【摘" "要】" "以冗余4-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)作為研究目標，建立4-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)逆解模型?；诖耍⒉⒙?lián)機構(gòu)工作空間邊界搜索目標函數(shù)，提出一種基于螢火蟲算法的工作空間搜索數(shù)值方法，實現(xiàn)4-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)的可達工作空間和定姿態(tài)工作空間邊界搜索并得到工作空間圖。根據(jù)蒙特卡洛法計算得到工作空間進行對比驗證，研究參數(shù)尺寸和工作空間大小之間的影響關(guān)系，采用圖形法分析4-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)的轉(zhuǎn)動能力，最后建立以工作空間面積[Stotal]和平均轉(zhuǎn)動能力指標[η]的多目標優(yōu)化函數(shù)，選擇NSGA-II算法實現(xiàn)參數(shù)尺寸優(yōu)化，得到多組Parto優(yōu)化前沿集并進行算例分析。

【關(guān)鍵詞】" "4-RRR；平面并聯(lián)機構(gòu)；逆解；搜索算法；螢火蟲算法

【Abstract】" " Taking the redundant 4-RRR planar parallel mechanism as the research object， the inverse kinematics model of 4-RRR planar parallel mechanism is established. Based on this， the objective function of workspace boundary optimization of parallel mechanism is established， a numerical method of workspace search based on firefly algorithm is proposed，the boundary search of the reachable workspace and the fixed posture workspace of the 4-RRR planar parallel mechanism is realized， and the workspace graph is obtained. According to the workspace calculated by Monte Carlo method， the relationship between the size of parameters and workspace is studied. The rotation ability of 4-RRR planar parallel mechanism is analyzed by graphic method. Finally， the index of workspace area and average rotation ability is established， the NSGA-II algorithm is selected to optimize the parameter size， multiple sets of parto optimization frontier sets are obtained， and an example is analyzed.

【Key words】" " "4-RRR; planar parallel mechanism; inverse solution; search algorithm; firefly algorithm

〔中圖分類號〕 TH122" " " " " " 〔文獻標識碼〕" A " " " " " " "〔文章編號〕 1674 - 3229（2024）04 - 0026 - 09

［收稿日期］" "2024-04-15" " " " " " "DOI：10.20218/j.cnki.1674-3229.2024.04.004

0" " "引言

4-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)和3-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)相比具有工作空間大［1］、剛度高等特點，廣泛應(yīng)用于數(shù)控電火花機床［2］、數(shù)控繡花機［3］、數(shù)控線切割機等工業(yè)領(lǐng)域［4］。增加一條支鏈可減少3-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)奇異位形。

近年來研究4-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)的學(xué)者很多，文獻［5］中完成3-RRR機構(gòu)和冗余驅(qū)動4-RRR機構(gòu)對比性能分析，在考慮關(guān)節(jié)間隙情況下計算運動學(xué)的誤差傳遞方程，同時根據(jù)牛頓-歐拉法方法得到動力學(xué)方程。對比表明4-RRR機構(gòu)在運動學(xué)和動力學(xué)方面性能更優(yōu)。文獻［6］針對工作空間理論求解局限缺陷，通過Smi-Mechamcs建立實體運動學(xué)模型，選擇一組數(shù)值算例仿真得到工作空間圖，并分析參數(shù)影子因子對工作空間的影響。文獻［7］利用螺旋理論驗證機構(gòu)的運動性質(zhì)，并建立主動副的運動學(xué)方程，根據(jù)算例分析驗證建立模型的可行性，圖形化分析參數(shù)對工作空間大小的影響關(guān)系。文獻［8］ 對4-RRR、3-RRR和2-RRR三種平面并聯(lián)機構(gòu)的調(diào)節(jié)性能、速度性能、有效載荷性能和剛度性能進行了比較研究，提出了條件、速度、有效載荷和剛度指標，比較了3種并聯(lián)機器人的性能指標。結(jié)果表明：4-RRR機械手、有效載荷性能和剛度性能最好，2-RRR機械手的調(diào)節(jié)性能最差。文獻［9］通過建立的運動學(xué)模型及支鏈運動約束方程，對4-RRR冗余并聯(lián)機構(gòu)的支鏈結(jié)構(gòu)優(yōu)化，根據(jù)Newton-Raphson法完成計算運動學(xué)位置分析。分析5種運動約束的支鏈構(gòu)型所對應(yīng)的操作空間，對比得到最優(yōu)支鏈構(gòu)型，分析結(jié)果可在實際應(yīng)用中指導(dǎo)4-RRR機構(gòu)的支鏈位置安裝。文獻［10］ 設(shè)計了一種并聯(lián)機器人機構(gòu)驅(qū)動力分配優(yōu)化策略，根據(jù)虛功原理建立運動方程。分析得到鉸點3-RRR和4-RRR的驅(qū)動力并對其進行優(yōu)化，最后研究驅(qū)動力和內(nèi)部預(yù)緊力的影響關(guān)系。

