【摘" "要】" "為豐富非交換二次超曲面代數(shù)奇點(diǎn)表示理論和分類結(jié)果，以分次斜多項(xiàng)式代數(shù)為研究對(duì)象，討論二次正則中心元并刻畫(huà)相應(yīng)極大Cohen-Macaulay模范疇的穩(wěn)定范疇。 建立分次斜多項(xiàng)式系數(shù)矩陣與二次中心元之間聯(lián)系，分別得到了[n]元[（±1 ）-]分次斜多項(xiàng)式和4元分次非[（±1）-]斜多項(xiàng)式的二次正則中心元的分類；通過(guò)圖論方法和Clifford形變，計(jì)算了相關(guān)非交換二次超曲面代數(shù)的極大Cohen-Macaulay模范疇的穩(wěn)定范疇。可為后續(xù)非交換二次超曲面代數(shù)的分類提供幫助。

【關(guān)鍵詞】" "非交換二次超曲面；中心元；極大Cohen-Macaulay模范疇；Clifford形變

【Abstract】" " To enrich the singularity representation theory and classification results of non - commutative quadratic hypersurface singularity， this paper takes graded skew polynomial algebras as the research object， discusses the quadratic regular central elements and characterizes the stable categories of the corresponding maximal Cohen-Macaulay module categories. By establishing the relationship between the coefficient matrix of the graded skew polynomial and the quadratic central element， the classification of quadratic central elements of [n] variable graded [（±1）-]skew polynomial and 4 variable graded non-[（±1）-]skew polynomial is obtained respectively. Through the graph theory methods and Clifford deformations， the stable categories of the maximal Cohen-Macaulay module category of the related non-commutative quadric hypersurface algebras are calculated. The result is helpful for the classification of non-commutative quadric hypersurface algebras.

【Key words】" " "non-commutative quadric hypersurface; central element; maximal Cohen-Macaulay module category; Clifford deformation

〔中圖分類號(hào)〕 O153.3" " " " " " 〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕" A" " " " "〔文章編號(hào)〕 1674 - 3229（2024）04 - 0005 - 09

DOI：10.20218/j.cnki.1674-3229.2024.04.001

0" " "引言

非交換二次超曲面代數(shù)是非交換代數(shù)幾何和非交換代數(shù)的重要研究對(duì)象，相應(yīng)的Cohen-Macaulay表示理論成為眾多研究者關(guān)心的課題，在非交換代數(shù)幾何、代數(shù)表示論等方面有著重要應(yīng)用。

經(jīng)典交換二次超曲面[K[x1，…， xn]（f）]的研究已獲得了豐富的成果［1-2］，其中[f∈（x1， …， xn）2]，且由慣性定理可知交換二次超曲面的分類是清楚的。 而在非交換情形下，諾特Koszul Artin-Schelter正則代數(shù)[A]可看作一類量子射影空間的齊次坐標(biāo)環(huán)［3］，亦被認(rèn)為是一類非交換多項(xiàng)式。若[z]是[A]的二次正則中心元，那么稱[S=A（z）]是非交換二次超曲面代數(shù)。相較于交換二次超曲面，非交換二次超曲面的情形更為豐富和復(fù)雜。

Smith和Van den Bergh［4］借鑒了Buchweitz等［5］處理交換二次超曲面的方法， 引入了與非交換二次超曲面代數(shù)相關(guān)的一個(gè)有限維代數(shù)[C （ S ）]。然而，對(duì)于一般的非交換二次超曲面代數(shù)[S]，直接計(jì)算[C （ S ）]會(huì)有困難。He和Ye［6］首先構(gòu)造與二次正則中心元[z]對(duì)應(yīng)的Clifford映射[θz]，接著對(duì)[A！]做Clifford形變得到[?2-]分次代數(shù)[CA！（z）]，最后給出了關(guān)于[C （ S ）]的一種新的描述：[C（S）?CA！（z）0]。

