〔摘 要〕 學(xué)習(xí)科學(xué)時，生活經(jīng)驗和敏銳的直覺往往能更好地幫助學(xué)生理解抽象的知識，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，幾乎每時每刻都在與數(shù)打交道。本文側(cè)重從教學(xué)“分?jǐn)?shù)”方面分析怎樣培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)感。首先介紹了分?jǐn)?shù)的獨特性：外形獨特、進(jìn)制獨特（非十進(jìn)制）、常與圖形結(jié)合進(jìn)行教學(xué)。接著針對加強(qiáng)學(xué)生的分?jǐn)?shù)數(shù)感的方法進(jìn)行了闡述。闡述了三個方面：圍繞“分?jǐn)?shù)單位”教學(xué)，打通各種分?jǐn)?shù)知識點的壁壘；注重分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系；注重分?jǐn)?shù)情境題與比、百分?jǐn)?shù)情境題的轉(zhuǎn)化。最后總結(jié)因循分?jǐn)?shù)獨特的“氣質(zhì)”。如此，能讓學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用分?jǐn)?shù)的規(guī)律，更好地強(qiáng)化學(xué)生的分?jǐn)?shù)數(shù)感，進(jìn)而全方位地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

〔關(guān)鍵詞〕 小學(xué)數(shù)學(xué)；分?jǐn)?shù)；數(shù)感

〔中圖分類號〕 G424 〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 A 〔文章編號〕 1674-6317 （2024） 24 115-117

教科版科學(xué)六年級上冊第三單元“工具與技術(shù)”中呈現(xiàn)了“杠桿”，有些學(xué)生初步接觸到杠桿，就聯(lián)想到了“秤”，并能總結(jié)出生活經(jīng)驗：稱一件物品，秤砣變重時，放秤砣的位置就要往前移。這就是學(xué)生利用了生活經(jīng)驗和敏銳的直覺在幫助自己理解抽象的知識。“數(shù)感”的培養(yǎng)與此有異曲同工之妙。數(shù)感主要是指對于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算結(jié)果的直觀感悟，這是2022年版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的解讀。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生們接觸到的數(shù)有整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)。整數(shù)如6，40，1205等，是上述幾種數(shù)中使用頻率最高的，整數(shù)的計數(shù)單位為一，十，百，千，萬……小數(shù)如0.4，0.28，0.109等，是在整數(shù)的基礎(chǔ)上把不滿“1”的部分通過再次平均分細(xì)化成了小數(shù)，小數(shù)的計數(shù)單位為0.1，0.01，0.001……可通過擴(kuò)大或縮小相應(yīng)的倍數(shù)與整數(shù)進(jìn)行互化。百分?jǐn)?shù)如5％，42％，20.3％等，是為了更好地進(jìn)行數(shù)據(jù)間的對比而產(chǎn)生的，可與小數(shù)、分?jǐn)?shù)進(jìn)行互化，百分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位為1％。在整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)中，分?jǐn)?shù)因具有獨特的“氣質(zhì)”，而在數(shù)的“池子”中大放異彩。

一、分?jǐn)?shù)的獨特性

（一）外形獨特

比起整數(shù)、小數(shù)和百分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)更“高”。它由分?jǐn)?shù)線把分子、分母排列于上、下位置，常常需占兩行空間。分?jǐn)?shù)線表示平均分，分母表示分得的總份數(shù)，分子表示占了其中的幾份。分?jǐn)?shù)符號的書寫格式經(jīng)歷了漫長的演變過程，包含著中國元素。公元7世紀(jì)以后，承襲中國的籌算法，印度數(shù)學(xué)將分?jǐn)?shù)表示為“寫分母于分子之下”。之后，阿拉伯人表示分?jǐn)?shù)時，在分子和分母之間添上一條橫線。直至15世紀(jì)，隨著阿拉伯算術(shù)的流行，世界各地算術(shù)里分?jǐn)?shù)的表示及運(yùn)算法則才日趨統(tǒng)一。

