1.當(dāng)A、B距離小于固定半徑的二倍時(shí)，解答出人意料地簡單，只要畫五個(gè)圓就能把所要的等邊三角形第三個(gè)頂點(diǎn)F找出來。

方法如下:如圖，以A、B為圓心作兩圓交于C、C′，取C為圓心作圓分別交前兩圓于四點(diǎn)，取下方的兩點(diǎn)D、E為圓心作圓，所得的不同于C的交點(diǎn)F即為所求。

證明也并不難，設(shè)∠ACB=∠AC′B=θ，則根據(jù)“三角形內(nèi)角和為180°”以及△ADC、△BEC為等邊三角形的事實(shí)可知∠DCE=∠DFE=360°-120°-θ=240°-θ，故∠CDF=180°-(240°-θ)=θ-60°，故∠ADF=∠BEF=θ，因而△C′AB≌△DAF≌△EBF，故AF=BF=AB，證畢。

年逾七旬的匹多教授對(duì)圖一的性質(zhì)大為驚訝，這個(gè)圖是匹多的一個(gè)學(xué)生沒怎么動(dòng)腦筋就畫了出來的，畫出來之后，他發(fā)現(xiàn)△ABF是正三角形，但不知道為什么，匹多教授花了幾個(gè)小時(shí)，才找到了證明的方法，但是用的是坐標(biāo)法，不是上面的簡單證法。

匹多教授驚奇的是:在長達(dá)兩千多年的幾何學(xué)的發(fā)展史上，居然還沒有人發(fā)現(xiàn)過這樣一個(gè)精采的作圖!

如果A、B離得很遠(yuǎn)，以A、B為圓心作的兩個(gè)圓不相交，能不能完成這個(gè)作圖呢?匹多把這個(gè)問題在加拿大的一個(gè)刊物《Crux》(《難題》)上提了出來，相當(dāng)長時(shí)間找不到答案，不少人認(rèn)為這是不可能作出的。最后，出乎匹多的意料之外，中國科技大學(xué)的三位數(shù)學(xué)工作者找到了這一難題的兩種解法，這兩種解法由我國訪美學(xué)者常庚哲副教授寫信告訴了匹多，匹多十分贊賞，在最近一篇題為《數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)》的文章中說，這件事是他非常滿意的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，他還親自撰文給《Crux》雜志，介紹中國學(xué)者關(guān)于這一問題的解法。

匹多還提出另一個(gè)問題:能否用生銹圓規(guī)作出AB的中點(diǎn)?這個(gè)問題至今尚未解決。

2.有不少同學(xué)用列方程的方法解這個(gè)題，但有一個(gè)十分簡單的解法，由于重砝碼下降和輕砝碼上升的速度相同，加速度也相同，故此問題相當(dāng)于問，一公斤的力能使5公斤的質(zhì)量產(chǎn)生多大的加速度?根據(jù)牛頓第二定律F=ma，可知所求加速度是g，此處g是重力加速度，g=980厘米/秒2。

3.沒有恢復(fù)原價(jià)。設(shè)甲商品原價(jià)100元，減價(jià)10%，變成90元，又提10%，成了99元。比原價(jià)低。

如果先提價(jià)10%，再減10%呢?100元提10%，變化110元，減10%，即減11元，仍是99元。

因?yàn)闇p價(jià)10%是原價(jià)乘以0.9，提價(jià)10%是原價(jià)乘以1.1，而0.9×1.1=0.99<1。

這個(gè)道理對(duì)研究生物的增長率很有關(guān)系。如果自然界的某種生物，死亡率和出生率相同，這種生物必然會(huì)越來越少，直至滅絕，要保持生物數(shù)量不變，出生率要略大于死亡率。

4.不可能使桌面上的四個(gè)瓶蓋兩兩等距。如圖一，若A、B、C三者距離相等，D又和A、B三者距離相等，那末，D的位置只有兩種可能:或者和C重合，或者位于和C(關(guān)于AB)對(duì)稱的位置，這時(shí)D到C的距離比到A、B的距離要遠(yuǎn)。

一般說來，平面上任意四點(diǎn)A、B、C、D之間，可以連6條線段，這6條線段中最長的和最短的長度之比，至少是，如果你學(xué)過平面幾何，就不難證明這個(gè)規(guī)律。

(2)可以，方法如圖二。A、B、C三個(gè)瓶子，瓶口向上，瓶底中心在一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上。而第四個(gè)瓶子D則倒立在這個(gè)正三角形的中心。

關(guān)鍵是這個(gè)正三角形的邊長有多大?

以A′、B′、C′記A、B、C三瓶瓶底中心，A、B、C、D記瓶口中心，設(shè)瓶高為h，△A′B′C′的邊長為x，則A′D是△A′B′C′的高線的2/3，即