E［a_i］+E［e^T_iB_ie_i］^-12·

K_λi+di2-1（（E［a_i］+E［e^T_iB_ie_i］）E［b_i］）K_λi+di2（（E［a_i］+E［e^T_iB_ie_i］）E［b_i］）（25）

2.3.4 參數(shù)b_i的估計(jì)

與式（18）、式（21）和式（23）求解類(lèi)似，對(duì)于多元拉普拉斯分布，根據(jù)式（17），可得未知參數(shù)b_i的后驗(yàn)分布服從伽馬分布，即

則b_i更新表達(dá)式為

E［b_i］=k_b+d_i+12θ_b+E［α^-1_i］2（26）

此時(shí)，E［α^-1_i］為

E［α^-1_i］=E［b_i］E［e^T_iB_ie_i］（27）

2.3.5 參數(shù)a_i的估計(jì)

同理，對(duì)于多元學(xué)生t分布，根據(jù)式（17），可得未知參數(shù)a_i的后驗(yàn)分布服從伽馬分布，即

q^*（a_i）∝a^ka+λi-1iexp-θ_a+E［α_i］2a_i

則a_i的更新表達(dá)式為

E［a_i］=k_a+λ_iθ_a+E［α_i］2（28）

此時(shí)，E［α_i］為

E［α_i］=λ_i+d_i2E［a_i］+E［e^T_iΒ_ie_i］（29）

2.4 參數(shù)B的估計(jì)

利用EM算法^［30］對(duì)確定性參數(shù)B={B₁，B₂，…，B_G}進(jìn)行估計(jì)。這里對(duì)Q函數(shù)Q（B）進(jìn)行最大化：

Q（B）=E_θr|yk：B［-logp（y_k，θ_r;B）］∝E_θr|yk：B［p（e|α;B）］（30）

對(duì)式（30）中的Q函數(shù)中的參數(shù)B_i求導(dǎo)并令其為零，可得

B_i=1E［α_i］∑ⁱ_e+e ^_ie ^^T_i（31）

綜上所述，cLSVB算法的更新規(guī)則包括式（19）、式（20）、式（22）、式（26）、式（27）和式（31）;cStSVB算法的更新規(guī)則包括式（19）、式（20）、式（22）、式（28）、式（29）和式（31）。cSVB算法流程如下所示。

算法 1 cSVB算法輸入：觀測(cè)值y_k，感知矩陣F_k以及塊大小d_i

輸出：稀疏信號(hào)估計(jì)e ^。

1.初始化參數(shù)β，α，k_β，k_a，k_b，θ_β，θ_a，θ_b和λ_i;設(shè)置門(mén)限值δ和最大迭代次數(shù)N_max;

2.設(shè)置初始迭代n=0和e=F_k＼y_k;

3.根據(jù)式（19）和式（20）迭代更新e ^ⁿ和∑ⁿ_e;

根據(jù)式（22）、式（26）、式（27）、式（28）、式（29）和式（31）分別更新參數(shù)β、b_i、α^－1_i、a_i、α_i和B_i;

4.如果max（abs（e ^^n-1-e ^ⁿ）） lt; δ或者n=N_max，則停止迭代;否則，設(shè)n=n+1并返回第3步。

5.得到估計(jì)信號(hào)e ^。

2.5 算法復(fù)雜度

本文所用cSVB算法運(yùn)算復(fù)雜度主要取決于待重構(gòu)信號(hào)的均值e ^、協(xié)方差∑_e的計(jì)算。由式（19）、式（20）可知，均值e ^和協(xié)方差∑_e的復(fù)雜度均為O（（UN_s）M²）。所以，每次迭代的計(jì)算復(fù)雜度為O（（UN_s）M²）。

3 仿真結(jié)果

3.1 仿真環(huán)境設(shè)置

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，構(gòu)建了基于cSVB算法抑制DME脈沖干擾的L-DACS仿真系統(tǒng)。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)本文算法重構(gòu)DME脈沖干擾信號(hào)的精度、干擾抑制前后功率譜變化以及系統(tǒng)的誤碼率和平均運(yùn)行時(shí)間等4個(gè)方面進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并與脈沖限幅方法、BSBL-BO算法和GGAMP-SBL算法的性能進(jìn)行對(duì)比分析。主要仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真技術(shù)參數(shù)

Table 1 Simulation technical parameters參數(shù)取值傳輸帶寬/MHz0.498 05子載波間隔/Hz9 765.625循環(huán)前綴/μs17.6OFDM符號(hào)周期/μs102.4有用子載波數(shù)50編碼卷積編碼、交織編碼調(diào)制方式正交相移鍵控信道模型AWGN/多徑信道DME干擾源數(shù)1DME載波偏移量/kHz500信干比/dB-7多徑數(shù)目83.2 DME脈沖噪聲重構(gòu)結(jié)果與分析

圖2為基于cStSVB算法重構(gòu)前后DME脈沖信號(hào)的時(shí)域波形。圖2（a）為經(jīng)過(guò)等效抗混疊濾波后的DME脈沖信號(hào)波形，圖2（b）為利用cStSVB算法重構(gòu)的DME脈沖信號(hào)波形。可以看出：重構(gòu)后的信號(hào)與原始信號(hào)基本相同，cStSVB算法具有較好的DME信號(hào)重構(gòu)效果。

