江西省宜豐中學(xué) (336300)

一、引子

師：很高興有機(jī)會(huì)和大家一起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、探討數(shù)學(xué).我是江西省宜豐中學(xué)教師，叫龔浩生.同學(xué)們聽到這個(gè)名字是否想到了數(shù)學(xué)中一個(gè)什么數(shù)?

生：3.

師：對(duì)，就是3.同學(xué)們的聯(lián)想很豐富，希望在這堂課的學(xué)習(xí)中，同學(xué)們能展開聯(lián)想、放開思維、積極探究，通過本課的學(xué)習(xí)，我希望不但能增長(zhǎng)你的知識(shí)，也能讓你學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、探究結(jié)論，并感受數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過程與發(fā)現(xiàn)的樂趣.

評(píng)注：詼諧的引言，拉近了陌生師生之間的距離，給學(xué)生以親切感，為本課創(chuàng)設(shè)了良好的探究氛圍.同時(shí)又自然地揭示了本課的主要教學(xué)意圖.

二、引出課題

同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了拋物線，現(xiàn)在我們來看拋物線y2=2px(p>0)的圖像，請(qǐng)同學(xué)們回顧它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是什么?

生：F(p2,0).

師：準(zhǔn)線方程是什么?

生：x=-p2.

師：連接拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫什么?

生：焦半徑.

師：焦半徑AF的長(zhǎng)有什么公式嗎?

生：有，|AF|=x瑼+p2.

師：連接拋物線上任意兩點(diǎn)的線段叫拋物線的弦，特別地，經(jīng)過焦點(diǎn)的弦又可叫什么呢?

生：焦點(diǎn)弦.

師：好!現(xiàn)在我們就一起來探究拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì).(板書課題：拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)的探究)

評(píng)注：通過簡(jiǎn)潔的回顧引出課題，既面向全體、集中了學(xué)生的注意力，又提出了本課總的思維任務(wù)，為有效的探究提出了目標(biāo).

三、代數(shù)性質(zhì)的探究

師：取焦點(diǎn)弦AB，設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，同學(xué)們知道關(guān)于A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)有什么結(jié)論嗎?

生：有y1y2=-p2,x1x2=p24.

師：這兩個(gè)結(jié)論是怎樣得到的?得到了這兩個(gè)積是定值后，你們有沒有想過和又怎樣呢?

生：上述結(jié)論可由韋達(dá)定理得出.設(shè)AB的方程為x=my+p2，代入拋物線方程y2=2px，得y2-2pmy-p2=0，所以，y1y2=

-p2，且y1+y2=2pm.

師：很好!由此看出y1、y2的和不是定值，與m有關(guān).這里的m有什么意義嗎?

生：m是直線AB斜率的倒數(shù).它顯然不為零.若斜率不存在，則m=0.

師：那么x1、x2的和與m有關(guān)嗎?

生：與m有關(guān)，由AB的方程得：x1+x2=m(y1+y2)+p=2pm2+p=p(2m2+1).

師：到此，關(guān)于焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的坐標(biāo)我們有四個(gè)重要結(jié)論，請(qǐng)回憶一下，這四個(gè)結(jié)論是.

生：x1x2=p24,x1+x2=p(2m2+1),y1y2=-p2,y1+y2=2pm.其中m為焦點(diǎn)弦的斜率的倒數(shù).

評(píng)注：第一輪的探究以課本習(xí)題關(guān)于焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)積的結(jié)論為起點(diǎn)，引出相應(yīng)坐標(biāo)和的結(jié)論，探究步子較小，有利于學(xué)生適應(yīng)探究的節(jié)奏，并為后續(xù)的探究作好鋪墊.

師：接下來再探究什么呢?

生：長(zhǎng)度，看看焦點(diǎn)弦長(zhǎng)有怎樣的公式?

