摘要： 提出一種調(diào)諧負剛度?慣容質(zhì)量阻尼器（TNIMD），用于地震作用下的結(jié)構(gòu)減震控制。通過拉格朗日方程得到結(jié)構(gòu)TNIMD耦合系統(tǒng)運動方程，采用定點理論進行TNIMD參數(shù)優(yōu)化設計，討論最優(yōu)負剛度系數(shù)的取值，開展參數(shù)分析和減震效果驗證。參數(shù)分析研究表明：TNIMD對主結(jié)構(gòu)位移響應的控制優(yōu)于無負剛度元件下的調(diào)諧慣容質(zhì)量阻尼器（VTMDI），且質(zhì)量比及慣容比越小，TNIMD相對優(yōu)勢越大。減震分析結(jié)果表明：在遠場、近場脈沖及近場無脈沖地震作用下，TNIMD對主結(jié)構(gòu)位移及絕對加速度響應的控制效果均優(yōu)于VTMDI，驗證了TNIMD減震的優(yōu)越性，為TNIMD研究提供參考。

關鍵詞： 慣容； 調(diào)諧質(zhì)量阻尼器； 負剛度； 參數(shù)優(yōu)化； 地震響應

中圖分類號： TU352.1 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2024）06-1015-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.06.012

引 言

近年來，基于慣容（Inerter）的減振裝置受到土木工程界的極大關注。慣容的本質(zhì)是一種慣性力放大裝置［1］，通過滾珠絲杠、齒輪齒條、行星齒輪等機構(gòu)將物理質(zhì)量放大為自身成百上千倍的慣性質(zhì)量（Inertance）。Tadashi等［2］利用滾珠絲杠放大黏滯阻尼力進行了建筑結(jié)構(gòu)抗震研究（慣容與阻尼元件并聯(lián)，后稱Viscous Mass Damper，簡稱VMD［3］）。幾乎同一時期，Smith申請專利：力?控制機械裝置（Force?controlling mechanical device）［4］，并在力學?電學相似性分析中正式將其命名為慣容（Inerter）［5］。慣容在汽車懸架系統(tǒng)中得到了廣泛應用［6?7］。

為進一步放大VMD的阻尼力和慣性力，受調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（TMD）的啟發(fā)，以Ikago等［3］、Kida等［8］為代表的日本學者將VMD與彈簧串聯(lián)，提出了調(diào)諧黏滯阻尼器（TVMD），并將其用于建筑結(jié)構(gòu)地震控制，同時采用固定點法推導了TVMD的設計公式，引起了土木工程界對慣容減隔震裝置的關注。目前，基于慣容的減振裝置的物理模型就是慣容、彈簧和阻尼元件的各類串、并聯(lián)組合［1］。這類減振裝置按是否接地可分為接地類和非接地類。接地類慣容減振裝置包括VMD，TVMD，TID（并聯(lián)的彈簧?阻尼再與慣容串聯(lián)）［9］、TMDI（調(diào)諧質(zhì)量阻尼器TMD通過慣容元件接地）［10］等。非接地類慣容是將調(diào)諧質(zhì)量阻尼器中的阻尼元件替換為各類接地慣容減振裝置［11?12］，其中比較特殊的是TMDI，因其本來就含有調(diào)諧質(zhì)量，在高層建筑中往往采用跨越多層的安裝方式來實現(xiàn)優(yōu)于TMD的減振效果［13］。李亞峰等［14］通過改變TMDI中阻尼單元的位置，將阻尼元件與慣容并聯(lián)，提出了一種變化型TMDI（VTMDI）。國內(nèi)外學者基于上述各類減振裝置的高層建筑及橋梁抗風與抗振［15?18］、拉索多模態(tài)減振［19?21］開展了諸多研究。

此外，也有學者利用負剛度的位移放大效應，將負剛度彈簧引入到慣容減振裝置中，陳杰等［22］提出了兩種負剛度慣容減振裝置，用于連續(xù)梁體系的簡諧受迫振動控制。范舒銅等［23］提出了一種含有Maxwell模型的慣容?接地負剛度減振裝置。負剛度彈簧裝置通過預壓彈簧等措施，使得裝置的出力與位移負相關［24］。

鑒于此，在VTMDI的構(gòu)型中引入負剛度彈簧，組成慣容?阻尼?負剛度的并聯(lián)形式，形成了一種調(diào)諧負剛度?慣容質(zhì)量阻尼器（Tuned Negative?stiffness Inerter Mass Damper，TNIMD），該裝置利用負剛度彈簧增大阻尼耗能，實現(xiàn)對VTMDI減震效果的提升。本文建立結(jié)構(gòu)基底激勵下的TNIMD與單自由度結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)模型，采用定點理論優(yōu)化TNIMD頻率和阻尼比，討論剛度系數(shù)的取值范圍和相比VTMDI的優(yōu)越性，通過數(shù)值模擬驗證地震作用下TNIMD對結(jié)構(gòu)的減震效果。

