王良駿　戴靜君

江蘇省錫山高級中學 (214174)

學生在數(shù)學學習過程中犯一些錯誤是正常不過的事，學生出錯后，老師往往能分析學生的錯誤原因，幫助學生走出困境，在這方面的文章也屢見于報刊雜志.但不可否認的是，學生的一些錯誤與老師有關，與老師的課堂教學有關.本文擬就筆者平時觀察的一些案例作一點簡單的分析.

一、對數(shù)學知識的正確認識是一個數(shù)學教師的基本功，但有時在不經(jīng)意間，我們還是會犯一些不該犯的錯誤

問題1 對于命題P：若一個四邊形為菱形，則這個四邊形為正方形，寫出它的否定形式.

錯解1：若一個四邊形為菱形，則這個四邊形不是正方形.

分析：命題P及其否定應是一真一假，而本例中，命題及其否定均為假命題.

教學反思：錯誤根源在于教師教學中把對命題進行否定歸納為：保留命題的條件，否定命題的結論.

錯誤剖析：這是老師的一種錯誤認識，事實上，關于命題的非P形式問題中的P并不限定為一個復合命題，自然也就談不上P中的條件或結論.基于命題是一種判斷，對命題P的否定應該理解為對判斷的否定，或者可以表達為對命題意義的否定.

正解：原命題是一個全稱命題，可敘述為：菱形都是正方形，所以，非P形式應該為：存在不是正方形的菱形.

錯解2：菱形不一定是正方形.

錯因：命題是對事物的判斷，“不一定”并沒有作出判斷.

二、對數(shù)學知識的教學只從一個角度往往不能讓學生有全面的認識，“橫看成嶺側成峰”，只有多角度地比較才能達到教學的目標

問題2 等腰Rt△ABC中，在∠ACB內(nèi)部任作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM

錯解：記“AM

錯因分析：老師的例題講解不夠全面.

在蘇教版必修3的P102有例3：等腰Rt△ABC中，在斜邊AB上任取一點M，求AM小于AC的概率.本例中，“由于點M橢機地落在線段AB上，故可以認為點M落在線段AB上任一點是等可能的，可將線段AB看做區(qū)域D”.而問題2中，應該是“由于射線CM隨機地落在∠ACB內(nèi)部，故可以認為射線CM落在∠ACB內(nèi)部任一位置是等可能的，可將∠ACB內(nèi)部的扇形看做區(qū)域D”.

可通過幾何畫板給出兩種不同情形下的圖形，在圖(1)中，射線CM在∠ACB內(nèi)部均勻分布，但射線CM與線段AB的交點M在AB上并不均勻分布，呈現(xiàn)出中間密兩邊疏的特征，而圖(2)中，點M在線段AB上均勻分布，但在∠ACB內(nèi)部，射線CM的分布并不均勻，呈現(xiàn)出中間疏而兩邊密的特征.

正解：記“AM

比較兩個問題，核心區(qū)別在于等可能的對象不同.由此可見，在老師講解例題時，對“等可能性”的強調(diào)不能只從正面一講了之，不妨多一些正反比較，“旁敲側擊”，所謂“橫看成嶺側成峰”，多視角視察與研究才能把問題看清楚.而這樣的變化往往只用很少的時間就能使學生的認識更全面.

三、對數(shù)學知識的教學只有做到“遠近高低各不同”的探究才能讓學生的認識上一個臺階

在處理數(shù)列前n項和S璶與通項a璶的關系的問題時，通常的處理方法是利用a璶=a1 n=1,

S璶-S﹏-1 n>1,把S璶化為a璶，并對n=1的情形進行強化訓練，這有時會造成學生認識高度的不足.

問題3 正數(shù)數(shù)列{a璶}的前n項和為S璶，且2S璶=a璶+1，則S璶= .

學生面對這一問題時常常很頭疼，因為S璶在根號內(nèi)部，不方便運用上面的公式消去，注意到{a璶}為正數(shù)數(shù)列，然后進行平方，再運用上述公式，解題過程顯得很沉重.較大的運算量也造成學生運算錯誤的增多.

面對這樣的困境，老師應當反思：這樣的教學是否是最合理的?

事實上，對a璶=a1 n=1,

S璶-S﹏-1 n>1,進行思考：這個式子既可以把S璶化為a璶，也可以把

a璶化為S璶，它表達的是a璶與S璶的關系，為什么我們不能消去a璶而留下S璶呢?在這樣的啟發(fā)下，學生易得如下解法：當n=1時易得a璶=1，當n≥2時，由2S璶=a璶+1，知2S璶=S璶-S﹏-1+1，移項得(S璶-1)2=(S﹏-1)2，由{a璶}為正數(shù)數(shù)列及a璶=1知S璶≥1，∴S璶-1=S﹏-1,∴{S璶}構成等差數(shù)列，首項為1，公差為1，∴S璶=n，即S璶=n2.

站在更高的高度認識a璶=a1 n=1,

S璶-S﹏-1 n>1,可以靈活地把握解題方向，使解題過程更合理.

四、我們常埋怨“沒有教不會的學生，只有不會教的老師”這句話說的過于絕對，但我們不得不承認有時我們的教學活動真的對學生的學習積極性有很大的影響

在一次高三一輪復習中，我向學生出示了如下問題：集合A={a,b,c}，集合B={1,0,-1}，從集合A到集合B的映射f滿足f(a)+f(b)=ゝ(c)，則這樣的映射有 個.

由于是一輪復習，學生對映射概念遺忘較多，且本題還牽涉到有條件的計數(shù)問題，因此，能夠正確作答的少之又少，雖然是一個小題，但對學生的打擊卻是沉重的.一些學生根本就無從下手，無所事事，無聊至極.還有一些學生絞盡腦汁，殫精竭慮，以錯誤告終.在一個小題面前繳了槍對自信心打擊很大.

在進入第二個班級后，我對本題作了修改：集合A={a,b,c},集合B={1,0,-1}，從集合A到集合B的映射f滿足f(a)+f(b)=ゝ(c)，請你寫出一個這樣的映射.你最多能寫出幾個這樣的映射?

稍等片刻，即有許多學生寫了出來，同學之間互相討論，互相啟發(fā)，互通有無，在得出一定數(shù)量符合要求的映射后，總結規(guī)律，寫出全部的映射，熱火朝天，每個人都成了勝利者.

復習同樣的內(nèi)容，為了同樣的教學目標，拿的是同樣的問題，僅僅是問法的不同，學生的積極性迥異，為什么?第一種問法是一種結果教學，只要結果，達不到結果就是失敗，造成了成功者寥寥，失敗者多多.而第二種問法期待的是學生的學習過程，哪怕一點小小的進展也是成功，也是收獲，特別是“你最多能寫出幾個這樣的映射”這樣的問題正好符合了學生的能力實際，讓學生在不知不覺中達到復習目標.

結語：在教育教學過程中，我們常常教學生多從自己的身上找原因，老師常對學生說：我們不能控制別人，但我們可以控制自己.把這句話對自己說說，自己聽聽，當學生在學習過程中出現(xiàn)一些問題時，我們能否在找學生問題時也找找自己的問題，或許這是提高課堂教學效率的一條重要途徑呢.