為了得到非交換二次超曲面代數(shù)的分類，數(shù)學(xué)工作者從特殊的Koszul Artin-Schelter正則代數(shù)入手，同時(shí)，使用并推廣了交換代數(shù)幾何中的部分工具。Hu［7］對(duì)特殊的非交換圓錐曲線代數(shù)[S=A（z）]進(jìn)行了分類，其中[A]為3維量子多項(xiàng)式并且[S]的二次對(duì)偶[S！]是交換的，證明了此時(shí)[A]的二次正則中心元只可能為[ax21+bx22+cx23]的形式，其中[a，b，c∈K]，隨后通過(guò)[A]的分次自同構(gòu)群以及Clifford形變的方法，得到了非交換二次超曲面代數(shù)的分類并且得到了相對(duì)應(yīng)的有限維代數(shù)[C （ S ）]。Ayako和Masaki ［8］證明任意3-維量子多項(xiàng)式的分次有限生成模范疇和某個(gè)3-維Calabi-Yau量子多項(xiàng)式的分次有限生成模范疇等價(jià)。受此啟發(fā)，Hu等［9］對(duì)Calabi-Yau的2-維射影空間中的非交換圓錐曲線代數(shù)進(jìn)行了分類，即此時(shí)[A]為3-維Calabi-Yau量子多項(xiàng)式。對(duì)于斜多項(xiàng)式[A=Kx1，…， xn（xixj-εijxjxi）1≤i，j≤n]這一類特殊的Artin-Schelter正則代數(shù)，Vitoria［10］和Belmans等［11］分別給出了斜多項(xiàng)式二次超曲面代數(shù)[S]的點(diǎn)概型[E]的定義。Ueyama［12］首先利用點(diǎn)概型的手段對(duì)更特殊的[（±1）-]斜多項(xiàng)式進(jìn)行研究，給出了當(dāng)[n≤5]且[z=x21+…+x2n]時(shí)非交換二次超曲面代數(shù)[S]的分類。Mori和Ueyama ［13］利用非交換[Knorrer]周期性定理和圖論方法對(duì)[n-1]維量子射影空間中的光滑二次超曲面代數(shù)以及[n]元[（±1）-]斜多項(xiàng)式超曲面代數(shù)進(jìn)行了分類，其中[n≤6]。 隨后Higashitani等 ［14］和Ueyama ［15］給出了當(dāng)[A]為任意[n]元分次[（±1）-]斜多項(xiàng)式且[z=x21+…+x2n]和[z=x21+…+x2n-1]時(shí)非交換二次超曲面代數(shù)的分類。

然而，對(duì)于維數(shù)大于3的諾特Koszul Artin-Schelter正則代數(shù)，相對(duì)應(yīng)的非交換二次超曲面代數(shù)的分類結(jié)果還比較少。另一方面，相較于分次[（±1）-]斜多項(xiàng)式，一般的分次非[（±1）-]斜多項(xiàng)式的二次正則中心元具有更豐富和更復(fù)雜的選取可能性， 因此會(huì)產(chǎn)生更多樣的非交換二次超曲面代數(shù)。 如何刻畫(huà)中心元并對(duì)相關(guān)非交換二次超曲面代數(shù)分類成為相關(guān)研究者關(guān)心的問(wèn)題。針對(duì)上述問(wèn)題，本文主要研究了更為一般的斜多項(xiàng)式超曲面代數(shù)。首先利用斜多項(xiàng)式系數(shù)與非零二次正則中心元之間的關(guān)系， 給出了[n]元[（±1）-]分次斜多項(xiàng)式和4元分次非[（±1 ）-]斜多項(xiàng)式的二次正則中心元的分類。 接著利用二次正則中心元的分類結(jié)果， 結(jié)合圖論和Clifford形變等方法，給出了相關(guān)非交換二次超曲面代數(shù)[S]更精確的分類以及[S]的極大Cohen-Macaulay模范疇的穩(wěn)定范疇的刻畫(huà)。

本文約定：[K]表示一個(gè)特征為0的代數(shù)閉域，所有向量空間都表示為域[K]上的。除了特殊聲明，張量[?]表示[?K]。

1" " 預(yù)備知識(shí)

令[A=⊕g∈GAg]是一個(gè)[G-]分次代數(shù)，其中[G=?]或者[G=?2]。記[modA]為有限生成右[A-]模范疇，[grGA]為[G-]分次有限生成右[A-]模范疇。當(dāng)[G=?]時(shí)，如果[A]的每個(gè)齊次子空間[Ai]都是有限維向量空間，則稱[Ai]是局部有限的。若局部有限的[?]-分次代數(shù)[A]進(jìn)一步滿足： 當(dāng)[ilt;0]時(shí)，[Ai=0]，且[A0=K]，則稱[A]是連通分次代數(shù)。

定義1.1［3］" " 設(shè)[A]是一個(gè)連通分次代數(shù)并滿足條件：

（b）當(dāng)[i≠d]時(shí)，[ExtiA （KA， AA） = ExtiA （AK， AA） = 0]并且[ExtdA（KA， AA）]，[ExtdA（AK，AA）]都是1維的，則稱[A]是一個(gè)[d]維Artin-Schelter Gorenstein代數(shù)。