1 調(diào)諧負剛度-慣容質(zhì)量阻尼器

圖1為TNIMD與被控單自由度主結(jié)構(gòu)耦合系統(tǒng)理論分析模型。主結(jié)構(gòu)質(zhì)量、剛度及阻尼系數(shù)分別為ms，ks及cs。TNIMD物理質(zhì)量為m1，一側(cè)通過正剛度彈簧與主結(jié)構(gòu)相連，另一側(cè)與并聯(lián)的慣容b、阻尼器c1和負剛度彈簧kn系統(tǒng)接地，當去掉負剛度彈簧后，TNIMD模型退化為VTMDI［14］。該耦合系統(tǒng)的動能、勢能及阻尼耗能分別為：

（1）

式中 xs及x1分別為主結(jié)構(gòu)及TNIMD相對地面的位移；xg為基底位移；為TNIMD與主結(jié)構(gòu)相連的彈簧剛度。

根據(jù)拉格朗日方程得到耦合系統(tǒng)運動方程為：

（2）

引入如下無量綱參數(shù)：

（3）

式中 μ及μb分別為TNIMD物理及慣性質(zhì)量與主結(jié)構(gòu)質(zhì)量比；ωs及ω1分別為主結(jié)構(gòu)及TNIMD振動圓頻率，β為二者頻率比；ζs及ζ1分別為主結(jié)構(gòu)及TNIMD阻尼比；α為無量綱負剛度系數(shù)；?為外激勵頻率與主結(jié)構(gòu)頻率比；τ為無量綱時間；t為時間；ag為基底激勵荷載幅值。

同時引入主結(jié)構(gòu)及TNIMD的無量綱位移［14］：

（4）

將式（3）～（4）代入式（2），可得無量綱運動方程：

（5）

在諧波荷載激勵下，即，主結(jié)構(gòu)與TNIMD位移響應可分別假設為［14］：

（6）

式中 ys0及y10分別為主結(jié)構(gòu)及TNIMD位移響應幅值。

將式（6）代入式（5），可得系統(tǒng)位移響應幅值［14］：

（7）

其中：

（8）

2 參數(shù)優(yōu)化設計

2.1 最優(yōu)調(diào)諧比

根據(jù)定點理論，假設主結(jié)構(gòu)阻尼比ζs=0，主結(jié)構(gòu)位移幅頻響應函數(shù)（Frequency Response Functions， FRFs）存在與阻尼器阻尼比無關的定點，如圖2中點P和Q。將這兩點縱坐標調(diào)整至相等。根據(jù)式（7），當ζs=0時，主結(jié)構(gòu)位移響應為：

（9）

TNIMD阻尼比分別取為0和+∞，并令對應的主結(jié)構(gòu)位移幅頻響應函數(shù)相等［23］，即

（10）

式（10）可簡化為關于激勵頻率比平方?2的一元二次函數(shù)：

（11）

根據(jù)韋達定理，有：

（12）

式中 ?P，?Q分別為兩定點P，Q的橫坐標。

取?=?P，?=?Q，分別帶入式（10）ζ1=+表達式中，并令主結(jié)構(gòu)位移響應相等［23］：

（13）

當式（13）方程左右兩側(cè)取相反符號時方程有非零解，可得：

（14）

令式（14）與式（12）相等，可得TNIMD最優(yōu)頻率比表達式為：

（15）

為保障最優(yōu)調(diào)諧頻率比大于0，無量綱負剛度系數(shù)應滿足：。

將式（15）代入式（11），可得兩定點橫坐標?P，?Q：

（16）

此外，將式（15）代入式（10）中任一方程，可得定點處主結(jié)構(gòu)最優(yōu)位移響應幅值為：

（17）

2.2 最優(yōu)阻尼比

在TNIMD調(diào)諧過程中，已使兩定點位置幅頻響應曲線的幅值相等。為得到最優(yōu)阻尼比，還需使兩定點作為幅頻響應曲線的峰值點［23］，則有：

（18）

此時，假設：

（19）

將式（19）代入式（18），可得：

（20）

式中 ，分別為p，q表達式對?2的導數(shù)。

將式（15）及兩定點橫坐標?P，?Q代入式（20），可得兩最優(yōu)阻尼比為ζ1， 1和ζ1， 2，取二者的均方根值作為最優(yōu)阻尼比表達式［23］，即

（21）

2.3 負剛度系數(shù)

在確定負剛度系數(shù)之前，需先明確該系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定條件。耦合系統(tǒng)的特征方程可表示為：