本文主要通過建立4-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)方程模型得到運動學(xué)逆解，提出一種工作空間搜索方法，以逆解作為數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)出搜索的目標函數(shù)，并和傳統(tǒng)方法得到結(jié)果進行對比，證明該方法的可靠性。同時建立工作空間和轉(zhuǎn)動能力的數(shù)學(xué)模型目標，根據(jù)經(jīng)典NSGA-II算法優(yōu)化得到滿足各目標函數(shù)最優(yōu)所對應(yīng)的參數(shù)尺寸。

1" " "機構(gòu)位置分析

冗余4-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。支鏈的構(gòu)成[Ri1//Ri2//Ri3（i=1，2，3，4）]且4條支鏈對稱分布，建立定坐標系[O-XY]位于靜平臺的主動副的[A1]點上，其中[X]軸經(jīng)過直線[A1A2]，并指向[A2]點，[Y]軸經(jīng)過直線[A1A4]指向[A4]點，同時將動坐標系[p-uv]建立在動平臺幾何中心，其中，[u]軸經(jīng)過[C2C3]的中點且平行于[C1C2]，[v]軸經(jīng)過[C3C4]的中點且平行于[C2C3]，定義靜平臺的[A1A2A3A4]的邊長為[a]，動平臺的邊長為[h]，桿長[AiBi]為[l1]，桿長[BiCi]為[l2]，設(shè)置主動副是運動輸入[α1，α2，α3]，執(zhí)行末端輸出[x，y，θ]，可得到[Ai]坐標向量：

可根據(jù)運動輸入[α1，α2，α3]得到[Bi]坐標向量：

在[p-uv]下動平臺上的點[Ci]坐標向量為：

點靜坐標系下[PCi]的位置矢量表達式：

其中[rot（z，θ）]矩陣為：

因此，得到[PCi]的位置矢量

根據(jù)桿長約束關(guān)系得到約束方程為：

分離變量得到關(guān)于[α1，α2，α3]的參數(shù)方程組

推導(dǎo)得到運動學(xué)逆解解析式：

2" " "工作空間分析

工作空間的數(shù)值分析法一般采用直角坐標或者極坐標形式進行極限搜索，如蒙特卡洛法、極坐標搜索法。這類方法普遍搜索效率不高，因此，提出一種智能工作空間搜索算法——螢火蟲群工作空間搜索算法，基本原理采用兩個版本之一的FA（firefly algorithm）算法，由劍橋?qū)W者Xin-She Yang提出［11］。螢火蟲算法是一種啟發(fā)式算法，這種算法啟發(fā)于晚上螢火蟲發(fā)光的行為［12］。螢火蟲的閃光，其主要目的是作為一個信號系統(tǒng)，以吸引其他的螢火蟲。螢火蟲算法具有以下特點：（1）螢火蟲不分性別，它將會被吸引到所有比它更亮的螢火蟲那去；（2）螢火蟲的吸引力和亮度成正比，對于任何兩只螢火蟲，其中一只會向著比它更亮的另一只移動，然而，亮度是隨著距離的增加而減少的；（3）如果沒有找到一個比給定的螢火蟲更亮，它會隨機移動。