評(píng)注：有了探究的情境，學(xué)生在探究了坐標(biāo)的結(jié)論后，想到焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度是很自然的，可見創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)奶骄壳榫秤欣诖龠M(jìn)學(xué)生知識(shí)的自主建構(gòu).

師：很好，大家想想，怎樣來推導(dǎo)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的公式呢?

生：可以用|AB|=1+k2|x1-x2|，其中k為斜率，|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2.

師：對(duì).這種方法也可求一般的弦長(zhǎng)，對(duì)于拋物線的焦點(diǎn)弦而言，還有更好更快的方法嗎?

評(píng)注：探究學(xué)習(xí)既要讓學(xué)生盡可能的自主建構(gòu)，也要有教師的適當(dāng)引導(dǎo)，以調(diào)整思維方向，確保探究有序有效地進(jìn)行.

生：用焦半徑公式，|AB|=|AF|+|BF|=(x1+p2)+(x2+p2)=x1+x2+p.

師：這個(gè)公式用坐標(biāo)很簡(jiǎn)潔地表達(dá)了焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，還能用其它的量來表達(dá)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)嗎?

生：還可用斜率表達(dá)，由x1+x2=p(2m2+1)=p(2k2+1),可得|AB|=p(2k2+1)+p=2p(1k2+1).

師：斜率不存在時(shí)怎么辦?

生：在斜率不存在時(shí)，AB垂直于x軸，x1=x2=p2，故|AB|=x1+x2+p=2p.

師：好，再想想，焦點(diǎn)弦長(zhǎng)還能用什么量表達(dá)嗎?

生：還可用傾斜角α表達(dá)，因?yàn)閗=玹anα，所以|AB|=2p(1玹an2α+1)=2p玸in2α.

師：在斜率不存在時(shí)，這個(gè)公式怎么樣?

生：在斜率不存在時(shí)，α=π2,|AB|=2p,公式仍然成立.

師：對(duì)，請(qǐng)大家觀察焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，看看焦點(diǎn)弦長(zhǎng)有沒有最值?

生：當(dāng)α=π2時(shí)，|AB|=2p為最小值，沒有最大值.

師：這表明，焦點(diǎn)弦中通徑是最短的，長(zhǎng)為2p.至此，我們得到了焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的幾個(gè)結(jié)論是 .

生：|AB|=x1+x2+p=2p(1k2+1)=2p玸in2α.

評(píng)注：第二輪的探究到此稍作停頓.讓學(xué)生回味、整理一下新的知識(shí)點(diǎn)，也讓思維暫時(shí)落后的學(xué)生消化一下新知識(shí)，以利于開展下一輪的探究.所有學(xué)生的參與是形成積極主動(dòng)探究氛圍的推動(dòng)力.

師：注意到焦點(diǎn)弦AB被焦點(diǎn)F分為兩段AF、BF.AB的長(zhǎng)就是|AF|與|BF|的和，可見|AF|與|BF|的和已有了公式，那么|AF|與﹟BF|的差呢?積呢?又有什么結(jié)論?

評(píng)注：通過問題的變式引導(dǎo)學(xué)生思考新的問題，也讓學(xué)生見識(shí)并領(lǐng)悟怎樣提出新的探究問題，有利于學(xué)生學(xué)會(huì)自己提出問題、探究問題.

生：|AF|-|BF|=x1-x2.

師：x1-x2=?不妨來求|x1-x2|.

生：|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=p2(2k2+1)2-p2=2pk2k2+1,故有||AF|-|BF||=2pk2k2+1.

師：很好!這是斜率存在的情況，若斜率不存在，則易知|AF|-|BF|=0.再看積呢?

生：|AF|?|BF|=(x1+p2)(x2+p2)=x1x2+p2(x1+x2)+p24=p2(1+1k2).

師：一算到底!又得到一個(gè)公式，誰(shuí)有不同意見嗎?

生：老師，我把x1+x2保留不動(dòng)，得|AF|?|BF|=p2(x1+x2)+p22=p2(x1+x2+p)=p2(|AF|+|BF|).