（22）

其中：

（23）

本文采用勞斯?赫爾維茨判據(jù)，各系數(shù)需滿足如下關系［22］：

（24）

負剛度系數(shù)的確定方法一般有兩種：一種人為給定滿足穩(wěn)定性條件的負剛度系數(shù)；另一種更為常用，令兩定點P，Q對應幅值與零激勵頻率時的幅值相等［22］：

（25）

根據(jù)式（7），有：

（26）

將式（26）及式（17）代入式（25），可得：

（27）

由式（27）可得4個負剛度系數(shù)解，分別為：

（28）

將α2，3代入式（15），不滿足根號內(nèi)分母大于0的條件，應舍棄。將α4代入式（21），分母為0，也應舍棄。因此，最優(yōu)負剛度系數(shù)αopt=α1。圖3為不同負剛度系數(shù)的減震結(jié)構(gòu)位移幅頻響應曲線。由圖3可知，當α/αopt<1時，隨著負剛度系數(shù)絕對值的增大，主結(jié)構(gòu)位移響應幅值減小，TNIMD對主結(jié)構(gòu)的控制效果越好；當α/αopt>1時，隨著負剛度系數(shù)絕對值的增大，低頻附近位移響應增大，甚至超過共振峰值。因此，αopt可作為負剛度系數(shù)絕對值的上限，防止低激勵頻率時主結(jié)構(gòu)響應的放大。

3 參數(shù)分析

3.1 慣容比對最優(yōu)參數(shù)的影響

TNIMD最優(yōu)頻率比、最優(yōu)阻尼比、最優(yōu)負剛度系數(shù)及對應的主結(jié)構(gòu)位移幅頻響應最大值隨慣容比的變化規(guī)律如圖4所示。由圖4可知：TNIMD最優(yōu)頻率比和阻尼比都隨慣容比增大而增大，但質(zhì)量比越大，其值越小。值得注意的是，這同無負剛度的VTMDI最優(yōu)參數(shù)與質(zhì)量比的關系相反。此外，TNIMD最優(yōu)負剛度系數(shù)與慣容比及質(zhì)量比均呈正相關。質(zhì)量比對主結(jié)構(gòu)位移幅頻響應最大值影響極小，但慣容比對其影響較大。

3.2 負剛度對減振效果的影響

若適當增大負剛度系數(shù)值，如令α為0.3，0.5及0.7倍αopt，此時主結(jié)構(gòu)位移幅頻響應最大值在不同質(zhì)量比下的變化如圖5所示。由圖5可知，當慣容比較小時，主結(jié)構(gòu)位移幅頻響應最大值隨著質(zhì)量比的增大而明顯減小，但隨著慣容比的增大，該趨勢逐漸減小；當慣容取較大值，如μb=0.3時，質(zhì)量比對減振效果的影響可忽略不計。

圖6（a）為TNIMD與VTMDI的質(zhì)量比和慣容比均相等時，主結(jié)構(gòu)位移幅頻響應的最大值（ys0?TNIMD， ys0?VTMDI）。由圖6（a）可知，即使增大負剛度系數(shù)，TNIMD對主結(jié)構(gòu)位移響應的減振效果仍然優(yōu)于VTMDI。與VTMDI相比，TNIMD的減振效果提高定義為：I=1-Max（ys0?TNIMD）/Max（ys0?VTMDI），當時，減振效果提升如圖6（b）所示，圖中數(shù)字表示I值。由圖6（b）可知，質(zhì)量比及慣容比越小，TNIMD相對VTMDI對主結(jié)構(gòu)減振效果越好，I值可超過73%，而在較大的質(zhì)量比及慣容比下，TNIMD相對VTMDI的減振效果仍有約27%的提升，充分說明了負剛度對減振效果提升的影響。

根據(jù)文獻［14］，可寫出附加VTMDI的主結(jié)構(gòu)最優(yōu)位移響應幅值：

（29）

令，并聯(lián)合式（29）與（17），可得：

（30）

式（30）求得TNIMD減振效果優(yōu)于VTMDI時的負剛度系數(shù)取值范圍：

（31）

圖7所示藍色曲面以上至0平面內(nèi)為TNIMD優(yōu)于VTMDI的負剛度系數(shù)取值，黃色曲面為根據(jù)定點理論得到的最優(yōu)負剛度系數(shù)?？梢姡鹤顑?yōu)負剛度系數(shù)被包含在內(nèi)，因此，按最優(yōu)負剛度系數(shù)取值，且當α/αopt<1時，TNIMD對主結(jié)構(gòu)位移的控制效果一直優(yōu)于VTMDI。

