刁　穎

列方程解應(yīng)用題中尋找等量關(guān)系的方法很多，包括：①數(shù)量關(guān)系法：根據(jù)常見的數(shù)量關(guān)系(如：路程=速度×?xí)r間，工作量=效率×?xí)r間，利息=本金×利率等)、根據(jù)關(guān)鍵性語(yǔ)言(如：多、少、幾倍、幾分之幾等)、根據(jù)題目中的不變量用代數(shù)式直接表示出來(lái)；②線示法：用線段將題目中的數(shù)量關(guān)系形象地表示出來(lái)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，從而建立方程；③列表法：用表格把題目中的數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)，挖掘題目中的隱含條件，建立方程；④圖示法：利用整體圖形把題目中的整體與部分的關(guān)系直觀地表示出來(lái)，發(fā)現(xiàn)題目中的相等關(guān)系，建立方程等.這幾種方法都是列方程解應(yīng)用題中尋找等量關(guān)系的好方法，但是找等量關(guān)系列方程的實(shí)質(zhì)就是抓住一個(gè)量，挖掘已知條件從兩種角度表示同一個(gè)量，進(jìn)行兩次演算，即一個(gè)量，算兩次.

1 一個(gè)量算兩次的理論依據(jù)

美籍匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中，給出了四個(gè)具體的解題模式：雙軌跡模式、笛卡兒模式、遞歸模式和疊加模式.

其中笛卡兒模式來(lái)源于笛卡兒的“萬(wàn)能方法”.笛卡兒曾經(jīng)設(shè)想過所謂的“萬(wàn)能方法”，即認(rèn)為按照以下的模式就可以有效地解決一切問題：第一，把任何問題都轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；第二，把任何數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第三，把任何代數(shù)問題歸結(jié)為解方程.波利亞指出，笛卡兒的設(shè)想在某些情況下并不適用，因此不能被看成是一種萬(wàn)能的方法；但是盡管笛卡兒的設(shè)想最后并未成功，仍然不失為一個(gè)偉大的思想.事實(shí)上，在波利亞看來(lái)，笛卡兒所給出的是一個(gè)十分有用的思維模式，而通常所謂的“代數(shù)方法”則可看成笛卡兒模式的典型例子.

波利亞對(duì)“笛卡兒模式”做了如下的概括：(1)要在很好地理解了問題的基礎(chǔ)上，把問題歸結(jié)為確定若干個(gè)未知的量；(2)用最自然的方式通盤考慮一下問題，設(shè)想它已經(jīng)解出來(lái)了，把已知量和未知量之間根據(jù)條件所必須成立的一切關(guān)系式都列出來(lái)；(3)列出一部分條件，使得你能用兩種不同的方式去表示同一個(gè)量，這樣可以得出一個(gè)聯(lián)系未知量的方程式.這樣做下去最后就把條件分成了若干部分，從而得出方程式與未知量個(gè)數(shù)相等的一個(gè)方程組.

笛卡兒模式就是指通過“列方程、解方程”去解決問題，正如波利亞所指出的，列方程的關(guān)鍵就在于應(yīng)當(dāng)清楚地認(rèn)識(shí)到“一個(gè)方程就是用兩種不同的方式去表示同一個(gè)量”.^[1]另外，在有多個(gè)未知量的情況下，我們又應(yīng)當(dāng)認(rèn)識(shí)到：一個(gè)方程只表示了一個(gè)部分條件.對(duì)笛卡兒模式可以推廣：“在條件的分款沒有被翻譯成一個(gè)方程，或甚至x₁，x₂，…，x_n不是未知的數(shù)，而是任何類型的未知的事物的情況下，我們認(rèn)為符號(hào)方程r(x₁，x₂，…，x_n)=0也表示了有問題的條件所決定的，包含了指定未知量(這里把一般的未知事物統(tǒng)稱為未知量x₁，x₂，…，x_n)的一個(gè)關(guān)系.”^[2]

2 例題分析

一個(gè)量算兩次這種方法的優(yōu)點(diǎn)是可以簡(jiǎn)化找等量關(guān)系，只要在題目中確定一個(gè)量，并用兩種方法表示出來(lái)，中間用等號(hào)連接即可.

例1 一隊(duì)學(xué)生去校外參加勞動(dòng)，以4千米/時(shí)的速度步行前往.走了半小時(shí)，學(xué)校有緊急通知要傳給隊(duì)長(zhǎng)，通訊員騎自行車以14千米/時(shí)的速度按原路追上去.通訊員要多少分才能追上學(xué)生隊(duì)伍?

分析 本題屬于行程問題，涉及的量有路程、時(shí)間和速度，根據(jù)一個(gè)量算兩次的方法我們可以選擇其中的某一個(gè)量進(jìn)行列方程求解.其中通訊員追趕學(xué)生隊(duì)伍所行時(shí)間是學(xué)生出發(fā)半小時(shí)后到被追趕上所用的時(shí)間；通訊員所行路程就是學(xué)生隊(duì)伍總的行程；學(xué)生隊(duì)伍的速度前后保持不變，為4千米/時(shí).

解 設(shè)通訊員要x小時(shí)才能追上學(xué)生隊(duì)伍.

在列方程解應(yīng)用題的教學(xué)中，教師強(qiáng)調(diào)通過找等量關(guān)系來(lái)列方程，常常是通過抓住題目中的關(guān)鍵詞或者關(guān)鍵句子來(lái)尋找等量關(guān)系.通過這種方法列方程解應(yīng)用題，同學(xué)們列出的方程千篇一律，同時(shí)也沒有理解方程的真正含義.在上述三個(gè)例子中，根據(jù)一個(gè)量算兩次的方法來(lái)列方程，每道題都可以列出幾個(gè)方程，而且每個(gè)方程都具有自身不同的意義.雖然方程有繁有簡(jiǎn)，有整式方程也有分式方程，但是方程左右兩端的意義相同，是通過兩次不同演算來(lái)表示同一個(gè)量的.

在列方程解應(yīng)用題中，一個(gè)量算兩次與找等量關(guān)系本質(zhì)上是相同的.一個(gè)量算兩次因?yàn)槭怯貌煌姆绞奖硎就粋€(gè)量，所以它肯定是相等的；而尋找等量關(guān)系建立方程，是通過挖掘題目中條件建立相等的關(guān)系.從例題中我們可以看到每道題根據(jù)基本量(如：路程、速度、時(shí)間，工作量、工作效率、時(shí)間等)的不同可以列出三個(gè)甚至更多的方程，而在傳統(tǒng)的教學(xué)中老師往往根據(jù)自己的習(xí)慣尋找等量關(guān)系，往往僅就關(guān)鍵語(yǔ)句列出一個(gè)方程，既限制了學(xué)生的思考空間，又增加了學(xué)生列方程的難度.一個(gè)量算兩次——這種列方程的方法既開闊了我們的思路，又為我們列方程解應(yīng)用題提供了方便.

參考文獻(xiàn)

[1] 鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論[M].南寧：廣西教育出版社，2003.15.

[2] 波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)(第一卷)[M].呼和浩特：內(nèi)蒙古人民出版社，1980.213.

[3] 陳林香.列方程解應(yīng)用題時(shí)如何尋找等量關(guān)系[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué).2006，(4)：10-11.

[4] 曹術(shù)環(huán)，韓月芹.列方程解應(yīng)用題中找等量關(guān)系的四種方法[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)(初中版).2004，(3)：11-12.

作者簡(jiǎn)介：刁穎，1983年10月出生，天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院碩士研究生，專業(yè)是課程與教學(xué)論，主要研究方向是數(shù)學(xué)教育.

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