師：這個(gè)等式變成怎樣的形式更好呢?

生：哦，可變成：1|AF|+1|BF|=2p.

師：這個(gè)結(jié)論太好了!這表明通徑長(zhǎng)的一半是|AF|與|BF|的調(diào)和平均，我們可把這個(gè)結(jié)論概括為：拋物線的通徑長(zhǎng)的一半是焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分成的兩段長(zhǎng)的調(diào)和平均.

評(píng)注：探究積的情況時(shí)，多數(shù)學(xué)生受常規(guī)影響，一算到底，很快得到結(jié)果.只有少數(shù)能打破常規(guī)的同學(xué)，往往能發(fā)現(xiàn)曲徑通幽.這個(gè)調(diào)和平均結(jié)論被學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)的過程，是把數(shù)學(xué)“冰冷的美麗”還原為學(xué)生“火熱的思考”的必然結(jié)果，學(xué)生為此結(jié)論的發(fā)現(xiàn)感到十分喜悅.可見點(diǎn)燃和激起學(xué)生的火熱思考，并注意挖掘?qū)W生思維的閃光點(diǎn)就能讓學(xué)生都欣賞到數(shù)學(xué)的冰冷的美麗.至此探究達(dá)到第一個(gè)高潮，稍作停頓，作用和前述一樣，以下幾輪亦如此，不再贅述.

四、幾何性質(zhì)的探究

師：以上探究了焦點(diǎn)弦的代數(shù)性質(zhì).下面我們?cè)購(gòu)膸缀螆D形的角度來觀察探究，看能發(fā)現(xiàn)一些什么新的結(jié)論么?

評(píng)注：代數(shù)性質(zhì)主要是數(shù)量關(guān)系的結(jié)論，幾何性質(zhì)則主要是圖形關(guān)系的結(jié)論，研究了一些基本的數(shù)量關(guān)系結(jié)論后再結(jié)合幾何圖形來探究幾何性質(zhì)是很自然的，也是很基本的研究方法.至此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入一個(gè)新的研究領(lǐng)域.

如圖，分別作出AM、BN垂直于準(zhǔn)線，垂足為M、N，設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于K.看看y1y2=-p2有什么幾何意義?是不是對(duì)應(yīng)了一個(gè)幾何等式?

生：因|MK|=|y1|,|NK|=|y2|,|KF|=p，又|y1y2|=p2，所以|MK|?|NK|=﹟KF|2.

師：從這個(gè)等式你能聯(lián)想到什么?

生：射影定理.

師：射影定理的條件是什么?

生：是直角三角形與斜邊上的高，連接MF、NF，應(yīng)有∠MFN=90°.

師：為什么?

生：由AF=AM及AM∥FK，知∠MFK=∠FMA=∠MFA,同理∠NFK=∠NFB，所以∠MFN=∠MFK+∠NFK=12平角=90°.

評(píng)注：進(jìn)入一個(gè)新的研究領(lǐng)域后，要適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生調(diào)整思維方向，讓所有學(xué)生跟上思維步伐，這是積極主動(dòng)情境形成并保持的前提，也是有序有效探究活動(dòng)展開的動(dòng)力.從y1y2=-p2過渡到射影定理，要讓學(xué)生結(jié)合數(shù)量關(guān)系認(rèn)真觀察圖形關(guān)系，并借助圖形的直觀形象進(jìn)行思維、聯(lián)想.

師：很好!現(xiàn)在我們知道∠MFN=90°，進(jìn)一步聯(lián)想，以MN為直徑作圓可能得到什么結(jié)論?

評(píng)注：同時(shí)作出以MN為直徑的圓，給學(xué)生以直觀感知，有利于學(xué)生的探究發(fā)現(xiàn)及結(jié)論的記憶.

生：點(diǎn)F在這個(gè)圓上，圓與AB可能相切.