如果[A]是一個(gè)整體維數(shù)有限的[d]維Artin-Schelter Gorenstein代數(shù)，則稱[A]是一個(gè)[d]維Artin-Schelter正則代數(shù)。

定義1.2［16］" " 如果[A=⊕i∈?Ai]是一個(gè)連通分次代數(shù)，并且平凡模[KA]有如下的自由分解：

其中對(duì)于任意[i≥0]，[Pi]是一個(gè)由 [i] 次生成的分次自由右[A-]模，則稱[A]是一個(gè)Koszul代數(shù)。Kosuzl代數(shù)[A]可以表示為[A?T（V）/（R）]，其中[V]是一個(gè)有限維線性空間，線性空間[R?V?V]。令[V*]是[V]的線性對(duì)偶空間，并且[R⊥]是在[V*?V*]中的正交子空間，則稱[A！=T（V*）/（R⊥）]是[A]的Koszul對(duì)偶，并且Koszul對(duì)偶[A！] 也是一個(gè)Koszul代數(shù)［17］。

定義1.3" "設(shè)[A=T（V）/（R）]是一個(gè)[d]維諾特 Koszul Artin-Schelter正則代數(shù)，并且[z]是[A]中的一個(gè)二次非零正則中心元，則稱商代數(shù)[S=A/（z）]是一個(gè)非交換二次超曲面代數(shù)。

命題1.4［4］" "設(shè)[A=T（V）/（R）]是一個(gè)[d]維諾特 Koszul Artin-Schelter正則代數(shù)，則非交換二次超曲面代數(shù)[S=A/（z）]是一個(gè)內(nèi)射維數(shù)為[d-1]的Koszul Artin-Schelter Gorenstein代數(shù)。

定義1.5" "設(shè)[S]是一個(gè)[d-1]維Artin-Schelter Gorenstein代數(shù)，[N]是一個(gè)有限生成的[?-]分次右[S]模。如果[N]的局部上同調(diào)滿足：

其中[m=S≥1]，則稱[N]是極大Cohen-Macaulay模，簡(jiǎn)稱MCM模。

記由所有MCM模構(gòu)成的[gr?S]的滿子范疇為[mcm S]，并且記[mcm S]的穩(wěn)定范疇為[mcm S]，[ mcm S]是一個(gè)三角范疇。

定義1.6［6］" 設(shè)[A=T（V）/（R）]是一個(gè)Koszul代數(shù)，[z∈A2]是[A]中的一個(gè)非零正則中心元， [z∈V?2]是[z]的提升。稱[CA！（z）=T（V*）/（f-θz（f） ： f∈R⊥）]是[A！]的Clifford形變， 其中

定理1.7［6］" 設(shè)[S=A/（z）]是一個(gè)非交換二次超曲面代數(shù)，則[CA?。▃）]是一個(gè)強(qiáng)[?2-]分次代數(shù)，并且有如下三角范疇等價(jià)：

定義1.8" "設(shè)[n]是正整數(shù)，[ε=εij|i， j=1…n，]并且對(duì)于任意[i， j]滿足[εii=1]，[εijεji=1]，則稱[Aε=]

記[Δε：=（εij）1≤i， j≤n]為[Aε]對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣。當(dāng)[Δε]中的元素只有[±1]時(shí)，稱[A]是一個(gè)分次[（±1）-]斜多項(xiàng)式。

2" " "分次斜多項(xiàng)式的中心

設(shè)[Aε]是一個(gè)分次斜多項(xiàng)式，記[Ω：=xixj|xixj屬于]

[A 的中心，1≤i≤j≤n]，并且記[Ω]為有限集合[Ω]中元素的個(gè)數(shù)。先考慮分次斜多項(xiàng)式的二次正則中心元與系數(shù)矩陣之間的關(guān)系，再將分次斜多項(xiàng)式分為分次[（±1 ）-]斜多項(xiàng)式和分次非[（±1）-]斜多項(xiàng)式，分別討論它們的中心。

引理2.1" "設(shè)[Aε=Kx1，…，xn（xixj-εijxjxi）1≤i，j≤n]是分次斜多項(xiàng)式。對(duì)于[1≤i≤j≤n]，[xixj]是[Aε]的正則中心元，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意[1≤k≤n]有[εikεjk=1]。

證明：對(duì)任意[1≤k≤n]，[xixjxk=εikεjkxkxixj。] 因此，[xixj]是正則中心元當(dāng)且僅當(dāng)[εikεjk=1]。

