好的問題讓人豁然開朗。思考這個問題本身，能發(fā)展出一系列的想法、催生出一系列文章。無論最終是否解決，僅僅推敲、研究這個問題的過程就很重要。好的問題通常是簡潔、漂亮的。解決了它，其所在領(lǐng)域里的許多問題可能都會隨之解決，就像在長江里面有一塊巨石，將巨石挪開，水流就會頓時變得順暢。

我要舉例的第一個問題，是關(guān)于聲音和幾何的關(guān)系——能否聽出鼓的面積。古希臘時代，人類就認識到聲音由一些基本音組合而成。無論彈鋼琴或是打鼓，敲擊會產(chǎn)生不同頻率的波動，發(fā)出聲音。波動由多個基本波組合而來，每個基本波有固定的頻率，頻率則可由鼓的譜計算得到。著名幾何學家博赫納提過一個問題：我們可否聽出鼓的形狀？這一問題的思想背景可以追溯至1910年。當時，量子力學剛萌芽，物理學家洛倫茲提出：是否可以通過鼓聲的譜和頻率估算鼓的面積？德國數(shù)學家希爾伯特對這個問題很感興趣，但認為它太難。但一年后，希爾伯特的學生外爾就把問題解決了。外爾認為，譜越來越高，按照量子力學的觀念，即譜的觀念可以推測到局部的幾何變化，從而推導出外爾方程。這個方程，對今天的數(shù)學仍然有重要的影響。外爾的思路和方法還可以向前追溯。歐拉花了很多工夫研究，發(fā)展出重要的泛函方程。黎曼將其推廣，寫下了著名的黎曼函數(shù)。這個劃時代的工作，影響了數(shù)論的發(fā)展。外爾又推廣黎曼函數(shù)的思想到一般的空間，用以研究“聽鼓聲估算面積”這一問題，并最終解決。

能否聽出鼓的面積——這個問題由洛倫茲從物理現(xiàn)象出發(fā)而提出問題，最終由外爾解決。這個問題簡潔、自然且有趣，而其解決問題的方法最終引發(fā)了幾何學上不少重要的進展。

我想說的第二個問題也很有趣——關(guān)于極小曲面的猜想。我們生活中可以看到很多極小曲面。比如，在盛有肥皂水的盆里，將鐵線放在水中提拉出來，形成的薄薄的肥皂膜，就是極小曲面。而在實驗中，我們可以構(gòu)造更多不同形象的極小曲面。幾何學家熱衷于了解它們的性質(zhì)。1977 年，我提出一個問題：如何能找到所有完備沒有邊界的極小曲面？經(jīng)過40 年的努力，我的同學米克斯已經(jīng)基本解決了這個問題。

我的第二個猜想更困難，到現(xiàn)在還沒全部解決。我提出，可不可以找到三維球中所有緊致極小曲面？我的朋友勞森構(gòu)造出一些有趣的例子，被稱作勞森曲面。假如將這個曲面放在四維空間的單位球里，然后從圓心取直線和這個曲面的每一個點聯(lián)結(jié)起來可得到一個三維錐，即一個三維極小流形。這后來成為廣義相對論中描述時空的重要工具。

舉這些例子，我是想說，數(shù)學是很奇妙的學問，它是一個講推理、講規(guī)則的學問，通過比較不同的規(guī)則和思想，就可以得到有意義的猜想，這其實是數(shù)學研究中的慣用手法。所以我常說，數(shù)學中也有“賦、比、興”。所謂“比”，即用不同的景物類比，比如，楊柳代表離別或者美人的腰肢，這緣于柳條細而柔所作的類比，是數(shù)學中常用的手段。數(shù)學研究者們應該考慮這個思路，不能只做題目，不能看到數(shù)字就是數(shù)字、看到方程就是方程，它們中間其實是有很多可以比較、可以關(guān)聯(lián)的。

（摘自《博覽群書》2024 年第2 期，子昕圖）