蔣習(xí)文
2019年高考江蘇卷第12題 如圖1,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),E在邊AB上,BE=2EA,AD與CE交于點(diǎn)O.若AB·AC=6AO·EC,則ABAC的值是
.
解法1 如圖2所示,過點(diǎn)D作DF∥BE交CE于點(diǎn)F,連結(jié)ED,AF,可得DF瘙 綊 12BE瘙 綊 EA,因而四邊形AEDF是平行四邊形,所以AO=12AD,再由題設(shè)可得:
AB·AC=6AO·EC=6·12AD·(AC-AE)
=3·12(AC+AB)·AC-13AB
=32AC2-12AB2+AB·AC.
所以AB=3AC,ABAC=ABAC=3.
解法2 如圖3所示,過D作DF∥CE交AB于點(diǎn)F,再由題設(shè),可得AE=EF=FB,AO=OD,AO=12AD.
接下來,同解法1可求得答案.
解法3 如圖4所示,建立平面直角坐標(biāo)系xDy,不妨設(shè)B(-3,0),C(3,0),A(6a,6b)(b≠0).
由題設(shè),可得AB=3AE,進(jìn)而可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)是(4a-1,4b).
還可求得直線DA:bx-ay=0,直線CE:bx+(1-a)y=3b,再求得它們的交點(diǎn)O的坐標(biāo)是(3a,3b).
再由題設(shè)AB·AC=6AO·EC,可得
(-3-6a,-6b)·(3-6a,-6b)=6(-3a,-3b)·(4-4a,-4b),整理得36a2+36b2+9=72a(由此可得a≠0).
所以ABAC=(6a+3)2+(6b)2(6a-3)2+(6b)2=36a2+36b2+9+36a36a2+36b2+9-36a=72a+36a72a-36a=3.
解法4 設(shè)AO=λAD=λ2AB+λ2AC,再設(shè)EO=μEC=μ(AC-AE),可得AO=AE+EO=(1-μ)AE+μAC=1-μ3AB+μAC.
再由平面向量基本定理,可得λ2=1-μ3,
λ2=μ, 解得λ=12,
μ=14,因而AO=14(AB+AC),EC=AC-AE=AC-13AB,所以AB·AC=6AO·EC=6×14(AB+AC)·AC-13AB=32AC2-12AB2+AB·AC.
所以AB=3AC,ABAC=ABAC=3.
評(píng)注 本題雖說運(yùn)算量較大,但算是一道基礎(chǔ)題,解法入口寬:解法1與解法2用到了平面幾何中的平行線分線段成比例定理,因而減少了運(yùn)算量;解法3是建立平面直角坐標(biāo)系,突出了平面向量的數(shù)形結(jié)合特點(diǎn);解法4運(yùn)用平面向量基本定理,求出了參數(shù)λ,μ的值,從而完成求解.