生：對(duì)!是相切，取MN的中點(diǎn)P，連接PF、PA，則PF=PM,AF=AM,△AFP≌△AMP,所以∠PFA=∠PMA=90°，即AB⊥PF，所以AB和圓相切.

師：好!請(qǐng)大家共同概括一般結(jié)論.

生：以拋物線的焦點(diǎn)弦在準(zhǔn)線上的射影為直徑的圓和這條焦點(diǎn)弦相切于焦點(diǎn)F.

評(píng)注：盡量讓學(xué)生領(lǐng)悟在探究過程中怎樣不斷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，并給學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的機(jī)會(huì)，使學(xué)生有真正身臨其境的感受，這樣才有利于讓學(xué)生真正走上探究之路.

生：以焦點(diǎn)弦AB為直徑作圓是不是也會(huì)與MN相切呢?(新一輪探究開始，作出圖形.)

師：同學(xué)們想想怎么探究這個(gè)問題?

生：只要看圓心到MN的距離是否等于半徑，取AB的中點(diǎn)Q，連接PQ，則由梯形的中位線定理得|PQ|=12(|AM|+﹟BN|)=12|AB|，且PQ⊥MN，所以，以AB為直徑的圓也與MN相切于點(diǎn)P.

師：怎樣概括一般結(jié)論呢?

生：以拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切，切點(diǎn)是焦點(diǎn)弦在準(zhǔn)線上的射影的中點(diǎn).

師：以AB為直徑的圓和MN相切于P，這里還能得什么結(jié)論嗎?

生：有∠APB=90°.

師：還有什么相切的情況嗎?看看PA、PB!(引導(dǎo)學(xué)生提出新的探究任務(wù))

生：可以看看PA、PB和拋物線是否相切?

師：判定直線與拋物線相切有什么一般方法嗎?怎樣判斷PA與拋物線是否相切?

生：有判別式法，把PA的方程代入拋物線方程后，看判別式是否為零.

師：那么PA的方程怎么得出?得出PA的方程又怎樣與拋物線方程消元?

生：用兩點(diǎn)式，P是MN的中點(diǎn)，坐標(biāo)為(-p2,y1+y22)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(x1,y1),PA的方程為y-y1+y22y1-y1+y22=x+p2x1+p2，與y2=2px消x得，2y-(y1+y2)y1-y2=2px+p22px1+p2=y2-y1y2y21-y1y22y-y1-y2=y2y1-y2輞2-2y1y+y21=0蕁=0，可知PA與拋物線切于點(diǎn)A.

師：漂亮!這一消元化簡(jiǎn)的技巧值得大家學(xué)習(xí).同理，PB也與拋物線相切于點(diǎn)B.因?yàn)閽佄锞€上一點(diǎn)處的切線是唯一的，所以，我們可把結(jié)論概括為：拋物線的焦點(diǎn)弦兩端點(diǎn)處的切線垂直相交于準(zhǔn)線上一點(diǎn).

評(píng)注：三個(gè)相切關(guān)系的探究，聯(lián)系緊密、過渡自然、一環(huán)扣一環(huán)，學(xué)生的推理、運(yùn)算能力得到了較好的鍛煉.至此，探究過程達(dá)到第二個(gè)高潮，學(xué)生們對(duì)這些結(jié)論的獲得感到特別的興奮，探究的樂趣越來越濃.

師：同學(xué)們?cè)儆^察圖像，對(duì)于梯形AMNB還有什么問題需要探究嗎?(作圖啟發(fā)學(xué)生思考并提出問題)

生：看看對(duì)角線的交點(diǎn)在那里呢?是不是原點(diǎn)呢?

師：這兩個(gè)問題既有區(qū)別也有聯(lián)系，誰(shuí)能說說解決的思路?

生：探究交點(diǎn)在哪里，可以通過解方程組求出交點(diǎn)，再判斷.若是考慮交點(diǎn)是不是原點(diǎn)，則可看A、O、N三點(diǎn)是否共線?B、O、M三點(diǎn)是否共線?