4 地震作用下TNIMD減震分析

根據(jù)FEMA P695［25］推薦的地震動，選取44條遠場、28條近場無脈沖、28條近場脈沖地震波作為主結(jié)構(gòu)基底激勵，分別計算主結(jié)構(gòu)在無控、附加TNIMD及VTMDI時的相對位移xs及絕對加速度 的統(tǒng)計平均值，分析TNIMD的減震有效性，對比分析TNIMD與VTMDI的減震效果。

分析中，不考慮地震對結(jié)構(gòu)的破壞，結(jié)構(gòu)處于線彈性階段。假設主結(jié)構(gòu)質(zhì)量取為2200 kg，阻尼比取為1.0%，主結(jié)構(gòu)周期T根據(jù)仿真需要設置，取為0.01～3 s。各地震波加速度幅值統(tǒng)一取為0.3g，不考慮地震波加速度幅值對減震的影響。

圖8給出了主結(jié)構(gòu)在不同地震波下的位移和絕對加速度響應統(tǒng)計平均值。由圖8可知：VTMDI及TNIMD都表現(xiàn)出對主結(jié)構(gòu)地震響應良好的控制效果，且TNIMD優(yōu)于VTMDI。表1給出了主結(jié)構(gòu)周期T分別為0.5和2 s時，TNIMD相對VTMDI的減震率提升百分比。結(jié)果表明：相比于VTMDI，TNIMD明顯提升了主結(jié)構(gòu)位移和絕對加速度的減震率，當T=0.5 s時，TNIMD對遠場及近場無脈沖地震作用的減震效果優(yōu)于近場脈沖地震作用；當T=2 s時，TNIMD對近場脈沖地震作用的減震效果優(yōu)于遠場及近場無脈沖地震作用。

綜上可見，在各類地震作用下，TNIMD均具有良好的減震控制效果。

5 結(jié) 論

本文提出了一種調(diào)諧負剛度?慣容質(zhì)量阻尼器（TNIMD），開展了參數(shù)優(yōu)化與地震響應控制研究，結(jié)果表明：

（1）假設主結(jié)構(gòu)阻尼比ζs=0，主結(jié)構(gòu)位移幅頻響應曲線存在與阻尼器阻尼比無關的兩個定點，采用定點理論，得到了阻尼器的最優(yōu)調(diào)諧比、最優(yōu)阻尼比理論公式。

（2）在最優(yōu)負剛度系數(shù)下，TNIMD減振效果相比VTMDI隨質(zhì)量比及慣容比的減小而增大，最大可超過70%。TNIMD減振效果更好。

（3）TNIMD在遠場、近場脈沖及近場無脈沖地震作用下對主結(jié)構(gòu)地震響應均有良好的控制效果，且對位移及絕對加速度響應減震效果均優(yōu)于VTMID，說明了負剛度元件對阻尼器耗能減振的提升作用。

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Tuned negative stiffness?inertia mass damper parameters optimization and seismic response control

YI Ju1， XU Kai1， He Xiao-hui2， HUA Xu-gang1， WEN Qing3， CHEN Zheng-qing1

（1. School of Civil Engineering， Hunan University， Changsha 410082， China；2. Shenzhen Municipal Design & Research Institute Co.， Ltd.， Shenzhen 518029， China；3. School of Civil Engineering， Hunan University of Science and Technology， Xiangtan 411201， China）

Abstract： This paper proposes a Tuned Negative-stiffness Inerter Mass Damper （TNIMD） to mitigate seismic vibrations in primary structures during earthquake excitation. The equations of motion for the coupled system of the primary structure and TNIMD are obtained using the Lagrange function， and fixed-point theory is applied for optimal design. The impact of negative-stiffness coefficient on control performance is also discussed. Subsequently， a parametric analysis and evaluation of seismic vibration control are conducted. The results indicate that the displacement response of a primary structure equipped with the TNIMD is significantly less than those with a Vibration Tuned Mass Damper with Inerter （VTMDI） without a negative-stiffness spring. Furthermore， the smaller the mass and inertance ratios， the greater the advantages of TNIMD in vibration control， outperforming VTMDI. This confirms the requirement of installation limitations and the selection of a small mass ratio engineering. Additionally， seismic analysis shows the displacement and absolute acceleration of a primary structure equipped with TNIMD are superior to VTMDI under far-field， near field with pulse， and near-field without pulse earthquakes. The theoretical analysis and optimal design presented in this paper are suggested for engineering applications for seismic vibration control using TNIMD.

Key words： inerter；tuned mass damper；negative stiffness；parameter optimization；seismic response

作者簡介： 易 舉（1995―），男，碩士研究生。E-mail：3302599576@qq.com。

通訊作者： 溫 青（1985―），男，博士，副教授。E-mail：cewenq@hnust.edu.cn。