（二）進(jìn)制獨特（非十進(jìn)制）

整數(shù)、小數(shù)和百分?jǐn)?shù)都為十進(jìn)制數(shù)，分?jǐn)?shù)則不然。根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義，分?jǐn)?shù)表示把單位“1”平均分成若干份，其中1份或幾份的數(shù)叫作分?jǐn)?shù)，如[13]，[45]，[711]，[1533]。[45]是4個[15]組成的，5個[15]組成了1，10個[15]組成了2，也就是滿5進(jìn)1；[711]是7個[111]組成的，11個[111組成了]1，22個[111組成了]2，也就是滿11進(jìn)1。分?jǐn)?shù)是根據(jù)分母是幾就滿幾進(jìn)1的，如以上分?jǐn)?shù)的進(jìn)率為5，11，是非十進(jìn)制數(shù)。

（三）常與圖形結(jié)合進(jìn)行教學(xué)

分?jǐn)?shù)是數(shù)學(xué)中的一個重要概念，也是小學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個難點。在對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識中，數(shù)形結(jié)合思想同樣發(fā)揮著重要的作用。

1.分?jǐn)?shù)定義的直觀表達(dá)

圖形的均分。一個物體的均分：如將一個圓形月餅平均分成若干份，每份或幾份都可以用分?jǐn)?shù)表示；一些物體的均分：將一些物體看作一個整體進(jìn)行分割。

圖形的涂色。利用給圖形涂色來表達(dá)分?jǐn)?shù)。

2.分?jǐn)?shù)大小的直觀比較

借助圖形面積比較。通過大小不同的圖形表示大小不同的分?jǐn)?shù)，由比較圖形的面積引導(dǎo)到比較分?jǐn)?shù)的大小。

借助數(shù)軸比較。在數(shù)軸上找出分?jǐn)?shù)對應(yīng)的點，通過點的相對位置確定分?jǐn)?shù)的大小。數(shù)軸上，越靠右的點表示的數(shù)越大。

3.分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解決

在解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時，借助畫線段圖展示問題中的數(shù)量關(guān)系；借助圖形展示比例關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生理解分?jǐn)?shù)與比例之間的關(guān)聯(lián)，理解線段圖表示兩個或幾個量的關(guān)系，各個量之間對應(yīng)的份數(shù)用分?jǐn)?shù)怎樣表示。

4.對分?jǐn)?shù)運(yùn)算的理解

在分?jǐn)?shù)運(yùn)算尤其是分?jǐn)?shù)乘、除法中借助圖形，可以有效地幫助學(xué)生理解算理，這樣，展示圖形時內(nèi)在邏輯就清晰了。

分?jǐn)?shù)與圖形結(jié)合的情況多種多樣，有直觀表示分?jǐn)?shù)定義、分?jǐn)?shù)大小、分?jǐn)?shù)與比例、分?jǐn)?shù)運(yùn)算等方面。這些結(jié)合方式有助于學(xué)生更好地參透分?jǐn)?shù)知識，還能培養(yǎng)學(xué)生的空間思維和邏輯推理能力。

二、加強(qiáng)學(xué)生的分?jǐn)?shù)數(shù)感的方法

（一）圍繞“分?jǐn)?shù)單位”教學(xué)，打破各種分?jǐn)?shù)知識點的壁壘

在課堂教學(xué)中，突破“分?jǐn)?shù)”教學(xué)重難點的抓手，就是緊緊圍繞“分?jǐn)?shù)單位”進(jìn)行教學(xué)。

1.認(rèn)識分?jǐn)?shù)單位

一些知識在整個數(shù)學(xué)學(xué)科知識體系中發(fā)揮著關(guān)鍵性、核心性甚至支撐性的作用，這些知識就是“種子知識”。對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，“種子知識”具有奠基性、生長性的作用。認(rèn)識分?jǐn)?shù)單位就是“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”單元的“種子知識”。