2.1" "分次[（±1 ）-]斜多項(xiàng)式

引理2.2" "設(shè)[Aε]是一個(gè)分次[（±1）-]斜多項(xiàng)式。如果[xjxk，xjxl∈Ω]，那么[xkxl∈Ω]。

證明：由于[xjxk， xjxl∈Ω]，根據(jù)引理2.1可知對(duì)于任意[1≤i≤n]，[εkiεji=1]且[εliεji=1]，因此[εki=εli]。由于此時(shí)[Aε]為[（±1）-]斜多項(xiàng)式，所以[εkiεli=1]。又由引理2.1可知[xkxl∈Ω]。

引理2.3" "設(shè)[Aε]為[n]元分次[（±1）-]斜多項(xiàng)式，其中[n≥3]。如果[Aε]為非交換多項(xiàng)式，則[|Ω| ≤n2 +1]。

證明：顯然[|Ω|≤ n2 +n]。因?yàn)閇Aε]為非交換斜多項(xiàng)式，不妨設(shè)[xn-1xn?Ω]，由引理2.1可知對(duì)于任意[1≤jlt;n-1]，[xjxn-1， xjxn]中至少有一項(xiàng)不在集合[Ω]中。因此：

[|Ω| ≤ n2 +n-（n-2）-1=n2 +1]。

設(shè)[Aε]為[4]元分次[（±1）-]斜多項(xiàng)式。顯然對(duì)于任意[1≤i≤4]，[x2i∈Ω]。探討[|Ω| gt;4]的情形，此時(shí)必存在[1≤i， j≤4]，使得[xixj∈Ω]。不妨設(shè)[x1x2∈Ω]，下面給出此時(shí)的情況。

命題2.4" "設(shè)[Aε]為[4]元分次[（±1）-]斜多項(xiàng)式且[x1x2∈Ω]，則[Ω]為如下情形之一：

（a） [Ω=x2i， xkxl|1≤k≤l≤4]，此時(shí)[Aε]為[4]元多項(xiàng)式；

（b）[ Ω=x2i， x1x2， x1xk， x2xk|1≤i≤4 ， k∈{3 ，4}]；

（c） [Ω=x2i， x1x2， x3x4|1≤i≤4]；

（d） [Ω=x2i， x1x2|1≤i≤4]。

證明：（a） 如果[|Ω| ≥8]，由引理2.3可知，此時(shí)[Aε]為[4]元多項(xiàng)式。

（b） 如果[|Ω| =7]，則必存在[k∈3， 4]，使得[x1xk∈Ω]或者[x2xk∈Ω]。 不妨設(shè)[x1xk∈Ω]，利用引理2.2可知[x2xk∈Ω]。此時(shí)[Ω=x2i， x1x2， x1xk， x2xk|1≤i≤4]。

例：

（c） 如果[|Ω| =6]，由（b）可知對(duì)于任意[k∈3， 4]，[x1xk?Ω]且[x2xk?Ω]。

因?yàn)閇|Ω| =6]，此時(shí)[Ω=x2i， x1x2， x3x4|1≤i≤4]。

例：

（d） 如果[|Ω| =5]，由于[x1x2∈Ω]，此時(shí)[Ω=x2i， x1x2|1≤i≤4]。

例：

定義2.5" "設(shè)[Aε]為[n]元分次[（±1）-]斜多項(xiàng)式。對(duì)任意[xi， xj∈Aε]，若[xixj]是[Aε]的中心元，則稱[xi]與[xj]等價(jià)，記[xi～xj]。

引理2.6" "關(guān)系[\"～\"]為集合[x1， x2，…， xn]上的等價(jià)關(guān)系。

證明：由引理2.1可知自反性成立。

若[xixj]是中心元，由引理2.1可知對(duì)任意[1≤k≤n] ，[εikεjk=1]。因此[εjkεik=1]，再由引理2.1可知[xjxi]也是中心元，對(duì)稱性成立。

若[xixj]，[xjxk]是中心元，由引理2.2可知[xixk]是中心元，傳遞性成立。

利用定義2.5中定義的等價(jià)關(guān)系[\"～\"]，在集合[x1， x2，…， xn]上給出一個(gè)劃分[x1，x2，…， xn=p=1tθp]。

引理2.7" "對(duì)任意[xi∈θp]，[xi′∈θp′]有關(guān)系如下：

[xixi′=xi′xi， p=p′;kpp′xi′xi， p≠p′。]" "其中[kpp′∈{±1}]

證明：對(duì)于任意[1≤p≤t]，如果[xi， xj∈θp]，則[xixj]為[Aε]的中心，且[xixjxj=xjxixj]。又因?yàn)閇Aε]是整環(huán)，所以[xixj=xjxi]。

