過圓錐曲線左（或右）焦點的直線與曲線交于兩點（異于頂點），坐標(biāo)軸x軸（或y軸）上存在一個定點使得與這兩點連線的斜率互為相反數(shù).定點問題一直是圓錐曲線試題命題的熱點問題之一，此類問題內(nèi)涵豐富，具有一定的研究價值.本文以2023屆貴州省貴陽市高三上學(xué)期高考適應(yīng)性月考（三）中的圓錐曲線試題為例，探究問題的本質(zhì)，從而得到幾個一般性的結(jié)論.

一、試題呈現(xiàn)

題目" （2023屆貴州省貴陽市高三上學(xué)期高考適應(yīng)性月考（三）第20題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），短軸長為23，過橢圓C的右焦點F2且垂直于x軸的直線被截得的弦長為3.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點F2的直線l與橢圓C交于D，E兩點，則在x軸上是否存在一個定點M，使得直線MD，ME的斜率互為相反數(shù)？若存在，求出定點M的坐標(biāo)；若不存在，也請說明理由.

解析" （1）根據(jù)題意得2b=23，

2b2a=3， 解得a2=4，

b2=3， 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1.

（2）由（1）可知F2（1，0），當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x－1），

聯(lián)立y=k（x－1），

x24+y23=1， 得（4k2+3）x2－8k2x+4k2－12=0.設(shè)E（x1，y1），D（x2，y2），則x1+x2=8k24k2+3，x1x2=4k2－124k2+3.設(shè)M（m，0），則kMD=y2x2－m，kME=y1x1－m.

又因為直線MD，ME的斜率互為相反數(shù)，

所以kME+kMD=y1x1－m+y2x2－m=x2y1+x1y2－m（y1+y2）（x1－m）（x2－m）=0，所以x2y1+x1y2－m（y1+y2）=x2k（x1－1）+x1k（x2－1）－m［k（x1－1）+k（x2－1）］=0，所以2kx1x2－k（x1+x2）－m［k（x1+x2）－2k］=2k·4k2－124k2+3－k·8k24k2+3－m（k·8k24k2+3－2k）=0，整理得k（m－4）=0.若k（m－4）=0對于任意k∈R恒成立，則m=4；當(dāng)直線l的斜率k不存在時，若m=4，則M（4，0）滿足直線MD，ME的斜率互為相反數(shù).

綜上所述，在x軸上存在一個定點M（4，0），使得直線MD，ME的斜率互為相反數(shù).

評注" 通過對解題過程的分析，我們知道圓錐曲線中很多的試題都可以進(jìn)行不同程度的一般性探究與推廣，尤其是涉及到斜率之和為定值的問題.此題難度適中，試題第（2）問中是定點問題的一種特殊的情況，為此，下面探究一般情形下是否也有相關(guān)結(jié)論成立.

二、結(jié)論推廣

結(jié)論1"" 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），過橢圓C的左（或右）焦點F1（－c，0）（或F2（c，0））的直線l與橢圓交于A，B兩點，在x軸上存在定點M（－a2c，0）（或M（a2c，0）），使得直線AM，BM的斜率互為相反數(shù).

證明" （以直線l過橢圓的右焦點為例）根據(jù)題意得F2（c，0），當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x－c），聯(lián)立y=k（x－c），

x2a2+y2b2=1， 得（b2+a2k2）x2－2ca2k2x+a2k2c2－a2b2=0設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=2ca2k2b2+a2k2，x1x2=a2k2c2－a2b2b2+a2k2.設(shè)M（m，0），則kMA=y1x1－m，kMB=y2x2－m，又因為直線AM，BM的斜率互為相反數(shù)，同上述解析過程得kMA+kMB=y1x1－m+y2x2－m=y1x2+y2x1－m（y1+y2）（x1－m）（x2－m）=0，所以y1x2+y2x1－m（y1+y2）=0，即k（x1－c）x2+k（x2－c）x1－m［k（x1－c）+k（x2－c）〗=0，所以2kx1x2－k（m+c）（x1+x2）+2kmc=0，所以2k·a2k2c2－a2b2b2+a2k2－k（m+c）·2ca2k2b2+a2k2+2kmc=0，整理得k（mc－a2）=0，若k（mc－a2）=0對任意k∈R成立，則m=a2c；當(dāng)直線l的斜率k不存在時，若m=a2c，則M（a2c，0）滿足直線AM，BM的斜率互為相反數(shù).

綜上，當(dāng)直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點F2（c，0）時，在x軸上存在定點M（a2c，0），使得直線AM，BM的斜率互為相反數(shù).