2.1" "工作空間搜索方法

作為優(yōu)化算法目標函數(shù)需要搜尋的優(yōu)化目標是比較重要的。在一定的搜索區(qū)域[Q=x，yx∈x1，x2，y∈y1，y2]中需要找到滿足約束條件的點[x，y]作為工作空間?？珊喕癁橥ㄟ^邏輯值[M0，1]判斷是否屬于工作空間內(nèi)的點，但沒有浮動的連續(xù)值，因此智能優(yōu)化的目標函數(shù)需要重新設(shè)計。現(xiàn)以4-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)為例，建立4-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)工作空間搜索目標，根據(jù)公式（9）得到運動學(xué)逆解，主動副輸入[αi∈-π2，π2，i=1，2，3，4]，工作空間內(nèi)每個位置點[x，y]都有解，選擇如下函數(shù)作為目標函數(shù)公式（10）：

其中[δ]是一個設(shè)定為接近0的數(shù)，可以是正數(shù)也可以是負數(shù)，則可以求出整個目標函數(shù)值在工作空間上的分布，顯然滿足[fx，y=δ]點的集合是工作空間的邊界。

算法要保證收斂需要使得搜索的工作空間點是有限個數(shù)，將整個平面搜索區(qū)域網(wǎng)格化，設(shè)網(wǎng)格化的最小間距為[dx]和[dy]，則可以得到網(wǎng)格點數(shù)目[m=4x1dxy1dy]，[m]取整且是有限個數(shù)。

根據(jù)公式（10）建立的目標函數(shù)，即可以采用螢火蟲群搜索算法完成整個工作空間的搜索，其主要流程或者原理如下：1）初始化螢火蟲群的個數(shù) [n]，網(wǎng)格位置（需要移動到最近的網(wǎng)格點）和網(wǎng)格位置代表的目標函數(shù)值[fu]，[fu]表示螢火蟲個體的亮度。 2）初始化算法參數(shù)[σ]（步長因子）、[β]（最大吸引度）、[λ]（光吸收系數(shù)）、迭代次數(shù)[step]，記錄螢火蟲網(wǎng)格位置的位置空間[fireflyx，y]，表示所有螢火蟲經(jīng)過的網(wǎng)格位置，主要作用在于避免螢火蟲重復(fù)搜尋這些網(wǎng)格位置。3）根據(jù)各螢火蟲的亮度（目標函數(shù)值）決定各螢火蟲的移動方向，更新螢火蟲的位置，如式（11）所示。[Xit+1=Xit+β?exp-γrtij2Xit+1-Xit+σrand-0.5] （11）

其中[rij]為兩個螢火蟲 [i] 和 [j] 間的歐式距離，然后移動至最近的網(wǎng)格點，根據(jù)[fireflyx，y]位置表，新的位置判斷是否屬于此表中，若不屬于則更新此表，并且計算目標函數(shù)值，即螢火蟲亮度。4）判斷是否滿足搜索精度或達到最大搜索次數(shù)，滿足則轉(zhuǎn)下一步；否則，搜索次數(shù)增加1，轉(zhuǎn)第3步，進行下一次搜索。5）搜索結(jié)束，根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)繪制工作空間圖。算法中比較重要的是位置更新過程，更新公式中目標函數(shù)起到一個方向性的作用，當有更亮的螢火蟲就移動到此螢火蟲附近，另外位置空間起到禁忌表的作用，避免螢火蟲反復(fù)搜索，提高了搜索效率。其搜索流程圖如圖2所示。

2.2" "定姿態(tài)工作空間搜索

根據(jù)建立的目標函數(shù)并利用螢火蟲算法完成工作空間的搜索，機構(gòu)參數(shù)如表1所示，姿態(tài)角為0°，經(jīng)過調(diào)試給出螢火蟲搜索算法參數(shù)，[σ=1]，[β=0.6]，[γ=0.05]，迭代搜索次數(shù)100次，螢火蟲數(shù)量40，網(wǎng)格間隔[dx=dy=0.1]，得到不同搜索次數(shù)的搜索圖像，紅色點表示不符合，綠色點表示符合，藍色點是螢火蟲，如圖3所示。同時給出了工作空間網(wǎng)格點數(shù)目隨迭代次數(shù)變化的曲線，如圖4所示。作為算例給出4-RRR平面并聯(lián)機構(gòu)的參數(shù)值，如表1所示。