對(duì)于任意[p≠p′]，設(shè)[xi， xj∈θp]，[xi′， xj′∈θp′]，由于[xixj]是中心元，由引理2.1可知[εii′εji′=1]且[εij′εjj′=1]。因此[εii′=εji′]且[εij′=εjj′]。又由于[xi′xj′]是中心元，同理可得[εii′=εij′]且[εji′=εjj′]，取[kpp′=εii′]即可。

定理2.8" "設(shè)[Aε] 為 [n] 元分次[（±1）-]斜多項(xiàng)式，則分次代數(shù)：

[Aε（xixj∈ Ωaijxixj）?Aε（k=1nbkx2k）]

其中對(duì)于任意[i， j]，[aij∈K]，對(duì)于任意[1≤k≤n]，[bk∈0，1]。

證明：考慮劃分[x1， x2， …， xn=p=1tθp]。任取[1≤p≤t]，根據(jù)引理2.7，對(duì)于任意[xi， xj∈θp] ，有[xixj= xjxi]。利用慣性定理可知，存在多項(xiàng)式代數(shù)[K[xi|xi∈θp]]上的分次自同構(gòu)[fp]，使得[fp（xi，xj∈θpaijxixj）=xi∈θpbix2i]，其中[bi∈0，1]。

由于[x1， x2，…， xn=p=1tθp]，故自由代數(shù)[Kx1，…， xn]上存在分次代數(shù)自同構(gòu)[f]， 使得若[xi∈θp]，則[f（xi）=fp（xi）]，其中[1≤p≤t]且

又由引理2.7得[f]可誘導(dǎo)為[Aε]上的分次代數(shù)自同構(gòu)，結(jié)合上式結(jié)論得證。

2.2" "分次非[（±1）-]斜多項(xiàng)式

對(duì)于2元和3元分次非[（±1）-]斜多項(xiàng)式，二次正則中心容易得到。接下來(lái)考慮4元分次非[（±1 ）-]斜多項(xiàng)式的二次正則中心。根據(jù)引理2.1，對(duì)于平方項(xiàng)是否屬于[Ω]的判定是清楚的，并且對(duì)于分次非[（±1）-]斜多項(xiàng)式而言，并非所有平方項(xiàng)都在[Ω]中。所以較為感興趣的是[Ω]中至少含有一個(gè)交叉項(xiàng)的情況，因此在下面的討論中，規(guī)定[Ω]中至少含有一項(xiàng)交叉項(xiàng)。不失一般性，設(shè)[x1x2∈ Ω]，此時(shí)[Aε]對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣可表示為：

由于[Aε]為分次非[（±1 ）-]斜多項(xiàng)式，因此至少存在一個(gè)[i∈1， 2， 3]，使得[ki≠±1]。

定理2.9" "[Aε=Kx1，…， x4（xixj-εijxjxi）1≤i，j≤4]是一個(gè)4元分次非[（±1）-]斜多項(xiàng)式。此時(shí)[Ω]的情況如下：

（a） 如果只有[k1≠±1]，那么此時(shí)[Ω=x24， x1x2]；

（b） 如果只有[k2≠±1]，那么此時(shí)[Ω=x23，x1x2]；

（c） 如果只有[k3≠±1]，那么此時(shí)[Ω=x21， x22， x1x2]；

（d） 如果[k1， k2≠±1]并且[k1=1k2， k3=1]，那么此時(shí)[Ω=x1x2， x3x4]；

（e） 如果[k1， k3≠±1]并且[k1=k3， k2=1]，那么此時(shí)[Ω=x1x2， x1x4]；

（f） 如果[k1， k3≠±1]并且[k2=1k3， k1=1]，那么此時(shí)[Ω=x1x2， x1x3]；

（g） 如果是其他情況，那么此時(shí)[Ω=x1x2]。

證明：首先證明情況（a），由引理2.1可知[x2j∈Ω]當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意[1≤i≤4]有[εij=±1]，即系數(shù)矩陣的第[j]列中的元素全部為[±1]。因此若[k2=±1， k3=±1]且[k1≠±1]，則平方項(xiàng)僅有[x24∈Ω]。又由于[k1≠±1]，[k2=±1]，[k3=±1] 由引理2.1可知[x1x3， x1x4， x2x3， x2x4， x3x4?Ω]，則[Ω=x24， x1x2]。類似地，可以得到情況（b）（c）。

接著證明情況（d），由于[k1，k2≠±1]，由引理2.1可知對(duì)于任意[1≤i≤4]，[x2i?Ω]。又因?yàn)閇k1=1k2， k3=1] ，所以對(duì)于任意[1≤j≤4]，[εj3εj4=1]，因此由引理2.1可知[x3x4∈Ω]。由于[k1， k2≠±1]，再次使用引理2.1可知[x1x3，x1x4，x2x3，x2x4?Ω]。類似地，可以得到情況（e）（f）（g）。