圖3為基于4種不同算法對(duì)DME脈沖信號(hào)重構(gòu)的歸一化均方誤差與信噪比的關(guān)系曲線(xiàn)。仿真結(jié)果表明：（1）所有算法重構(gòu)信號(hào)的歸一化均方誤差隨信噪比的增大而減少;（2）與其他算法相比，本文所采用的cSVB算法重構(gòu)效果更好，其中基于cStSVB算法的重構(gòu)歸一化均方誤差最小。

3.3 DME干擾抑制前后的信號(hào)功率譜

圖4顯示了基于cStSVB算法實(shí)現(xiàn)DME脈沖干擾重構(gòu)時(shí)系統(tǒng)不同階段的信號(hào)功率譜對(duì)比圖（歸一化OFDM信號(hào)功率，無(wú)噪聲功率）。

從圖4（a）可以看出，OFDM信號(hào)發(fā)射功率主要集中在-0.25～0.25 MHz之間。圖4（b）顯示，DME脈沖信號(hào)在經(jīng)過(guò)濾波之后仍有較高的功率，尤其在0.25 MHz附近，其功率值為-20 dB左右。圖4（c）中接收端接收的OFDM信號(hào)在0.2～0.4 MHz之間存在明顯的DME脈沖干擾，對(duì)有用信號(hào)產(chǎn)生嚴(yán)重干擾。從圖4（d）可以看出，經(jīng)過(guò)干擾抑制處理，在0.2～0.4 MHz之間DME脈沖信號(hào)得到明顯抑制，OFDM信號(hào)得到較好的恢復(fù)，說(shuō)明本文算法對(duì)DME脈沖信號(hào)有較好的抑制性能。

3.4 系統(tǒng)誤碼性能

圖5表示在AWGN信道環(huán)境下系統(tǒng)的誤比特差錯(cuò)性能曲線(xiàn)。從圖5可以看出：（1） 本文提出的cSVB算法在AWGN信道環(huán)境下可以有效抑制DME脈沖干擾，降低系統(tǒng)誤比特率;（2） 脈沖限幅法可以對(duì)DME信號(hào)產(chǎn)生一定的改善效果，但其改善效果非常有限;（3） 與其他算法相比，基于cStSVB算法的干擾抑制效果最好。在信噪比為8時(shí)，相較于BSBL-BO算法，cStSVB算法可獲得約7 dB的性能改善。在誤比特率為10^-2 dB時(shí)，相較于GGAMP-SBL算法，cStSVB算法可獲得約5 dB的性能改善。在誤比特率為10^-3 dB時(shí)，相較于cLSVB算法，cStSVB算法可獲得約2 dB的性能改善。

圖6表示在多徑信道環(huán)境下的比特差錯(cuò)性能曲線(xiàn)。從圖6可以看出：（1） 本文提出的cSVB算法在多徑信道環(huán)境下可以有效地抑制DME脈沖干擾，降低系統(tǒng)誤比特率;（2） 脈沖限幅法可以對(duì)DME信號(hào)產(chǎn)生一定的改善效果，但其改善效果是有限的;（3） 與其他算法相比，基于cStSVB算法的干擾抑制效果最好。在信噪比為8 dB時(shí)，相較于BSBL-BO算法，cStSVB算法可獲得約4 dB的性能改善。在誤比特率為10^-1 dB時(shí)，相較于GGAMP-SBL算法，cStSVB算法可獲得約1.5 dB的性能改善。在誤比特率為10^-2 dB時(shí)，相較于cLSVB算法，cStSVB算法可獲得約2 dB的性能改善。

3.5 平均運(yùn)行時(shí)間

圖7為AWGN信道環(huán)境下4種不同算法進(jìn)行DME脈沖干擾抑制的平均運(yùn)行時(shí)間曲線(xiàn)圖。運(yùn)行環(huán)境均為Windows 11操作系統(tǒng)，CPU為Inter Core i5-12500，內(nèi)存為16 GB。

從圖7可以看出，本文兩種方法運(yùn)行時(shí)間相當(dāng)，均比BSBL-BO算法略長(zhǎng)，主要不同在于估計(jì)參數(shù)較多，但本文方法的干擾抑制效果更優(yōu)。GGAMP-SBL算法的平均運(yùn)行時(shí)間明顯縮短，收斂速度最快。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)存在DME干擾的L-DACS系統(tǒng)提出利用cLSVB算法和cStSVB算法重構(gòu)DME脈沖干擾信號(hào)并去除的方法。兩種算法具有較好的重構(gòu)效果，可有效抑制DME干擾;與其他方法相比，cStSVB算法可達(dá)到更好的誤比特性能，有效改善L-DACS系統(tǒng)傳輸可靠性。本文方法存在平均運(yùn)行時(shí)間偏高的不足，在實(shí)際應(yīng)用中需要從系統(tǒng)誤比特率和運(yùn)算時(shí)間兩方面權(quán)衡選擇。

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作者簡(jiǎn)介

李冬霞（1971—），女，教授，博士，主要研究方向?yàn)楹娇找苿?dòng)通信、甚高頻數(shù)據(jù)鏈。

王佳妮（1999—），女，碩士研究生，主要研究方向?yàn)楹娇找苿?dòng)通信。

彭祥清（1997—），女，碩士研究生，主要研究方向?yàn)楹娇找苿?dòng)通信。

劉海濤（1966—），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)楹娇找苿?dòng)通信、寬帶移動(dòng)通信。

王 磊（1981—），女，副教授，博士，主要研究方向?yàn)樾l(wèi)星導(dǎo)航信號(hào)處理、航空移動(dòng)通信。