圖3搜索過程中，t=0時，螢火蟲隨機分布在搜索空間中；t=1時，螢火蟲根據(jù)亮度也就是目標函數(shù)值高低迅速聚集于工作空間區(qū)域，能夠觀察到螢火蟲的運動軌跡；t=5～20可以明顯觀察到，工作空間已經(jīng)初具形貌，螢火蟲群在工作空間周圍迅速聚集，其軌跡逐步填滿這個區(qū)域；t=50步以上約80步時，工作空間基本搜索完畢，和圖4的曲線一致。圖4是算法收斂曲線，前期呈現(xiàn)快速的收斂過程，后期由于尋優(yōu)搜索相當于填充稀少的工作空間點，因此找到的點個數(shù)越來越少，但約在95步左右搜索完成。

2.3" "可達工作空間搜索

可達工作空間是指在結(jié)構(gòu)限制下，機構(gòu)的動平臺的姿態(tài)角θ在0°～360°范圍內(nèi)連續(xù)變化，得到所有的定姿態(tài)工作空間的并集為機構(gòu)的可達工作空間［13］。目標函數(shù)值可修改為：計算在不同角度下的[fu]值，取其最大值作為目標函數(shù)值。螢火蟲搜索算法的參數(shù)同上一節(jié)，則可得到4-RRR機構(gòu)可達工作空間的搜索過程和迭代曲線，圖5和圖6展示了其過程。

可達工作空間搜索過程較為快速，在t=50，基本搜索完成，螢火蟲搜索軌跡也快速向可達工作空間匯聚，在約60步時完成搜索，得到了類似十字勛章的可達工作空間圖形。采用傳統(tǒng)方法蒙特卡洛法搜索得到姿態(tài)角為0°時的定姿態(tài)工作空間、可達工作空間圖，如圖7所示。可以看出在表1的參數(shù)下根據(jù)螢火蟲搜索算法所得到的工作空間圖和蒙特卡洛法得到的圖形完全一致，驗證了螢火蟲搜索算法的有效性。算例表明螢火蟲智能啟式搜索算法能夠完成可達和定姿態(tài)工作空間的搜索工作，并且能夠快速收斂，提供了螢火蟲搜索算法的具體算法算例，體現(xiàn)了智能優(yōu)化算法在機構(gòu)搜索工作空間的廣闊應(yīng)用性。

3" " "轉(zhuǎn)動能力分析

機構(gòu)的轉(zhuǎn)動能力是衡量機構(gòu)轉(zhuǎn)動靈活性的重要指標，轉(zhuǎn)動能力是指動平臺姿態(tài)角的最大轉(zhuǎn)動角度范圍。參考文獻［14］中的指標，定義空間某點的轉(zhuǎn)動能力指標用于評價機構(gòu)的轉(zhuǎn)動能力，得到圖8所示的是轉(zhuǎn)動能力工作空間內(nèi)分布。

由圖8分析可得：工作空間轉(zhuǎn)動能力由內(nèi)向外逐漸縮小，中間區(qū)域的轉(zhuǎn)動能力最大，最大的轉(zhuǎn)動能力區(qū)域形狀為“飛鏢”對稱型。邊界部分的轉(zhuǎn)動能力最低。

4" " "參數(shù)對機構(gòu)工作空間的影響

影響4-RRR機構(gòu)工作空間的參數(shù)有4個，分別是[a]、[h]、[l1]、[l2]，采用單變量分析法分別研究各個參數(shù)對可達工作空間面積的影響。固定另外3個參數(shù)，令某個參數(shù)在范圍內(nèi)變化。得到參數(shù)影響曲線以及對應(yīng)的曲線擬合如圖9所示。

由圖9分析可得：靜、動平臺尺寸[a]、[h]對可達工作空間面積的影響呈線性關(guān)系，可達工作空間面積隨著參數(shù)的增加而減少，可達工作空間的面積隨著桿長[l1]參數(shù)尺寸增加而增加。另外，桿長[l2]參數(shù)在［2，4］范圍內(nèi)，可達工作空間面積先是隨著桿長[l2]參數(shù)尺寸的增加而增加，當增加到3.2以后，桿長[l2]參數(shù)尺寸增加而工作空間面積減小。

5" 機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

5.1" "模型多目標優(yōu)化的建立

根據(jù)4-RRR并聯(lián)機構(gòu)參數(shù) [a]、 [h]、 [l1]、 [l2] 四個參數(shù)，建立兩個優(yōu)化目標函數(shù)：一是4-RRR平面機構(gòu)的可達工作空間面積[Stotal]，另一個是平均轉(zhuǎn)動能力指標[η]。函數(shù)定義如下：

