摘要：為解決轉(zhuǎn)子系統(tǒng)半主動(dòng)振動(dòng)控制中支承剛度變化策略設(shè)計(jì)問題，研究一種基于偽穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的支承剛度變化策略優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。建立帶有時(shí)變剛度支承的結(jié)構(gòu)集總參數(shù)模型，利用等效線性化理論推導(dǎo)時(shí)變剛度支承的等效剛度與等效阻尼，結(jié)合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程得到偽穩(wěn)態(tài)響應(yīng)表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上，建立以偽穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為優(yōu)化目標(biāo)的支承剛度變化策略優(yōu)化方法，通過仿真分析該方法的合理性?；谛螤钣洃浐辖鸾⒖煽貏偠戎С?轉(zhuǎn)子系統(tǒng)試驗(yàn)器，開展振動(dòng)控制試驗(yàn)。結(jié)果表明：轉(zhuǎn)子系統(tǒng)經(jīng)過臨界轉(zhuǎn)速時(shí)的響應(yīng)峰值最大減振率達(dá)到49.7%，驗(yàn)證了基于變剛度支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)減振策略優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的有效性。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)子系統(tǒng)；形狀記憶合金；變剛度；振動(dòng)控制；試驗(yàn)研究

中圖分類號(hào)：V231.9文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B文章編號(hào)：1671-5276（2024）06-0093-05

Abstract：To solve the design problem of support stiffness variation strategy in semi-active vibration control of rotor systems， this paper studies an optimization design method for support stiffness variation strategy based on pseudo steady-state response. A lumped parameter model of the structure with time-varying stiffness support was established， the equivalent stiffness and damping of the time-varying stiffness support were derived with the equivalent linearization theory， and the pseudo steady-state response expression was obtained by combining the dynamic equation of the rotor system. On this basis， a support stiffness change strategy optimization method with pseudo steady-state response as the optimization objective was established， and with the rationality of this method through simulation analysis， a rotor system test-bed with controllable stiffness support was established based on shape memory alloy， and vibration control experiments were conducted. The results showed that the maximum response peak vibration reduction rate of the rotor system at critical speed reached 49.7%， verifying the effectiveness of the optimization design method for vibration reduction strategy of the rotor system based on variable stiffness support.

Keywords：rotor system; shape memory alloy; variable stiffness; vibration control; experimental research

0引言

降低轉(zhuǎn)子通過臨界轉(zhuǎn)速的振幅，一直是轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域十分關(guān)注的問題。采用半主動(dòng)振動(dòng)控制技術(shù)具有耗能更低、穩(wěn)定性更好并且動(dòng)力特性可調(diào)、潛力大等優(yōu)勢(shì)，在振動(dòng)控制領(lǐng)域，半主動(dòng)控制得到了廣泛應(yīng)用。形狀記憶合金（shape memory alloy，SMA）是一種智能材料，其通過內(nèi)部奧氏體相與馬氏體相之間的相互作用機(jī)制及相變過程［1］，可以使SMA剛度發(fā)生變化。此特性可應(yīng)用于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)控制。

洪杰等［2］通過數(shù)值仿真研究了SMA用于結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制的可行性。WILLIAMS等［3］利用SMA力學(xué)特性隨溫度變化的特點(diǎn)，制作了SMA變剛度彈簧，通過加熱程度來調(diào)整剛度變化，提出了基于SMA的變剛度式半主動(dòng)動(dòng)力吸振器。任勇生等［4］研究了SMA彈簧支承對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性的影響。目前，基于SMA支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)控制的研究，沒有涉及對(duì)于支承剛度變化策略優(yōu)化的研究。本文提出了一種基于偽穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的支承剛度變化策略優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，并搭建了SMA可控剛度支承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)試驗(yàn)器，通過試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性。

