黎金傳

江西省上饒縣中學(xué) (334100)

筆者在做2008年安徽高考題時(shí)，發(fā)現(xiàn)理科22題結(jié)論可推廣，得到圓錐曲線(xiàn)的共有性質(zhì)：

原題 設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)M(2,1)，且左焦點(diǎn)為F1(-2，0).

(1)求橢圓C的方程；

(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(4，1)的動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓C相交于兩不同點(diǎn)A，B時(shí)，在線(xiàn)段AB上取點(diǎn)Q，滿(mǎn)足|〢P遼?|㏎B遼=|〢Q遼?|㏄B遼.證明：點(diǎn)Q總在某定直線(xiàn)上.

原解：(1)由題意：c2=2，

2a2+1b2=1，

c2=a2-b2，解得a2=4,b2=2，所求橢圓方程為x24+y22=1.

(2)設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為(x,y),(x1,y1),(x2,y2).由題設(shè)知|〢P遼,|㏄B遼,﹟〢Q遼,獆㏎B遼均不為零，記λ=|〢P遼|㏄B遼=|〢Q遼|㏎B遼,則λ>0且λ≠1，又A，P，B，Q四點(diǎn)共線(xiàn)，從而〢P=-λ㏄B,〢Q=λ㏎B,,于是

4=x1-λx21-λ,1=y1-λy21-λ,x=x1+λx21+λ,

y=y1+λy21+λ,從而x21-λ2x221-λ2=4x,(1)

y21-λ2y221-λ2=y,(2)

又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即x21+2y21=4,(3)，x22+2y22=4,(4)

(1)+(2)×2并結(jié)合(3)，(4)得4x+2y=4.即點(diǎn)Q(x,y)總在定直線(xiàn)2x+y-2=0上.

本文針對(duì)第(3)問(wèn)進(jìn)一步思考，探究其結(jié)論是否為橢圓的共有性質(zhì).由此可得

結(jié)論1 設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0),P(x0,y0)為橢圓C外定點(diǎn)，過(guò)P的動(dòng)直線(xiàn)l交橢圓C于A(yíng)、B兩點(diǎn)，在線(xiàn)段AB上取點(diǎn)Q，滿(mǎn)足|AP|?|QB|=|AQ|?|PB|,則點(diǎn)Q總在直線(xiàn)x0xa2+y0yb2=1上.

證明：設(shè)點(diǎn)Q(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)，由題設(shè)|PA|、|PB|、|AQ|、|QB|均不為零，且|AP||AQ|=|PB||QB|，又P、A、Q、B四點(diǎn)共線(xiàn)，可設(shè)㏄A=λ〢Q,㏄B=-λ〣Q,(λ≠0,±1)，于是x1=x0+λx1+λ,y1=y0+λy1+λ,x2=x0+λx1-λ,y2=y0-λy1-λ.由于A(yíng)(x1,y1),B(x2,y2)在橢圓C上，則x21a2+y21b2=1,x22a2+y22b2=1,即

(x0+λx)2(1+λ)2a2+(y0+λy)2(1+λ)2b2=1 ①

(x0-λx)2(1-λ)2a2+(y0-λy)2(1-λ)2b2=1 ②

將②×(1-λ)2-①×(1+λ)2得4λx0xa2+4λy0yb2=4λ，即x0xa2+y0yb2=1,∴點(diǎn)Q在直線(xiàn)x0xa2+y0yb2=1上.

由于橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)同為圓錐曲線(xiàn)，有許多共有性質(zhì)，所以進(jìn)一步思考，結(jié)論1是否也適用于雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn).

由此可得

結(jié)論2 設(shè)雙曲線(xiàn)C：x2a2-y2b2=1，過(guò)定點(diǎn)P(x0,y0)作動(dòng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)一支交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，P不在線(xiàn)段AB上，在線(xiàn)段AB上取點(diǎn)Q，滿(mǎn)足|AP|?|QB|=|AQ|?|PB|，則點(diǎn)Q總在直線(xiàn)x0xa2-y0yb2=1上.

結(jié)論2證明過(guò)程與結(jié)論1類(lèi)似，有興趣的讀者不妨試試.

結(jié)論3 設(shè)拋物線(xiàn)C：y2=2px,P(x0,y0)為拋物線(xiàn)C外部一定點(diǎn)，過(guò)P的動(dòng)直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于A(yíng)、B兩點(diǎn)，在線(xiàn)段AB上取點(diǎn)Q，滿(mǎn)足|AP|?|QB|=|AQ|?|PB|，則點(diǎn)Q總在直線(xiàn)y0y=p(x+x0)上.

證明：設(shè)Q(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),由題設(shè)|AP||AQ|=|PB||QB|，又P、A、Q、B四點(diǎn)共線(xiàn)，可設(shè)㏄A=λ〢Q,㏄B=-λ〣Q(λ≠0，±1)，于是x1=x0+λx1+λ,y1=y0+λy1+λ,x2=x0-λx1-λ,y2=y0-λy1-λ,由于A(yíng)(x1,y1),B(x2,y2)在拋物線(xiàn)C上，則y21=2px1,y22=2px2.即y0+λy1+λ2=2px0+λx1+λ ①

y0-λy1-λ2=2px0-λx1-λ ②

將①×(1+λ)2-②×(1-λ)2，得4λy0y=4p(λx0+λx),即y0y=p(x0+x).∴點(diǎn)Q在直線(xiàn)y0y=p(x0+x)上.

參考文獻(xiàn)

［1］2008年安徽高考試題.