其中[Stotal]表示工作空間面積大小，[ρ]表示搜索步長，[Δθ]扇形所對應(yīng)的極角，[n]滿足約束條件工作空間內(nèi)點的個數(shù)， [Kx，y]表示轉(zhuǎn)動能力指標。

優(yōu)化算法采用經(jīng)典的NSGA-II遺傳算法［15］。并選擇4個參數(shù)的變化范圍如表2所示，NSGA-II算法優(yōu)化基本要點如下：

（1） 隨機產(chǎn)生規(guī)模為N的初始種群，非支配排序后通過遺傳算法的選擇、交叉、變異3個基本操作得到第一代子代種群。

（2） 從第二代開始，將父代種群與子代種群合并，進行快速非支配排序，同時對每個非支配層中的個體進行擁擠度計算，根據(jù)非支配關(guān)系以及個體的擁擠度選取合適的個體組成新的父代種群。

（3） 通過遺傳算法的基本操作產(chǎn)生新的子代種群，依此類推，直到滿足程序結(jié)束的條件。

5.2" "優(yōu)化結(jié)果分析

選擇如表3的算法參數(shù)，進行100次迭代，得到Parto優(yōu)化前沿集，如圖10所示。Parto優(yōu)化解前沿可以認為是兩個斜率不同的直線組成，在可達工作空間面積為27 m2之前全局轉(zhuǎn)動能力指標降低較?。ń档退俾?0.0095/m2），超過27 m2后全局轉(zhuǎn)動能力指標降低較快（-0.1/m2）。表明在面積和全局轉(zhuǎn)動能力指標呈現(xiàn)兩種不同的背離速度，因此在選擇不同的參數(shù)時可以參考這兩種背離的臨界點{27 m2，0.70}進行實際機構(gòu)參數(shù)的選擇。

表4選擇了兩個階段的各3組參數(shù)，從表4的解中可以發(fā)現(xiàn)，Parto最優(yōu)解中 [l1] 以及 [a] 都基本固定（約為2.5和4），主要變量以 [l2] 和 [h] 為主，進一步分析參數(shù) [h] 和 [l2] 對兩個優(yōu)化目標的影響，如圖11所示?？梢园l(fā)現(xiàn) [h] 對兩個優(yōu)化目標的影響為兩個階段，由兩個近似直線組成，拐點分別為{0.5，27}和{0.5，0.7}，這恰好是兩個優(yōu)化目標的臨界拐點，因此，拐點出現(xiàn)基本是由 [h] 所影響。[h] 的增加和 [l2] 的增加會導(dǎo)致可達工作空間面積增加，但全局轉(zhuǎn)動能力指標會下降。通過以上分析可知， [h] 和 [l2] 是機構(gòu)主要的影響參數(shù)。

對應(yīng)表4做出了對應(yīng)參數(shù)的轉(zhuǎn)動能力在可達工作空間的分布圖，如圖12所示。在高全局轉(zhuǎn)動能力指標0.7以上（第1組和第2組），靈活空間的面積較大，但是四周邊緣分布有較大面積的4個對稱空洞，隨著可達工作空間面積的增大（第3組和第4組），靈活空間向內(nèi)萎縮，空洞面積減少但逐步向內(nèi)靠近。從全局轉(zhuǎn)動能力指標從大到小的順序（第1，2，5，6，3，4組）排序，可以看見這個漸變的順序。該小節(jié)分析可以為使用和設(shè)計該機構(gòu)參數(shù)提供理論參考依據(jù)。

6" " "結(jié)論

（1） 分析4-RRR平面機構(gòu)的運動學(xué)逆解，推導(dǎo)得到工作空間搜索函數(shù)。

（2） 提出了螢火蟲智能搜索工作空間算法，能夠有效地進行定姿態(tài)工作空間和可達工作空間的搜索，并且能夠根據(jù)不同的機構(gòu)設(shè)計不同的目標函數(shù)，從而適應(yīng)不同的機構(gòu)，具有廣泛的適應(yīng)性。