分?jǐn)?shù)中，分子為“1”的分?jǐn)?shù)其實就是分?jǐn)?shù)單位，它表示平均分后的1份是多少。如上文講到的[13，][45，][711，][1533，]這4個分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位分別是[13，15，][111，][133]。比如[，45]里面含有4個[15]，即[45=15][+15][+15][+15，][45]是[15]累加四次的結(jié)果。

2.比大小

（1）[35，][45，]這兩個分?jǐn)?shù)比大小，教師通常先讓學(xué)生經(jīng)歷畫圖比較得到[35][<45]，后通過大量這種畫圖比較得出結(jié)論：分母相同看分子，分子大的那個分?jǐn)?shù)就大。

[35，][34，]這兩個分?jǐn)?shù)比大小，教師通常也是讓學(xué)生經(jīng)歷畫圖比較得到[35][<34]，也通過大量這種畫圖比較得出結(jié)論：分子相同看分母，分母小的那個分?jǐn)?shù)就大。

這里對“分母相同分子不同”及“分子相同分母不同”兩種情況進(jìn)行了總結(jié)。但在實際比大小中，學(xué)生們卻錯誤百出：1.（用混的情況）分母相同，分子大的則大；分子相同，分母大的則大。2.（用反的情況）分母相同，分子小的則大；分子相同，分母大的則大。這說明了這種教學(xué)方法有著局限性。緊緊圍繞“分?jǐn)?shù)單位”教學(xué)，則是另一種景象。

仍是[35，45兩個分?jǐn)?shù)，35][里面含有3個][15，45]里面含有4個[15，][3個15][小于4個15]，[所以35][<45]。

[35][，34][兩個分?jǐn)?shù)][，35]里面含有3個[34里面含有3個][14]。

[因為15][<14]，3個[15小于3個][14]，[所以35][<34]。

不以記憶結(jié)論進(jìn)行教學(xué)而以分?jǐn)?shù)單位進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生的思路容易通暢，比較起大小就能做到又快又準(zhǔn)確。

[89][，910][，1011][，1112]這幾個分?jǐn)?shù)分別以分子、分母依次“加1”遞增排列；且每個分?jǐn)?shù)分子比分母小1，每一個分?jǐn)?shù)只要加上一個分?jǐn)?shù)單位就是“1”。出現(xiàn)這種比大小題目該怎么思考呢？特別是還沒學(xué)習(xí)通分時，有好的辦法嗎？有的。因為[89+][（19）=1，910+（110）=1，][1011+（111）=1，][1112+][（112）=1]，括號里4個分?jǐn)?shù)單位的大小排列為[19][>110][>111][>112]。得數(shù)都是1，減去大的剩下的就是小的，所以[89][<910][<1011][<1112]。這就巧妙利用分?jǐn)?shù)單位得出了比大小的結(jié)果。這種方法是既正確又快速的高招，即使后期學(xué)了通分，這一高招相對也更經(jīng)典，或者可與通分作為互為檢驗的一種手段。

3.分?jǐn)?shù)加減法

[57+][47=（）][，57][－47=（）]，教師通常讓學(xué)生觀察圖形中兩部分陰影合起來或抵消后是多少，得出結(jié)論：同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變分子相加減。但后期計算還是會出錯，有部分學(xué)生得出錯誤結(jié)果：[57][＋47][=914][，57][－47][=114]。這里還是得緊緊圍繞“分?jǐn)?shù)單位”教學(xué)。[57]里面含有5個[17]，[47]里面含有4個[17]，5個[17]加上4個[17]等于9個[17]，也就是[97]。同理，減法得[17]?，F(xiàn)在就可以認(rèn)真書寫出答案了：[57＋47][=（97）]，[57][－47=][（17）]。