命題2.10" "設(shè)[Aε]是一個(gè)4元分次非[（±1）-]斜多項(xiàng)式，若其對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣[Δε]中僅有[k3≠±1]，則可以得到如下分次代數(shù)同構(gòu)：

其中[ai∈K，bt∈0， 1。]

證明：類似定理2.8可以得到證明。

3" " "4元分次斜多項(xiàng)式超曲面代數(shù)的MCM模范疇的穩(wěn)定范疇

本文第二部分給出了[n]元[（±1）-]分次斜多項(xiàng)式和4元分次非[（±1 ）-]斜多項(xiàng)式的二次正則中心元的分類，從而得到了更加多樣的二次超曲面代數(shù)。 下面集中討論4元分次斜多項(xiàng)式的情形，利用第二部分二次正則中心元的分類結(jié)果，給出了相關(guān)非交換二次超曲面代數(shù)[S]的分類，并且計(jì)算了相關(guān)非交換二次超曲面代數(shù)的極大Cohen-Macaulay模范疇的穩(wěn)定范疇。

3.1" "[Aε]為分次[（±1 ）-]斜多項(xiàng)式

下面采用文獻(xiàn) ［14］中的圖論方法，對(duì)其中涉及的概念和符號(hào)作簡(jiǎn)要介紹。圖[G]包括頂點(diǎn)的集合[V（G）]和邊的集合[E（G）]。在本文中，規(guī)定圖[ G ]既沒(méi)有環(huán)路也沒(méi)有多重邊。對(duì)于頂點(diǎn) [i∈V（G）]，記[NG（ i ）={j∈V（G）|ij∈E（G）}]。如果[NG（ i ）=?]， 則稱頂點(diǎn) [i] 為孤立點(diǎn)。對(duì)于4元分次[（±1 ）-]斜多項(xiàng)式[Aε]，固定以下記號(hào)：

（a） 圖[Gε]的頂點(diǎn)集合[V（Gε）={1， 2， 3，4}]，[E（Gε）={ij|εij=1且i≠j}]。易知圖[Gε]和4元分次[（±1）-]斜多項(xiàng)式[Aε]一一對(duì)應(yīng)；

（b） 中心元[z=x21+…+x2k∈Aε]，其中[1≤k≤4]；

（c） 非交換二次超曲面代數(shù)[Sε=Aε（z）]。

定義3.1（突變）" "參考［14］中的定義2.1，設(shè)[i]是圖[Gε]的一個(gè)頂點(diǎn)，[Gε]在點(diǎn)[i]處的突變記為[μi（Gε）]，其中[V（μi（Gε））={1，2， 3， 4}]，[E（μi（Gε））={ij|j∈V（Gε）＼NGε（i）}?E（Gε＼{i}）。]

引理3.2（突變引理）" "參考［14］中的引理2.4，如果對(duì)于[Gε]的某個(gè)頂點(diǎn)[i]，有[Gε′=μi（Gε）]，則有[mcm Sε? mcm Sε′]。

命題3.3" "設(shè)[Gε]是4元分次斜多項(xiàng)式[Aε]對(duì)應(yīng)的圖，則存在以1為孤立點(diǎn)的圖[Gε′]，使得[mcm Sε?mcm Sε′]。

證明：設(shè)[N={jj∈V（Gε）且1j∈E（Gε）}]。在[Gε]上對(duì)所有[j∈N]實(shí)施突變，得到[Gε′]，易知1為圖[Gε′]中的孤立點(diǎn)。并且根據(jù)引理3.2可知[mcm Sε? mcm Sε′]。

接下來(lái)固定1為圖[Gε]的孤立點(diǎn)。由命題3.3可知在[mcm Sε]等價(jià)的意義下，圖[Gε]的分類如下：

由定理2.8可知為了計(jì)算4元分次[（±1）-]非交換二次超曲面代數(shù)[Sε]的MCM模范疇，僅需考慮二次中心元[z=x21+…+x2k]的情況，其中[1≤k≤4]。而中心為[x21+x22+x23+x24]和[x21+x22+x23]的情況可以分別參考［12］中的定理3.9和［15］中的定理8。

下面分別討論中心為[x21+x22]和中心為[x21]的情況。記[Sεt=Aεt（z）]是圖[Gεt]對(duì)應(yīng)的非交換二次超曲面代數(shù)。