1變剛度支承結(jié)構(gòu)建模及其偽穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

1.1變剛度支承結(jié)構(gòu)偽穩(wěn)態(tài)響應(yīng)計(jì)算方法

不平衡激勵(lì)下帶有時(shí)變剛度支承的單自由度集總參數(shù)模型，如圖1所示。該結(jié)構(gòu)的質(zhì)量m和阻尼c為不隨時(shí)間變化的常數(shù)，剛度k（t）隨時(shí)間發(fā)生變化，F(xiàn)為不平衡量。

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程如式（1）所示。

在t時(shí)刻，對(duì)時(shí)變支承剛度k（t）進(jìn)行一階泰勒展開，得到

式中：k0為t時(shí)刻剛度；k·為剛度變化速率；o（t）為參數(shù)t的高階無窮小量。

在正弦激勵(lì)下，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)如式（3）所示。

式中X是穩(wěn)態(tài)下位移響應(yīng)幅值。

基于等效線性化理論［5］，得到時(shí)變支承剛度的等效阻尼和等效剛度分別為：

由時(shí)變支承剛度的等效阻尼和等效剛度，可得到系統(tǒng)的位移響應(yīng)為

1.2偽穩(wěn)態(tài)響應(yīng)數(shù)值仿真

以圖1中帶有時(shí)變剛度支承的單自由度集總參數(shù)模型為研究對(duì)象，對(duì)偽穩(wěn)態(tài)響應(yīng)計(jì)算方法的合理性進(jìn)行探究與評(píng)估。其中，m=1kg，c=0.1N·s/m，F(xiàn)=0.1kg·m。不平衡激勵(lì)的旋轉(zhuǎn)頻率隨時(shí)間勻加速增加，其升速率a為1rad/s2，ω=a×t，結(jié)構(gòu)的時(shí)變剛度表達(dá)式如式（7）所示。

式中：kh為變剛度時(shí)剛度達(dá)到的最大值，kh=225N/mm；kl為變剛度時(shí)剛度達(dá)到的最小值，kl=155N/mm。

選取不同的變剛度時(shí)間Δt∈［0.5，5］、剛度變化起始轉(zhuǎn)速ω0∈［3.7，18.2］，ω0=t0/a，可以得到不同的剛度變化策略，并采用Newmark-β法對(duì)不同剛度變化策略下系統(tǒng)的60s時(shí)域響應(yīng)和偽穩(wěn)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了求解，其計(jì)算結(jié)果分別如圖2、圖3所示。圖中色塊代表了采用橫坐標(biāo)ω0、縱坐標(biāo)Δt對(duì)應(yīng)下時(shí)變剛度模型得到的響應(yīng)，對(duì)結(jié)果進(jìn)行了歸一化處理（本刊為黑白印刷，如有疑問請(qǐng)咨詢作者）。

為了評(píng)估偽穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與時(shí)域響應(yīng)一致性程度，本文采用結(jié)構(gòu)相似性SSIM指標(biāo)［6］對(duì)圖2和圖3進(jìn)行相似性評(píng)估。SSIM值越大，表明兩幅圖的相似度越高，SSIM的表達(dá)式如式（8）所示。

式中：μX、 μY分別為兩幅圖的均值；σX、σY分別為兩幅圖的方差；σXY為兩幅圖的協(xié)方差；C1、C2、C3均為常數(shù)。

圖2和圖3中最大峰值、RMS對(duì)應(yīng) SSIM的計(jì)算結(jié)果分別為0.999 3、0.999 9，表明采用偽穩(wěn)態(tài)計(jì)算方法得到的響應(yīng)結(jié)果與瞬態(tài)計(jì)算得到的響應(yīng)基本一致，偽穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以準(zhǔn)確地反映變剛度對(duì)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)帶來的影響，與時(shí)域響應(yīng)具有較好的一致性。

分別以時(shí)域響應(yīng)最大峰值、RMS值及偽穩(wěn)態(tài)響應(yīng)最大峰值、RMS最小為評(píng)價(jià)指標(biāo)得到的最優(yōu)剛度變化起始轉(zhuǎn)速ω0如表1所示?？梢钥闯觯詡畏€(wěn)態(tài)響應(yīng)最大峰值最小以及RMS最小得到的最優(yōu)ω0與時(shí)域得到的最優(yōu)值基本一致。另外，由圖2可以看出，合理設(shè)計(jì)支承剛度變化策略對(duì)于提升變剛度減振方法的性能有很大的影響。