在這里可以又一次看出，用分?jǐn)?shù)單位教學(xué)分?jǐn)?shù)加減法，比記憶結(jié)論法正確率更高。

（二）注重分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系

把9個餅平均分給10人，每人分得多少個？列式9÷10=（）（個），可以把每個餅平均分成10份，每人都去拿每個餅的[110]，拿完9次時每人共分得[910]個餅，因此[9÷10=910]（個）。以前學(xué)的“被除數(shù)”除以“除數(shù)”得到的是“整數(shù)倍”，而這一題得到的則不足1倍。有時得到的還會是幾倍多一些，如果這一題將“餅的總數(shù)”改為“23個餅”，列式則為[23÷10=2310][=2310]（個），就是2倍多一些。這里也是利用了“分?jǐn)?shù)單位”的累加進(jìn)行理解的。

學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，是學(xué)生在已經(jīng)掌握了除法運(yùn)算，以及對分?jǐn)?shù)意義有了認(rèn)知的基礎(chǔ)上進(jìn)一步理解，有利于學(xué)生多角度理解分?jǐn)?shù)：分?jǐn)?shù)既可以表示一個數(shù)、表示一種關(guān)系，也可以表示兩數(shù)相除的商。應(yīng)根據(jù)具體情境選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行運(yùn)用。

（三）注重分?jǐn)?shù)情境題與比、百分?jǐn)?shù)情境題的轉(zhuǎn)化

除了注重分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，同時要注重分?jǐn)?shù)與比、百分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，使分?jǐn)?shù)、比、百分?jǐn)?shù)的情境題之間進(jìn)行自由轉(zhuǎn)化，做到化難為易，解題多元，提高學(xué)生解題的自信心。

1.分?jǐn)?shù)與比的情境題的轉(zhuǎn)化

讓學(xué)生明晰“比”與“分?jǐn)?shù)”之間的差異，避免在實際運(yùn)用中產(chǎn)生混淆，再通過具體的例題，讓學(xué)生在習(xí)題訓(xùn)練中應(yīng)用“比”的知識。這是一個層次化教學(xué)的過程，需要教育者合理設(shè)計教學(xué)進(jìn)度與知識的分層教學(xué)環(huán)節(jié)，才能取得理想的教學(xué)效果。

男、女生的人數(shù)比為3∶5，已知男生27人，全班有多少人？用比的方法列式：27÷3×（5+3）=72（人），先算1份的人數(shù)，再算8份的總?cè)藬?shù)。用分?jǐn)?shù)方法列式：[27÷33+5=]（人），用男生27人除以男生占總?cè)藬?shù)的[38]，得到總?cè)藬?shù)為72人。

2.分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)情境題的轉(zhuǎn)化

甲電廠儲存煤炭30萬噸，乙電廠儲存的煤炭比甲電廠少25％，乙電廠儲存煤炭多少萬噸？用百分?jǐn)?shù)的方法列式：30×（1－25％）=22.5（萬噸），但有些學(xué)生對百分?jǐn)?shù)的理解不到位，還需把百分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)解題更順暢。如在下面的線段圖中可以明確看到“甲”為單位“1”，比較量占單位“1”的[（1－14）]。用分?jǐn)?shù)方法列式：[①25％=14][；②30×（1－14）=22.5]（萬噸）。

以上兩題展示了解題方法的多樣，展示了分?jǐn)?shù)與比、百分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，學(xué)生可以用適合自己的方法進(jìn)行選擇。這讓更多的學(xué)生增強(qiáng)了克服困難的勇氣，不懼怕數(shù)學(xué)，并逐漸喜歡上數(shù)學(xué)。

三、結(jié)語

古人云：“物有本末，事有始終。知所先后，則近道矣?！币蜓挛锏谋举|(zhì)、特點，可以更好地發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用規(guī)律。因循分?jǐn)?shù)獨特的“氣質(zhì)”，就能更好地發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用分?jǐn)?shù)的規(guī)律，更好地加強(qiáng)學(xué)生在分?jǐn)?shù)方面的數(shù)感，進(jìn)而全方位地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

參考文獻(xiàn)

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