作為歷屆高考中主干知識點之一的解析幾何試題，經(jīng)常出現(xiàn)在各種題型中的壓軸題位置，知識綜合性強，數(shù)學(xué)運算量大.因而，合理優(yōu)化數(shù)學(xué)運算，全面簡化解題過程，成為解答解析幾何問題的一個重要目標.在實際解答解析幾何問題時，合理掌握一些優(yōu)化運算的策略，可提升解題效益，達到事半功倍的效果.

1 回歸定義，以逸待勞

例1 （2023年江蘇省南京市高考數(shù)學(xué)二模試卷）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），F(xiàn)為其左焦點，直線y=kx（k＞0）與橢圓C交于點A，B，且AF⊥AB.若∠ABF=30°，則橢圓C的離心率為（" ）.

A.73

B.63

C.76

D.66

解析：如圖1所示，設(shè)橢圓的右焦點為F2，連接AF2，BF2，則四邊形AFBF2為平行四邊形.設(shè)|AF|=m.由于AF⊥AB，

∠ABF=30°，則|FB|=2m，|BF2|=|AF|=m.

結(jié)合橢圓的定義，有|BF|+|BF2|=2m+m=2a，所以m=23a.

在△BFF2中，（2c）2=43a2+23a2－2×43a×23a×cos 120°，整理得4c2=289a2，解得c=73a，所以e=ca=73.故選擇答案：A.

點評：熟練理解并掌握圓錐曲線的定義是解決一些相關(guān)解析幾何問題的基礎(chǔ).挖掘內(nèi)涵，回歸定義，直接揭示問題的本質(zhì)屬性，利用定義，構(gòu)建曲線與方程、代數(shù)式與參數(shù)等之間的關(guān)系，為深入分析與解決解析幾何問題奠定條件，化繁為簡，直達目的.

2 動靜結(jié)合，特殊思維

例2 （湖北省部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期8月起點考試數(shù)學(xué)試題）已知直線l與雙曲線C：x2a2－y2b2=1（agt;0，bgt;0）相切于點P，且l與C的兩條漸近線l1，l2分別交于M（x1，y1），N（x2，y2）兩點，則x1x2+y1y2=（用含a，b的式子表示）.

解析：根據(jù)題設(shè)條件，所求代數(shù)式x1x2+y1y2與常數(shù)a，b有關(guān)，利用特殊值法，取特殊點P（a，0），此時對應(yīng)的切線l的方程為x=a.

其與雙曲線C的兩條漸近線l1：y=bax，l2：y=－bax的交點分別為（a，b），（a，－b），則有x1x2=a2，y1y2=－b2，所以x1x2+y1y2=a2－b2.

故填答案：a2－b2.

點評：特殊值思維的策略，是解決此類與“動點”有關(guān)的“定值”問題時，追求簡捷快速處理數(shù)學(xué)客觀題的一種基本思維方式和理想方法，是一種巧技妙法，也是通性通法的升華，但也有其特殊性與缺陷性，不具備普遍性.

3 設(shè)而不求，金蟬脫殼

例3 〔2023年河北省石家莊市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷（一）〕已知雙曲線C：x2a2－y2b2=1（a＞0，b＞0），過原點O的直線交C于A，B兩點（點B在右支上），雙曲線右支上一點P（異于點B）滿足BA·BP=0，直線PA交x軸于點D，若∠ADO=∠AOD，則雙曲線C的離心率為（" ）.

A.2

B.2

C.3

D.3

解析：由題意，設(shè)A（－x0，－y0），B（x0，y0）（x0＞0），P（x1，y1），則x20a2－y02b2=1，x21a2－y12b2=1，兩式相減得x20－x21a2=y02－y12b2，所以（x0+x1）（x0－x1）（y0+y1）（y0－y1）=a2b2.

又kAP=y0+y1x0+x1，kBP=y0－y1x0－x1，所以kAPkBP=b2a2.

因為BA·BP=0，所以BA⊥BP.