2轉(zhuǎn)子系統(tǒng)支承變剛度策略設(shè)計(jì)方法

2.1轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建模

本文的研究對(duì)象為帶有SMA可變剛度支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，如圖4所示，由雙盤轉(zhuǎn)子、2個(gè)定剛度支承和1個(gè)可變剛度支承構(gòu)成。其中1#盤制作材料為6023鋁；轉(zhuǎn)軸和2#盤制作材料相同，均為45鋼。支承參數(shù)如表2所示。節(jié)點(diǎn)劃分如圖1所示，采用有限元法建立轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，如式（9）所示。

式中：Kb為可變剛度支承的剛度矩陣，

M、G、K分別為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量矩陣、陀螺矩陣與剛度矩陣；Q為不平衡力矩陣；D為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣；Ω為轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)速度。

2.2基于偽穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的支承變剛度策略設(shè)計(jì)方法

將式（4）和式（5）代入轉(zhuǎn)子系統(tǒng)方程，可以得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的偽穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)如下：

式中F為不平衡量矩陣。

將轉(zhuǎn)速隨時(shí)間的變化關(guān)系式ω（t）代入式（10），可以得到不平衡量激勵(lì)下的可控剛度支承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的偽穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)與時(shí)間的關(guān)系表達(dá)式：

以轉(zhuǎn)子系統(tǒng)偽穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)均方值最小為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，可以確定最優(yōu)剛度變化起始轉(zhuǎn)速ω0，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)如式（12）所示。

式中：Xt為第t個(gè)時(shí)間步下的系統(tǒng)偽穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；N為總時(shí)間步；ω*min和ω*max分別為剛度變化過程中最小剛度和最大剛度對(duì)應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速。

3支承變剛度策略設(shè)計(jì)方法在SMA支承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的應(yīng)用

形狀記憶合金（SMA）是一種由兩種以上金屬元素構(gòu)成的材料，其可以在溫度和應(yīng)力作用下發(fā)生相變，從而使SMA剛度變化。本文基于SMA彈簧設(shè)計(jì)了一種SMA支承結(jié)構(gòu)，其組成與內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖5所示。支承座與軸承座之間通過SMA彈簧連接。在支承座與軸承座之間對(duì)稱布置SMA彈簧，通過調(diào)節(jié)螺釘調(diào)節(jié)SMA彈簧的預(yù)壓縮量以保證轉(zhuǎn)子的同軸度。由剛度測(cè)試數(shù)據(jù)擬合，得到的SMA支承剛度隨溫度的變化關(guān)系如式（13）所示。

式中：KM、KA分別為SMA馬氏體、奧氏體下的支承剛度；T為實(shí)測(cè)溫度。

溫度是驅(qū)動(dòng)SMA支承剛度變化的直接因素，對(duì)SMA支承剛度的控制實(shí)質(zhì)是對(duì)其溫度進(jìn)行調(diào)節(jié)。通過對(duì)SMA支承溫度控制，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)SMA支承剛度的調(diào)節(jié)。支承剛度控制系統(tǒng)如圖6所示，主要由高溫和低溫控制系統(tǒng)兩部分組成。其中，高溫控制采用碳纖維加熱管PID閉環(huán)控制，低溫控制采用液氮空氣泵ON/OFF控制。

