2022年12月由華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院和湖北大學(xué)《中學(xué)數(shù)學(xué)》雜志主辦，上海市普陀區(qū)新素養(yǎng)教育服務(wù)中心承辦的“高中數(shù)學(xué)命題比賽”中，筆者有幸參賽并獲得特等獎(jiǎng)，現(xiàn)將整個(gè)試題的命制過(guò)程展現(xiàn)如下，以供大家參考.

原創(chuàng)題 如圖1，熱電廠的冷卻塔采用單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的形狀，它是由雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，這種旋轉(zhuǎn)曲面形狀冷卻塔中間窄底部拓寬，空氣流速加快，且通過(guò)計(jì)算得出這種雙曲線的切線方向線速度最大，可以達(dá)到最大自然通風(fēng)量，保證冷卻效果.

已知某冷卻塔雙曲線E：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）的焦距為6，其一條漸近線方程為5x－2y=0.

（1）求雙曲線E的方程；

（2）過(guò)雙曲線E的左頂點(diǎn)P作圓心為（0，2）的動(dòng)圓M的兩條切線，分別交雙曲線于B，C兩點(diǎn)，試判斷直線BC是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由.

1 編寫(xiě)過(guò)程

第一稿：已知雙曲線E：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）的焦距為6，其一條漸近線方程為2x－5y=0.

（1）求雙曲線E的方程；

（2）過(guò)雙曲線E的左頂點(diǎn)P作圓心為（0，2）的動(dòng)圓M的兩條切線，分別交雙曲線于B，C兩點(diǎn)，證明：直線BC過(guò)定點(diǎn).

說(shuō)明：命題的初衷是直奔主題求直線BC所過(guò)的定點(diǎn)，免去對(duì)直線斜率不存在或?yàn)榱愕忍厥馇闆r的討論，解題過(guò)程中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題——①得到關(guān)于切線斜率k的方程（5－r2）k2－45k+4－r2=0（r為圓半徑），k1k2無(wú)定值；②通過(guò)GeoGebra演示可發(fā)現(xiàn)，即使k1k2的值不確定，依然有定點(diǎn)，但定點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，這加大了求定點(diǎn)時(shí)化簡(jiǎn)計(jì)算的難度；③為適當(dāng)降低計(jì)算難度，通過(guò)命題小組討論將漸近線方程改為5x－2y=0，則k1k2有定值且定點(diǎn)在x軸上，此時(shí)通過(guò)雙參化單參，為計(jì)算提供一定便利，從而得到第二稿試題.

第二稿：將已知條件“其一條漸近線方程為2x－5y=0”改為“其一條漸近線方程為5x－2y=0”.

說(shuō)明：運(yùn)算能力一直是很多學(xué)生的“短板”，將漸近線方程由2x－5y=0改為5x－2y=0后，通過(guò)對(duì)切線特殊位置的討論可猜測(cè)定點(diǎn)的大致位置，這樣可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“先猜后證”簡(jiǎn)化運(yùn)算量，破解解析幾何運(yùn)算難的問(wèn)題.圓錐曲線試題不但要重視計(jì)算經(jīng)驗(yàn)的積累，也要注重提升學(xué)生的發(fā)散思維能力.將第（2）問(wèn)證明題改為了存在性的探究題，給答案設(shè)置了不確定性，體現(xiàn)試題的開(kāi)放性與探索性，從而得到第三稿試題.

第三稿：已知條件不變，第（2）問(wèn)中“證明：直線BC過(guò)定點(diǎn)”改為“試判斷直線BC是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由”.

說(shuō)明：為了體現(xiàn)“無(wú)情境，不成題”的高考命題思想，以及促進(jìn)學(xué)生了解雙曲線的實(shí)際應(yīng)用背景和雙曲線在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用價(jià)值，在第三稿中添加了與雙曲線緊密相關(guān)的冷卻塔的知識(shí)，從而定稿.

2 試題立意

平面解析幾何課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容要求“了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用；了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及它的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題”;學(xué)業(yè)要求“能夠根據(jù)不同的情境，建立平面直線與圓的方程，建立雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，能夠運(yùn)用代數(shù)的方法研究上述曲線之間的基本關(guān)系，能夠運(yùn)用平面解析幾何的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題”.

