摘要：文章主要研究求解歐氏空間中逆擬變分不等式問題的一種時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。首先，在余強(qiáng)制和Lipschitz連續(xù)性的條件下，利用不動(dòng)點(diǎn)原理得到逆擬變分不等式問題解的存在性和唯一性。進(jìn)一步考慮求解逆擬變分不等式問題的一種時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并且在強(qiáng)單調(diào)和Lipschitz連續(xù)性的條件下證明該時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：余強(qiáng)制；Lipschitz連續(xù)性；強(qiáng)單調(diào)；逆擬變分不等式；時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；全局指數(shù)穩(wěn)定

中圖分類號(hào)：O221文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1673-5072（2025）01-0036-06

Time-delay Neural Networksfor Solving Inverse Quasi-variational Inequalities

Abstract：In this paper，a delay neural network for solving inverse quasi-variational inequalities in Euclidean space was studied.Firstly，under the conditions of cocoercion and Lipschitz continuity，we obtained the existence and uniqueness of the solution of the inverse quasi-variational inequality problem by using the fixed point principle.Furthermore，we considered a delayed neural network for solving the inverse quasi-variational inequality problem，and proved the global exponential stability of the delayed neural network under the conditions of strongly monotone and Lipschitz continuity.

Keywords：cocoercion；Lipschitz continuity；strongly monotone；inverse quasi-variational inequality；time-delay neural network；global exponential stability

變分不等式在經(jīng)濟(jì)、交通、優(yōu)化、運(yùn)籌學(xué)和工程科學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，逆擬變分不等式（IQVI）是一類重要的變分不等式。2004年，Xia和Wang［1］ 提出了一種求解變分不等式的通用投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并研究其全局指數(shù)穩(wěn)定性。2012年，Noor ［2］使用投影算子技術(shù)建立了一般擬變分不等式與不動(dòng)點(diǎn)問題和維納-霍普夫方程之間的等價(jià)性。2020年，張從軍等［3］研究了Hilbert空間中逆擬變分不等式問題，利用不動(dòng)點(diǎn)原理得到逆擬變分不等式問題解的存在性和唯一性，利用投影技巧給出求解逆擬變分不等式的迭代算法以及誤差界。2022年，常浩等［4］借助不動(dòng)點(diǎn)理論，給出擬均衡問題解存在唯一的充分條件并考慮了一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)方法來求解擬均衡問題。2023年，Dey 和Reich ［5］研究了一類擬變分不等式逆問題解的存在唯一性，考慮了相關(guān)的動(dòng)力系統(tǒng)，并建立了該系統(tǒng)解的存在唯一性。

近年來，應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解變分不等式問題已經(jīng)取得很好的成果，但是在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)電路實(shí)現(xiàn)中，時(shí)滯往往是不可避免的，時(shí)滯的存在會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定，但也可以改變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，因而可以利用時(shí)滯來改善網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)行為，研究時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解優(yōu)化問題更具有實(shí)際價(jià)值［6-10］。2007年，畢紅梅和王婧［9］考慮了一類新的非線性變分不等式，提出了求解的一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，證明了該網(wǎng)絡(luò)是Lyapunov穩(wěn)定的。2014年，黃博南［10］提出一類用于求解非線性逆變分不等式問題的時(shí)滯投影神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，根據(jù)泛函微分方程理論給出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)平衡點(diǎn)的存在性和唯一性證明，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論并利用線性矩陣不等式技術(shù)和自由矩陣技術(shù)得到了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是全局指數(shù)穩(wěn)定的。

本文首先提出逆擬變分不等式在余強(qiáng)制和Lipschitz連續(xù)性的前提下，通過不動(dòng)點(diǎn)原理證明了該問題解的存在性和唯一性。同時(shí)，考慮求解該問題的一種時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，利用線性矩陣不等式技術(shù)和自由矩陣技術(shù)，在強(qiáng)單調(diào)和Lipschitz連續(xù)性的條件下證明該時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性。

1預(yù)備知識(shí)和基本概念

2解的存在性和唯一性

3時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

下面提出一種求解逆擬變分不等式的時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

在文獻(xiàn)［13］中也給出了類似的時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局指數(shù)穩(wěn)定性的定義。

由定義5可以看出，x*∈Rn是IQVI（F，g，K）問題的解，當(dāng)且僅當(dāng)x*是系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)。

在系統(tǒng)（3）中，當(dāng)F（x）=x且K（x）≡K，K是Rn中的非空閉凸子集，則可以退化為文獻(xiàn)［10］提出的求解逆變分不等式的時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，如下

則系統(tǒng)（3）的平衡點(diǎn)是全局指數(shù)穩(wěn)定的，且

令（5）式為N，則上式中c=λmin（－N），b=λmin（P）。

證明考慮如下Lyapunov泛函

對(duì)以上式子進(jìn)行整理可得

從而，對(duì)任意的正定對(duì)角矩陣D，都有如下不等式成立

2（G（x）－G（x*））TD（G（x）－G（x*））2［γ2+L2+α2β2+2（γL+γαβ－αη）］（x－x*）TD（x－x*）。（7）

又因?yàn)椤琯（x）－g（x*）‖L‖x－x*‖，所以對(duì)任意正定對(duì)角矩陣H，都有如下不等式成立

（g（x）－g（x*））TH（g（x）－g（x*））L2（x－x*）TH（x－x*）。（8）

將式（7）和（8）代入式（6）中可得

其中c=λmin（－N）gt;0。

注釋3當(dāng)F（x）=x且K（x）≡K時(shí)，定理3退化為文獻(xiàn)［10］中的結(jié)果，如下。

設(shè)g是L-Lipschitz連續(xù)的，若存在正定對(duì)稱矩陣P，Q∈Rn×n，正定對(duì)角矩陣D，H∈Rn×n和正常數(shù)α，使如下的線性矩陣不等式成立

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