師：好，就請(qǐng)大家先考慮A、O、N三點(diǎn)是否共線?

生：用斜率判斷，k㎡A=y1x1,k㎡N=y2-p2=2y2-p,k㎡A=k㎡N-py1=2x1y2-p2y1=2px1y2-p2y1=y21y2(y1≠0)趛1y2=-p2成立，所以A、O、N三點(diǎn)共線.

師：很好!同樣B、O、M三點(diǎn)共線，從而梯形AMNB的對(duì)角線交于原點(diǎn).我們又可以概括一個(gè)一般結(jié)論：拋物線焦點(diǎn)弦的一個(gè)端點(diǎn)與另一個(gè)端點(diǎn)的準(zhǔn)線上的射影及頂點(diǎn)共線.

評(píng)注：對(duì)幾何性質(zhì)的探究，又得到好幾個(gè)新的知識(shí)鏈，連同代數(shù)性質(zhì)知識(shí)鏈在內(nèi)，這些知識(shí)鏈相互融通，形成有機(jī)聯(lián)系的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).如，y1y2=-p2和射影定理在梯形AMNB探究中的作用；相切的關(guān)系在幾個(gè)鏈條中的存在也把這些知識(shí)鏈有機(jī)地聯(lián)系在一起.讓知識(shí)通過探究而生成，并形成一種知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，有利于學(xué)生站在系統(tǒng)的高度把握知識(shí)體系.

五、回顧與延伸

師：由于時(shí)間關(guān)系，本課就探究到這里.回顧本課，我們探究了拋物線焦點(diǎn)弦的代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)，希望同學(xué)們不僅要掌握本課的一些結(jié)論，更要領(lǐng)悟發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、探究結(jié)論的方法.其實(shí)拋物線的焦點(diǎn)弦還有許多性質(zhì)，同學(xué)們可以在本課學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上去作進(jìn)一步的探究.比如，對(duì)本課的一些結(jié)論，探究一下它們的逆命題是否成立，如：已知AO交準(zhǔn)線于N，是否有BN垂直于準(zhǔn)線?若已知y1y2=-p2，能否得出AB過焦點(diǎn)?若已知弦AB被x軸分為AF、BF，滿足1|AF|+1|BF|=2p，能否得出點(diǎn)F是焦點(diǎn)?你也可以把焦點(diǎn)改為另外的點(diǎn)，如：過點(diǎn)(p,0)的弦有什么性質(zhì)?你還可以類比本課的方法去探究橢圓、雙曲線中的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，等等.愿同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中多用些探究的眼光去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、去感覺數(shù)學(xué)思維的生動(dòng)、美麗，這樣你的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將會(huì)其樂無窮，你會(huì)變得更加聰明.

評(píng)注：進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生如何變換問題條件或結(jié)論，得出新的探究問題；也提示學(xué)生把探究延伸下去.如果說課內(nèi)的自主探究空間是有限的，那么課外的自主探究空間則是無限的，通過課內(nèi)的引導(dǎo)、激發(fā)，點(diǎn)燃起學(xué)生的探究熱情，并讓這種熱情自覺地延伸到課外，學(xué)生的探究意識(shí)、創(chuàng)新能力將會(huì)得到積極、有效的發(fā)展.

“數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要點(diǎn)應(yīng)是以數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)為載體，開啟學(xué)生的智慧大門，引發(fā)學(xué)生實(shí)質(zhì)性的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，所以數(shù)學(xué)課堂中應(yīng)有更多的探究和理解，更少的簡(jiǎn)單記憶和機(jī)械模仿.”(章建躍).作為一線教師，如何有效地實(shí)施探究式教學(xué)?是值得探討的重要課題，本課作為對(duì)這一課題的初步探討，希望成為引玉之磚，并得到專家及同行的指教.