本題遵照“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”的命題要求，以“三線（核心價(jià)值金線、能力素養(yǎng)銀線、情境載體串聯(lián)線）”為框架，理解“無(wú)價(jià)值，不入題”“無(wú)思維，不命題”“無(wú)情境，不成題”的命題思想.結(jié)合經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展成就、科學(xué)技術(shù)進(jìn)步、生產(chǎn)生活實(shí)際創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

3 試題分析及思維導(dǎo)圖

本題以冷卻塔為情境、雙曲線方程為載體，考查直線、圓與雙曲線三者的位置關(guān)系問(wèn)題.第一問(wèn)通過(guò)信息符號(hào)轉(zhuǎn)化，用待定系數(shù)法求雙曲線方程；第二問(wèn)設(shè)置動(dòng)直線與動(dòng)圓相切的問(wèn)題情境，利用圓心與直線距離公式研究切線PB，PC的斜率關(guān)系，這也是本題的創(chuàng)新之處，于動(dòng)態(tài)變化中探究不變性，通過(guò)參數(shù)的變化求定點(diǎn)坐標(biāo).

本題第（2）問(wèn)的一種方法的思維導(dǎo)圖如圖2所示.

4 試題解析

對(duì)于第（1）問(wèn)，易得雙曲線E：x24－y25=1.

對(duì)于第（2）問(wèn)，分兩種情況.

（?。┊?dāng)動(dòng)圓M的半徑為2時(shí)，切線PB，PC的斜率一個(gè)為0，一個(gè)不存在，可知直線BC過(guò)定點(diǎn)29，0.

（ⅱ）當(dāng)切線PB，PC斜率都存在時(shí)，如圖3，設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線l的方程為y=k（x+2）.

因?yàn)橹本€l與圓相切，設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r（rlt;2），所以

圓心M（0，2）到直線l的距離為|－2+2k|k2+1=r.

化簡(jiǎn)，得（4-r2）k2-8k+4-r2=0.

可知切線PB，PC的斜率k1，k2是上述方程的兩根，得k1k2=1.下面有三種處理方法：

法一：特殊到一般的方法，即根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線的特殊情況探索出定點(diǎn)，也就是先猜后證思想，比如定點(diǎn)常在坐標(biāo)軸上，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān).

設(shè)直線PB：y=k1（x+2），B（x1，y1），C（x2，y2）.

聯(lián)立y=k1（x+2），x24－y25=1，得

（5－4k21）x2－16k21x－16k21－20=0，

有（－2）·x1=16k21+204k21－5，則B8k21+105-4k21，20k15-4k21.

由k2=1k1，同理可得C10k21+85k21-4，20k15k21-4.

故kBC=y2－y1x2－x1=－180k31+180k1－80k41+80=9k14（k21+1）.

所以，直線BC的方程為

y－20k15－4k21=9k14（k21+1）x－8k21+105－4k21.①

根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，若定點(diǎn)存在則一定在x軸上，不妨設(shè)為（x0，0）.

將點(diǎn)（x0，0）代入方程①，整理得8k21－36k21x0+45x0－10=0，

即（8－36x0）k21+45x0－10=0，此式子與k1無(wú)關(guān)，則

8－36x0=0，45x0－10=0.

解得x0=29.

綜上所述，可知直線BC過(guò)定點(diǎn)29，0.

法二：參數(shù)法，即引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)直線中的參數(shù)，其中核心變量是k，b，利用條件找到k，b的關(guān)系式，消去參數(shù)，得到直線的定點(diǎn).

設(shè)直線BC：y=mx+n（m≠0）.

聯(lián)立y=mx+n，x24－y25=1，得

（5－4m2）x2－8mnx－4n2－20=0.

Δ=64m2n2+4（5－4m2）（4n2+20）=80（n2－4m2+5）gt;0.②

設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），則

x1+x2=8mn5－4m2，x1x2=4n2+204m2－5.

③

由直線PB，PC斜率之積為1，即y1x1+2·y2x2+2=1，得

（mx1+n）（mx2+n）=x1x2+2（x1+x2）+4.

化簡(jiǎn)，得

（m2－1）x1x2+（mn－2）（x1+x2）+n2－4=0.

結(jié)合③式，得

（m2－1）4n2+204m2－5+（mn－2）8mn5－4m2+n2－4=0.