評注" 試題正是結(jié)論1中的過右焦點情形，將c=1，a2=4代入到結(jié)論1中可以加以佐證結(jié)論的正確性，同時當(dāng)直線l經(jīng)過橢圓C的左焦點F1（－c，0）時，將結(jié)論1中的c換為－c，左焦點情形即可得證.以上結(jié)論是存在定點在x軸上，使得直線AM，BM的斜率互為相反數(shù)，思考這樣一個問題，在y軸上是否存在定點M，使得線AM，BM的斜率互為相反數(shù)？

結(jié)論2"" 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），過橢圓C的左（或右）焦點F1（－c，0）（或F2（c，0））且斜率為k的直線l與橢圓交于A，B兩點，在y軸上存在定點M（0，b2ck）（或M（0，－b2ck））（k≠0），使得直線AM，BM的斜率互為相反數(shù).

證明" （以直線l過橢圓的右焦點為例）由于x1+x2=2ca2k2b2+a2k2，x1x2=a2k2c2－a2b2b2+a2k2，證明過程同結(jié)論1.設(shè)M（0，m），則kMA=y1－mx1，kMB=y2－mx2，又因為直線AM，BM的斜率互為相反數(shù)，所以kMA+kMB=y1－mx1+y2－mx2=x2（y1－m）+x1（y2－m）x1x2=0，所以x2（y1－m）+x1（y2－m）=0，即x2［k（x1－c）－m］+x1［k（x2－c）－m］=0，所以2kx1x2－（kc+m）（x1+x2）=0，所以2k·a2k2c2－a2b2b2+a2k2－（kc+m）·2ca2k2b2+a2k2=0，得b2=－kcm，所以當(dāng)k≠0時，m=－b2ck；當(dāng)直線l的斜率k不存在時，若m=－b2ck（k≠0），則M（0，－b2ck）滿足直線AM，BM的斜率互為相反數(shù).

綜上，當(dāng)直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點F2（c，0）時，在y軸上存在定點M（0，b2ck），使得直線AM，BM的斜率互為相反數(shù).

評注" 當(dāng)直線l經(jīng)過橢圓C的左焦點F1（－c，0）時，將結(jié)論1中的c換為－c，左焦點情形即可得證.以上結(jié)論都是基于橢圓模型，那么，在雙曲線和拋物線中是否也有類似的結(jié)論？下面繼續(xù)探究.

結(jié)論3" 已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0），過雙曲線C的左（或右）焦點F1（－c，0）（或F2（c，0））的直線l與雙曲線交于A，B兩點，在x軸上存在定點M（－a2c，0）（或M（a2c，0）），使得直線AM，BM的斜率互為相反數(shù).

結(jié)論4" 已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0），過雙曲線C的左（或右）焦點F1（－c，0）（或F2（c，0））且斜率為k的直線l與雙曲線交于A，B兩點，在y軸上存在定點M（0，－b2kc）（或M（0，b2kc））（k≠0），使得直線AM，BM的斜率互為相反數(shù).

評注" 結(jié)論3和結(jié)論4的證明思路與結(jié)論1和結(jié)論2的證明思路完全一致，通過觀察上述結(jié)論可以發(fā)現(xiàn)，橢圓和雙曲線模型的結(jié)論具有統(tǒng)一性.

結(jié)論5"" 已知拋物線C：y2=2px（p≠0），過拋物線的左（或右）焦點F1（－p2，0）（或F2（p2，0））的直線l與拋物線交于A，B兩點，在x軸上存在定點M（p2，0）（或M（－p2，0）），使得直線AM，BM的斜率互為相反數(shù).

結(jié)論6"" 已知拋物線C：y2=2px（p≠0），過拋物線的左（或右）焦點F1（－p2，0）（或F2（p2，0））且斜率為k的直線l與拋物線交于A，B兩點，在y軸上存在定點M（0，pk2+k2）（或M（0，－pk2+k2）），使得直線AM，BM的斜率互為相反數(shù).

以上所有結(jié)論中圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的方程都是焦點在x軸上的情形，那么當(dāng)焦點在y軸上的情形，也有類似的結(jié)論成立，大家不妨類比探究.另外，基于以上結(jié)論的探究，我們自己可以編制一些相關(guān)的題目.

三、題目編制

題目1" 已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）過點（4，0），離心率為54，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點F2且斜率為－2的直線l與雙曲線C交于A，B兩點，則在y軸上是否存在一個定點M，使得直線AM，BM的斜率互為相反數(shù)？若存在，求出定點M的坐標(biāo)；若不存在，也請說明理由.

題目2" 已知拋物線C：y2=2px（pgt;0），其焦點為F，拋物線線上任一點P到點F的距離等于到直線x=－1的距離.

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，則在x軸上是否存在一個定點M，使得直線AM，BM的斜率互為相反數(shù)？若存在，求出定點M的坐標(biāo)；若不存在，也請說明理由.

評注" 這兩道試題的命題思路分別是直線過雙曲線和拋物線的右焦點，求定點在y軸和x軸上的情形，求解思路與前面結(jié)論的證明探究相同.

參考文獻(xiàn)

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