對(duì)支承進(jìn)行溫度控制，將溫度測(cè)試結(jié)果代入式（13），可以得到支承剛度隨時(shí)間的變化，結(jié)果如圖7所示?？梢钥闯?，SMA支承剛度的變化分為3個(gè)階段：1）變剛度前，利用PID控制碳纖維加熱管對(duì)SMA加熱，使溫度在奧氏體相變結(jié)束溫度以上，SMA處于完全奧氏體狀態(tài)；2）當(dāng)轉(zhuǎn)速達(dá)到變剛度起始位置時(shí)，斷開碳纖維加熱管控制電路，利用ON/OFF控制液氮空氣泵對(duì)SMA冷卻，當(dāng)溫度降低至馬氏體相變開始溫度時(shí)，SMA開始向馬氏體轉(zhuǎn)變，SMA彈性模量開始下降；3）當(dāng)溫度降低至馬氏體相變結(jié)束溫度時(shí)，SMA處于完全馬氏體狀態(tài)，SMA彈性模量不再變化。建立SMA支承時(shí)變剛度的擬合模型如式（14）所示，擬合模型與試驗(yàn)的最大誤差為4.08%（圖7），表明擬合模型的擬合程度較好。

式中： KA=225N/mm；KM=155N/mm；Δt=9s。

SMA支承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)試驗(yàn)臺(tái)如圖8所示，由基座、變頻器、電機(jī)、柔性聯(lián)軸器、1個(gè)SMA可控剛度支承、2個(gè)固定剛度支承、1段光軸和2個(gè)圓盤組成；可控剛度支承上布置了用于溫度控制的液氮噴射銅管和碳纖維加熱管。電機(jī)通過柔性聯(lián)軸器與轉(zhuǎn)子相連。轉(zhuǎn)子幾何尺寸如圖4所示，支承參數(shù)如表2所示。SMA剛度支承-轉(zhuǎn)子測(cè)試系統(tǒng)組成如圖9所示。

試驗(yàn)時(shí)取轉(zhuǎn)子的升速率a為0.76rad/s2，對(duì)t0在［ωmin/a， ωmax /a］范圍內(nèi)以系統(tǒng)偽穩(wěn)態(tài)響應(yīng)RMS最小為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，ωmin、ωmax分別為SMA支承在馬氏體、奧氏體狀態(tài)下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的第1階臨界轉(zhuǎn)速，其中，ωmin=2 568r/min；ωmax=2 678r/min，優(yōu)化模型如式（12）所示。優(yōu)化得到最優(yōu)位置Ω=2 568r/min。

采用優(yōu)化得到的支承剛度變化策略，開展轉(zhuǎn)子試驗(yàn)。轉(zhuǎn)子時(shí)域響應(yīng)與轉(zhuǎn)速1階切片圖分別如圖10、圖11所示?？梢钥闯?，與轉(zhuǎn)子支承剛度為固定值時(shí)的臨界響應(yīng)峰值相比較，過1階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸端處響應(yīng)峰值下降了21.08%， 2#盤處響應(yīng)峰值下降了49.7%。

4結(jié)語

針對(duì)基于變剛度支承的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)控制中支承剛度變化策略優(yōu)化設(shè)計(jì)方法問題開展了研究，得到結(jié)論如下。

1）合理設(shè)計(jì)支承的剛度變化策略可以有助于提升系統(tǒng)的減振效果。

2）建立了一種基于偽穩(wěn)態(tài)的支承變剛度策略設(shè)計(jì)方法，利用SSIM指標(biāo)對(duì)時(shí)變剛度結(jié)構(gòu)的偽穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與時(shí)域響應(yīng)進(jìn)行了對(duì)比。結(jié)果表明，偽穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與時(shí)域響應(yīng)具有較高的一致性。

3）基于SMA支承-轉(zhuǎn)子試驗(yàn)器開展振動(dòng)控制試驗(yàn)。結(jié)果表明：采用變剛度策略時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)過1階臨界轉(zhuǎn)速時(shí)軸端處響應(yīng)峰值下降了21.08%， 2#盤處響應(yīng)峰值下降了49.7%。

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收稿日期：20230330

第一作者簡(jiǎn)介：馬鈺祥（1998—），男，湖南長沙人，碩士研究生，研究方向?yàn)檗D(zhuǎn)子振動(dòng)控制，769264605@qq.com。

DOI：10.19344/j.cnki.issn1671-5276.2024.06.018