化簡(jiǎn)，得4m2+16mn－9n2=0，解得n=－29m或n=2m.

當(dāng)n=－29m時(shí)，直線BC：y=mx－29，過(guò)定點(diǎn)29，0.

將n=－29m代入②式，解得－98lt;mlt;98（m≠0）.

當(dāng)n=2m時(shí)，直線BC的方程為y=m（x+2），定點(diǎn)（－2，0）與點(diǎn)P重合，不符合題意.

綜上所述，直線BC過(guò)定點(diǎn)29，0.

法三：齊次化法，即通過(guò)平移圖形或坐標(biāo)系，使得兩條直線的斜率是關(guān)于k的一個(gè)齊次方程的兩根，根據(jù)韋達(dá)定理得到斜率之和、斜率之積，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算.

由坐標(biāo)平移變換X=x+2，Y=y，可得x=X－2，y=Y，代入雙曲線方程得5（X－2）2－4Y2=20.

整理，得4Y2－5X2+20X=0.

設(shè)新坐標(biāo)系下直線BC的方程為mX+nY=1.

進(jìn)行齊次化，聯(lián)立得4Y2－5X2+20X（mX+nY）=0.

變形，得4Y2+20nXY+（20m－5）X2=0.

因?yàn)槠揭谱鴺?biāo)后直線PB，PC的斜率不發(fā)生變化，即k=YX=yx+2，則

4k2+20nk+（20m－5）=0.

所以k1k2=20m－54=1，解得m=920，代入方程mX+nY=1，可得920X－1+Yn=0.

所以直線BC在新坐標(biāo)下恒過(guò)定點(diǎn)209，0，

則原坐標(biāo)系下直線BC恒過(guò)29，0.

綜上所述，直線BC過(guò)定點(diǎn)29，0.

5 試題實(shí)測(cè)

本試題中等難度，實(shí)測(cè)人數(shù)40人，測(cè)試時(shí)間15分鐘，試題分值12分，平均得分5.975分，若以9分作為高分，高分率為0.05，分值分布如圖4所示.

主要錯(cuò)因分析如下：

（Ⅰ）轉(zhuǎn)化能力不足

在第（2）問(wèn)中，由直線與圓相切，即圓心到直線的距離等于半徑，轉(zhuǎn)化得到兩切線斜率之積為定值1，這是本題的關(guān)鍵突破點(diǎn).

（Ⅱ）思維方向不明

在第（2）問(wèn)中，探究直線過(guò)定點(diǎn)的基本思想是確定直線方程，即使用一個(gè)參數(shù)表示直線方程，根據(jù)方程的成立與參數(shù)值無(wú)關(guān)得出關(guān)于x，y的方程組，以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是直線所過(guò)的定點(diǎn)，核心方程是指已知條件中的等量關(guān)系.而部分學(xué)生無(wú)法用一個(gè)參數(shù)表示直線方程，導(dǎo)致解答過(guò)程無(wú)法繼續(xù).

（Ⅲ）運(yùn)算能力欠缺

關(guān)于純字母的代數(shù)運(yùn)算，學(xué)生會(huì)被復(fù)雜的形式嚇到而猶豫不決，半途而廢肯定是不會(huì)成功的，因此，平時(shí)的練習(xí)中一定要將每道題做到底，適量復(fù)雜的運(yùn)算，在解析幾何中是難免的，只有多練、勤練才能提高運(yùn)算能力.

6 參賽體會(huì)

通過(guò)這次參賽試題的命制過(guò)程，筆者進(jìn)一步理解了高考的基本功能是為不同類型的高校選拔出符合要求的新生，這就決定了高考的內(nèi)容選取和價(jià)值導(dǎo)向必須與高校新生知識(shí)和素養(yǎng)構(gòu)成的要求高度一致；平時(shí)在命制試題時(shí)要貼合高考命題的宗旨，合理選取情境型材料，以綜合性考查要求的落實(shí)為參照；命題要能全面考查學(xué)生的關(guān)鍵能力，突出考查數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).因此，教學(xué)中要注意歸納相似問(wèn)題的解決思路和解題策略：設(shè)—聯(lián)—列—解；存在性問(wèn)題的解題策略：假設(shè)—推理與計(jì)算—矛盾.