定義3.4（相對(duì)突變）" 參考［14］中的定義2.4，令[i， j]是[Gε]的兩個(gè)不同的頂點(diǎn)。[Gε]在點(diǎn)[i]處相對(duì)[j]的突變記為[μi←j（Gε）]，其中[V（μi←j（Gε））={1， 2， 3， 4}]，并且

[E（μi （Gε））={ ik | k∈NGε（ j ） ＼ NGε（ i ）}?{ ik |k∈NGε（ i ） ＼ NGε（ j ）}?E （Gε＼ { i }）]

命題3.5" "當(dāng)[z=x21+x22]時(shí)，在[mcm Sε]等價(jià)的意義下，對(duì)[Aε]有如下分類。

（a） 當(dāng)[Aε=Aε1]或[Aε=Aε2]時(shí)，[CA！ε（z）0?Ka， b， c（ab+ba，ac+ca，bc-cb，a2-1， b2， c2）] 。

（b） 當(dāng)[Aε=Aε3， Aε4， Aε5， Aε6]時(shí)，[CA！ε（z）0?Ka， b， c（ab+ba， ac-ca， bc-cb，a2-1， b2， c2）] 。

（c） 當(dāng)[Aε=Aε7]時(shí)，[CA！ε（z）0?Ka， b（ab+ba， a2， b2）×2。]

（d） 當(dāng)[Aε=Aε8]時(shí)，[CA！ε（z）0?K[a， b]（a2， b2）×2。]

證明：（a） 由于[Gε2=μ3←2（Gε1）]，參考［15］中的定理28，可知[ mcm Sε1? mcm Sε2]。通過(guò)計(jì)算易知

[CA！ε1（z）?Kx1， x2， x3， x4x1x2-x2x1， x1x3-x3x1，x1x4+x4x1，x2x3-x3x2， x2x4+x4x2，x3x4+x4x3，x21-1， x22-1， x23，x24]

令[a=x1x2]，[b=x1x3]，[c=x1x4]，則[{1， a， b， c}]是[CA！ε1（z）0]的一組基，通過(guò)直接計(jì)算可知：

[CA！ε1（z）0?Ka， b， c（ab+ba， ac+ca， bc-cb， a2-1， b2， c2）]

因此，[mcm Sε1? Db（mod T1）]，其中[T1=Ka，b， c（ab+ba， ac+ca， bc-cb， a2-1， b2， c2）]

（b） 由于[Gε5=μ4←2（Gε3）]，[Gε6=μ3←2（Gε4）]，由［15］可知[mcm Sε3? mcm Sε5]，[mcm Sε4? mcm Sε6]。而在3和4輪換的意義下，[Gε3=Gε4]，因此[Sε3=Sε4]。類似地，利用Clifford形變，[mcm Sε3? Db（mod T2）]， 其中

[T2=Ka， b， c（ab+ba， ac-ca，bc-cb， a2-1，b2， c2）]

（c） 對(duì)于圖[Gε7]，類似地，利用Clifford形變可知[mcm Sε7? Db（mod T23）]，其中[T3=Ka， b（ab+ba， a2， b2）]。

（d） 對(duì)于圖[Gε8]，類似地，利用Clifford形變可知[mcm Sε8? Db（mod T24）]，其中[T4=K[a， b]（a2， b2）]。

命題3.6" "當(dāng)[z=x21]時(shí)，在[mcm Sε]等價(jià)的意義下，對(duì)[Aε]有如下的分類。

（a） 當(dāng)[Aε=Aε1]時(shí)， [CA！（z）0?Ka，b， c（ab+ba，ac+ca， bc+cb， a2， b2， c2）。]

（b） 當(dāng)[Aε=Aε2， Aε3， Aε4]時(shí)，[CA?。▃）0?Ka， b， c（ab+ba， ac+ca， bc-cb， a2， b2， c2）。]

（c） 當(dāng)[Aε=Aε5， Aε6， Aε7]時(shí)，[CA?。▃）0?Ka， b， c（ab+ba， ac-ca， bc-cb， a2， b2， c2）。]

（d） 當(dāng)[Aε=Aε8]時(shí)，[CA?。▃）0?K[a， b， c]（a2， b2， c2）。]

證明：（a） 對(duì)于圖[Gε1]，利用Clifford形變可知[mcm Sε1? Db（mod T5）]，其中

[T5=Ka， b， c（ab+ba， ac+ca， bc+cb， a2， b2， c2）]

（b） 在2， 3， 4輪換的意義下， [Gε2=Gε3=Gε4]，因此[Sε2=Sε3=Sε4]。利用Clifford形變， [mcm Sε2? Db（mod T6）]，其中

