2007年9月，我接手北師大版《數(shù)學》七年級上冊的教學. 在很短的一段時間里，在課堂上，我竟兩次遭遇了“老師，為什么1+2+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ-1？”這個問題.

第一次偶然相逢

《有理數(shù)及其運算》的第10節(jié)是《有理數(shù)的乘方》，教材里面編排了一例“讀一讀”——《棋盤上的學問》. 編排的意圖是讓學生體會數(shù)的大小，培養(yǎng)學生的數(shù)感. 文中這樣寫道：“……放滿一個棋盤上的64個格子需要1+2+2²+2³+…+2⁶³=2⁶⁴-1粒米. 2⁶⁴-1到底有多大呢？在“Z+Z（初中代數(shù)）”中，按如下操作……可見答案是一個20位數(shù)……”

得知這個數(shù)是一個20位數(shù)時很多同學都“哇”了起來. 這個時候，突然，有個學生站起來向我提了個問題：“老師，為什么1+2+2²+2³+…+2⁶³=2⁶⁴-1呢？”

顯然，這個時候我不能回答：“這是計算機得出的結(jié)果. ”他的問題讓我始料不能及：從2002年起，我已三度執(zhí)教這本教材. 以前我也講過這一部分內(nèi)容，但從來沒有一個同學向我提出這個問題. 更何況，這里并不要求學生知道為什么1+2+2²+2³+…+2⁶³=2⁶⁴-1！

他的問題很快也引起了其他同學的注意，他們大多也流露出想知道為什么1+2+2²+2³+…+2⁶³=2⁶⁴-1的眼神.

為什么1+2+2²+2³+…+2⁶³=2⁶⁴-1呢？應該說，這個問題對我這個有過高等教育經(jīng)歷的數(shù)學教師來講不是難題，無非就是一個簡單的等比數(shù)列求和而矣！但考慮到七年級的學生此時剛剛接觸乘方知識，還不能很好地進行乘方運算. 我擔心此時給他們講會增加他們對數(shù)學學習的心理負擔. 我對他們說：“這應該是個不難的問題，過上一段時間，等大家的知識儲備夠了，廖老師再給大家講，好嗎？”

聽我這么說，同學們也就放心地投入后面的學習中去了.

時間一天一天地過去，在繁瑣的教學工作中，我逐漸忘卻了這件事兒. 想必學生也一直以為他們“知識還沒有儲備夠”，所以一直也沒有學生再向我提起那個問題. 沒想到，大約二十天之后，我又與這個問題——

第二次不期而遇

那天，我上第三章《用字母表示數(shù)》第六節(jié)《探索規(guī)律》. 按照教學設計，我正在處理教材上的隨堂練習：

將一張長方形的紙對折，如右圖所示可以得到一條折痕. 繼續(xù)對折，對折時每次折痕與上次折痕保持平行. 連續(xù)對折6次后，可以得到幾條折痕？如果對折10次呢？對折n次呢？

為了探究對折n次可能得到幾條折痕，我引導學生將這個問題與折紙后紙的的張數(shù)那個問題（教材上出現(xiàn)過的一個較為重要的數(shù)學模型）進行了比較，得到了這樣的一個表：

次數(shù)折后紙的張數(shù)折痕的條數(shù)1221-1=122²2²-1=332³2³-1=7………………n2琻2ⁿ-1

學生們通過觀察，很快發(fā)現(xiàn)了數(shù)字特征，找到了規(guī)律，并得出了對折n次后折痕的條數(shù)為2ⁿ-1條的結(jié)論.

我本以為這個隨堂練習就此結(jié)束，就在這個時候，一個學生舉了手，并站起來說：“我的答案不是這樣的！”

我一驚，心里想：“這么容易看出來，你怎么會有另外的答案？”我在心里甚至給這個學生的答案判了“死刑”——肯定是錯的. 但我仍然示意他把他的想法講出來.