（3） 用NSGA-II研究了可達工作空間面積和全局轉(zhuǎn)動能力指標的雙目標優(yōu)化，確定了參數(shù) [h] 和 [l2]為主要影響參數(shù)，同時確定 [h] 為Parto優(yōu)化解的拐點影響因素，雙目標拐點為（27 m2，0.7），高全局轉(zhuǎn)動能力指標（0.7以上）時 [h] 必然等于0.5。為實際應(yīng)用提供了理論和數(shù)值支持。

［參考文獻］

［1］ 劉延斌，張彥斌.三種無內(nèi)部奇異的平面冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)及其性能分析［J］.機械設(shè)計與制造， 2017（9）：65-68.

［2］ 劉瑋， 常思勤. 基于遺傳算法的冗余任務(wù)并聯(lián)機器人驅(qū)動優(yōu)化［J］.農(nóng)業(yè)機械學(xué)報， 2012， 43（4）：221-224+220.

［3］ 沙鑫美， 萬軼， 呂小祥. 4-RRR冗余并聯(lián)機構(gòu)混合驅(qū)動與能耗優(yōu)化［J］.機床與液壓， 2019（13）：51-56.

［4］ 翟亞普，楊彥東，董罡，等.3-（P）SUamp;S并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)分析與優(yōu)化設(shè)計［J］.機械設(shè)計，2017，34（8）：19-25.

［5］ Zhang Xuchong， Xianmin. A comparative study of planar 3-RRR and 4-RRR mechanisms with joint clearances［J］. Robotics amp; Computer Integrated Manufacturing An International Journal of Manufacturing amp; Product amp; Process Development， 2016，40：24-33.

［6］ 陸正杰，郝亮亮. 4-RRR冗余并聯(lián)機構(gòu)工作空間的" SimMechanics求解［J］. 機床與液壓， 2017（9）： 34-37+61.

［7］ 張浩強. 4-RRR冗余并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)分析［J］. 機床與液壓， 2017， 45（433）：161-164.

［8］" Wu J， Wang J， Wang L， et al. Performance comparison of three planar 3-DOF parallel manipulators with 4-RRR， 3-RRR and 2-RRR structures［J］. Mechatronics， 2010， 20（4）：510-517.

［9］ 劉大煒， 王立平.基于工作空間的4RRR冗余并聯(lián)機構(gòu)支鏈優(yōu)化［J］. 清華大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2010（8）：1239-1242.

［10］ 高名旺， 張憲民. 4-RRR冗余并聯(lián)機器人驅(qū)動力優(yōu)化［J］. 農(nóng)業(yè)機械學(xué)報， 2014（1）：301-305.

［11］ 虞馥澤，潘大志.改進螢火蟲算法求解多機器人路徑規(guī)劃［J］.計算機應(yīng)用研究，2023，40（3）：800-80.

［12］ 余亮，陳麗彬，譚玉良，等.基于解耦型SCARA機器人的藥型罩壓裝自動化設(shè)計［J］.廊坊師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2023， 23（3）：5-9.

［13］ 余亮，韓芳，王鵬，等.局部閉鏈碼垛機器人運動學(xué)分析及運動控制系統(tǒng)設(shè)計［J］.廊坊師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2020， 20（2）：46-49+54.

［14］ 李宏偉. 4自由度3T1R并聯(lián)機構(gòu)工作空間與轉(zhuǎn)動能力分析［J］. 機械設(shè)計與研究， 2020， 36（5）：85-90.

［15］ 倪昂修， 張宇飛， 陳海昕. NSGA-II算法的改進及其在多段翼型縫道參數(shù)優(yōu)化中的應(yīng)用［J］. 空氣動力學(xué)學(xué)報， 2014， 32（2）：252-257.

責任編輯" "曹秀利

［基金項目］" "蘇州市科教創(chuàng)新區(qū)優(yōu)質(zhì)創(chuàng)新平臺“智能感知與計算優(yōu)質(zhì)創(chuàng)新平臺”（YZCXPT2023103）；中國陶行知研究會2023年度“十四五”規(guī)劃“職業(yè)教育”專項課題（ztzj202330028）

［作者簡介］" "王迅（1985- ），女，碩士，江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院蘇州工業(yè)園區(qū)分院高級講師，研究方向：智能制造技術(shù)。