[T6=Ka， b， c（ab+ba， ac+ca， bc-cb， a2， b2， c2）]

（c） 在2， 3， 4輪換的意義下，[Gε5=Gε6=Gε7]，因此[Sε5=Sε6=Sε7]。利用Clifford形變， [mcm Sε5? Db（mod T7）]，其中

[T7=Ka， b， c（ab+ba， ac-ca， bc-cb， a2， b2， c2）]

（d） 對(duì)于圖[Gε8]，利用Clifford形變可知[mcm Sε8? Db（mod T8）]， 其中[T8=K[a， b， c]（a2， b2， c2）]。

3.2" "[Aε]為分次非[（±1）-]斜多項(xiàng)式

在定理2.9中對(duì)4元分次非 [（±1）-] 斜多項(xiàng)式[Aε]的中心進(jìn)行了分類，下面使用Clifford形變計(jì)算[CA！ε（z）]，從而得到非交換二次超曲面代數(shù)[Sε=Aε/（z）]的MCM模范疇的穩(wěn)定范疇。為方便起見(jiàn)，在下面的計(jì)算中將Koszul對(duì)偶中的[x*i]記為[xi]。下面將計(jì)算結(jié)果列出。

命題3.7" "設(shè)[Aε]是4元分次非[（±1）-]斜多項(xiàng)式的中心，[z]是[Aε]的二次正則中心元，則[CA！ε（z）]有如下的分類。

（a） 當(dāng)[z=a1x1x2+a2x24]或[z=a1x1x2+a2x23]時(shí)，

[CA！ε（z）?Kx1， x2， x3， x4x1x2+x2x1-a1， x1x3+k1x3x1， x1x4+k2x4x1，x2x3+1k1x3x2， x2x4+1k2x4x2， x3x4+k3x4x3，" " " " " " " " " " " " "x21， x22， x23， x24-a2]

（b） 當(dāng)[z=a1x21+a2x22]時(shí)，

[CA！ε（z）?Kx1， x2， x3， x4x1x2+x2x1， x1x3+k1x3x1， x1x4+k2x4x1，x2x3+1k1x3x2， x2x4+1k2x4x2， x3x4+k3x4x3，" " " " " " " " " "x21-a1， x22-a2， x23， x24]

（c） 當(dāng)[z=a1x1x2+a2x3x4]時(shí)，

[CA！ε（z）?Kx1， x2， x3， x4x1x2+x2x1-a1， x1x3+k1x3x1， x1x4+k2x4x1，x2x3+1k1x3x2， x2x4+1k2x4x2， x3x4+x4x3-a2，" " " " " " " " " " " " " " " "x21， x22， x23， x24]

（d） 當(dāng)[z=a1x1x2+a2x1x4]時(shí)，

[CA！ε（z）?Kx1， x2， x3， x4x1x2+x2x1-a， x1x3+k1x3x1， x1x4+k2x4x1-a2，x2x3+1k1x3x2， x2x4+1k2x4x2， x3x4+x4x3，" " " " " " " " " " " " " " " "x21， x22， x23， x24]

（e） 當(dāng)[z=a1x1x2+a2x1x3]時(shí)，

[CA！ε（z）?Kx1， x2， x3， x4x1x2+x2x1-a1， x1x3+k1x3x1-a2， x1x4+k2x4x1，x2x3+1k1x3x2， x2x4+1k2x4x2， x3x4+x4x3，" " " " " " " " " " " " " " " " "x21， x22， x23， x24]

4" " "結(jié)論

本文在分次代數(shù)同構(gòu)的意義下，對(duì)[n]元分次[（±1）-]斜多項(xiàng)式進(jìn)行了分類。對(duì)于4元非[（±1）-]斜多項(xiàng)式， 給出了中心至少含有一項(xiàng)交叉項(xiàng)時(shí)中心與斜多項(xiàng)式系數(shù)之間的關(guān)系，得到了更加豐富的非交換二次超曲面代數(shù)。而后利用圖論方法以及Clifford形變，刻畫(huà)了4元分次斜多項(xiàng)式二次超曲面代數(shù)的極大Cohen-Macaulay模范疇的穩(wěn)定范疇。后續(xù)可以在此基礎(chǔ)上考慮使用非交換[Knorrer]周期性定理，并將其用于非交換二次超曲面代數(shù)的分類。

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責(zé)任編輯" "孫" "澗

［收稿日期］" "2024-08-18

［基金項(xiàng)目］" "浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（LY24A010006）

［作者簡(jiǎn)介］" "劉旸（1999- ），男，浙江理工大學(xué)理學(xué)院碩士研究生，研究方向：非交換代數(shù)。