于是kAP=tan（π－∠ADO），kBP=tanπ2+∠AOD，所以tan（π－∠ADO）·tanπ2+∠AOD=b2a2，則有－tan ∠ADO·－1tan ∠AOD=b2a2.因為∠ADO=∠AOD，所以b2a2=1，即b2=a2，則c2=b2+a2=2a2，所以離心率e=ca=2.故選擇答案：A.

點評：抓住解析幾何問題的本質(zhì)，合理引入?yún)?shù)，采用“設(shè)而不求”法進行整體代換處理，利用圓錐曲線的定義、向量的基本性質(zhì)、不等式的性質(zhì)、“點差法”及平面幾何知識等來突破，巧妙轉(zhuǎn)化，減少數(shù)學(xué)運算，優(yōu)化解題過程，提升解題效益.

4 數(shù)形結(jié)合，偷梁換柱

例4 〔2024屆廣東省佛山市普通高中教學(xué)質(zhì)量檢測（一）高三數(shù)學(xué)試卷〕設(shè)A，B分別是曲線y=ex與圓（x－1）2+y2=1上的點，則|AB|的最小值為.

解析：易知圓（x－1）2+y2=1的圓心為C（1，0），半徑為1，考慮圓（x－1）2+y2=r2與曲線y=ex相切于點A0（m，em）時的情形，此時兩曲線在點A0處的公切線為l，線段A0C與圓（x－1）2+y2=1交于點B，如圖2所示.

由y=ex，求導(dǎo)可得y′=ex，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知切線l的斜率k=em，由于A0C⊥l，結(jié)合直線的斜率公式可得em×em－0m－1=－1，整理有e2m=1－m.易知m=0是方程e2m=1－m的唯一實數(shù)解，則知A0（0，1），r=2.

結(jié)合圖形直觀可知|AB|的最小值為|A0B|=2－1.故填答案：2－1.

點評：作為數(shù)學(xué)中的重要數(shù)學(xué)思維方式，數(shù)形結(jié)合思維也成為解析幾何中優(yōu)化數(shù)學(xué)運算的重要策略.借助數(shù)形結(jié)合法，將抽象的解析幾何問題直觀化，還原解析幾何中的幾何本質(zhì)，建立平面幾何中點、線、角或曲線等元素之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，直觀形象.

5 和積轉(zhuǎn)換，韋達助算

例5 〔2023年河北省石家莊二中高三（下）月考數(shù)學(xué)試卷〕已知橢圓E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0）（c＞0），點M在E上，MF2⊥F1F2，△MF1F2的周長為6+42，面積為13c.

（1）求橢圓E的方程.

（2）設(shè)E的左、右頂點分別為A，B，過點32，0的直線l與E交于C，D兩點，記直線AC的斜率為k1，直線BD的斜率為k2，判斷是否存在實常數(shù)λ，使得k1=λk2恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由.

解析：（1）依題意，可得2a+2c=6+42，12×2c×b2a=13c，即a+c=3+22，b2a=13.

又a2=b2+c2，所以a2=9，b2=1.

所以，橢圓E的方程為x29+y2=1.

（2）設(shè)直線CD的方程為x=ty+32.由（1）易得A（－3，0），B（3，0）.

由x29+y2=1，x=ty+32，得4（t2+9）y2+12ty－27=0，則Δ=144（4t2+27）＞0.

設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），由韋達定理，可得y1+y2=－3tt2+9，y1y2=－274（t2+9），則ty1y2=94（y1+y2）.

于是有k1k2=y1x1+3·x2－3y2=（x2－3）y1（x1+3）y2=ty2－32y1ty1+92y2=2ty1y2－3y12ty1y2+9y2=2×94（y1+y2）－3y12×94（y1+y2）+9y2=32y1+92y292y1+272y2=32（y1+3y2）92（y1+3y2）=13，故存在實數(shù)λ=13，使得k1=λk2恒成立.

點評：在解決一些涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的解析幾何問題時，借助函數(shù)與方程思想來轉(zhuǎn)化，聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，利用韋達定理來合理助算，可以有效進行對應(yīng)的和積關(guān)系式之間的轉(zhuǎn)化與變形等，巧妙恒等變形，優(yōu)化數(shù)學(xué)運算.