他說：“我認為對折n次后折痕的條數(shù)是1+2+2²+2³+…+2^n-1！因為折1次有1條折痕，這時紙變成了2張，所以折第2次時增加2條折痕，此時紙變成2²張，折第3次時折痕增加2²條……依次類推，折第n次時在上一次的基礎上增加2^n-1條折痕. 也就是說，折痕數(shù)隨折紙次數(shù)快速增加，且每折一次，原有折痕不變，新增折痕數(shù)為上一次折后紙張的層數(shù)2﹏－1. 所以折n次后的折痕數(shù)是1+21+2²+2³+…+2^n-1所以最后紙上有1+21+2²+2³+…+2^n-1條折痕！”

他的分析完全正確，而且極具思維智慧，這也是我沒料到的.

在他的啟發(fā)下，另一個學生起來闡述了他的想法：“每次折后觀察折痕數(shù)與紙張的形狀，發(fā)現(xiàn)紙張被折痕分成若干個長方形，且折痕數(shù)比長方形個數(shù)少1. 折痕將紙分成的長方形個數(shù)恰如是折疊后紙張的層數(shù)，折n次的紙張層數(shù)是2琻，所以折n次，折痕數(shù)是2琻－1. ”

他的分析也是正確的，也極具價值.

我馬上意識到，其實1+2+2²+2³+…+2^n-1和2^n-1和本來就是相等的.

我向那兩位位學生投去了贊許的目光，說：“你們是對的！”事實上，我明顯感到這兩個學生解決這個問題的思維層次比我講這個問題的思維層次高得多.

其他學生也逐漸明白了他們的意思.

“依照你這么說，1+2+2²+2³+…+2^n-1和2^n-1本來就是相等的？”終于有學生問出了這個問題.

“是的. ”我說.

“為什么呢？為什么1+2+2²+2³+…+2^n-1=2^n-1呢？”

這不就是我們在《棋盤上的學問》中遇到的問題嗎！在短短的二十幾天的學習里，我們就兩次與它相遇，看來，我有必要向?qū)W生們講講這個問題了.

因為學生剛學過《探索規(guī)律》，我先讓他們看了一組式子：

1+1=2；

2+2=4；

2²+2²=2³；

……

同學們很快得出了2^n-1+2^n-1=2琻這個規(guī)律.

接下來，我提示學生給式子左邊作了如下變形：

1+1+2+2²+2³+…+2^n-1-1

=2+2+2²+2³+…+2^n-1-1

=……

學生馬上明白了我的意思，很快就得出了結(jié)論.

哦，原來如此. 看著學生如釋重負的樣子，我又順勢給他們介紹了另一種方法：

設S=1+2+2²+2³+…+2^n-1，

則2S=2+2²+2³+…+2﹏.

錯位相減即得結(jié)論.

這種解法更令學生驚嘆！我知道，這個時候，一種探究的樂趣已深深滲入這些學生們的心田.

結(jié)束語

這是我和學生一起探究數(shù)學問題的一個片斷，但它對我的影響是很深遠的. 從“棋盤上的學問”到“折痕的條數(shù)”，再從“折痕的條數(shù)”回到“棋盤上的學問”，我感到教材上那一段段原本不起眼的文字背后，竟有如此奇妙的世界等待著我們?nèi)ヌ綄?

新課程標準的基本理念指出：“教師應……幫助學生在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學知識和技能，數(shù)學思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗. ”也許，我和學生作的這次探究，并沒能達到新課程標準中說的高度. 但我仍然感到，教師適度引導探究性學習，雖然學生的感知一開始處于表面現(xiàn)象，卻是一個親自參與了由表及里的不斷深入的理解過程，從而品嘗了發(fā)現(xiàn)所帶來的快樂. 探究活躍了學生思維，讓數(shù)學變得親近，學生樂于接受.

作者簡介 廖帝學，1973，男,四川省廣安市鄰水縣人,中學數(shù)學一級教師,現(xiàn)任教于重慶市第九十五中學,發(fā)表100余篇解題教學方面的文章.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>