朱　哲

勾股定理在幾何里具有非常重要的地位，是解三角形的重要基礎(chǔ)，也是整個(gè)平面幾何的重要基礎(chǔ)，其在現(xiàn)實(shí)生活中也具有普遍的應(yīng)用性. 在數(shù)學(xué)教科書(shū)中，勾股定理一般出現(xiàn)在八年級(jí)，而八年級(jí)被認(rèn)為是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要發(fā)展階段，也即具體思維向形式化思維轉(zhuǎn)變的時(shí)期. 所以可以說(shuō)，勾股定理教學(xué)也處于學(xué)生數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)折階段. 但另一方面，勾股定理的教學(xué)卻始終是一個(gè)難點(diǎn). 雖然勾股定理的證明方法據(jù)說(shuō)超過(guò)400種，但是讓學(xué)生能夠在思路上比較“自然地”想到證明方法是困難的；而且，從讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)發(fā)現(xiàn)過(guò)程的角度講，要想讓學(xué)生“再發(fā)現(xiàn)”勾股定理更是難上加難.^[1]所以有人說(shuō)，看一個(gè)國(guó)家的數(shù)學(xué)教育水平，只要看看勾股定理，他們的教材是怎樣編的，他們的教師是怎樣教的，就可略知一二.

基于這些理由，本文選取在國(guó)內(nèi)被廣泛使用的人民教育出版社、華東師范大學(xué)出版社和北京師范大學(xué)出版社出版的三套《數(shù)學(xué)》教科書(shū)，從微觀層面來(lái)考察其中“勾股定理”部分的編寫(xiě). 在研究過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)一些由于編寫(xiě)者疏落或失誤造成的問(wèn)題. 這些問(wèn)題有可能對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)及今后的發(fā)展產(chǎn)生一定的負(fù)面影響. 那么我們有必要指出這些錯(cuò)誤，并希望編寫(xiě)者在教科書(shū)修訂時(shí)做出修正和改進(jìn).

1 引言的設(shè)計(jì)

三種教科書(shū)在這一章的開(kāi)始都有引言和題圖. 比如人教社版《數(shù)學(xué)》，放置了2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)場(chǎng)的照片，其中會(huì)徽非常醒目；照片旁邊有三段文字作為這一章的引言. 其中第一段有這么一句話(huà)：

后來(lái)人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形三邊之間的關(guān)系：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方. 你能發(fā)現(xiàn)這個(gè)關(guān)系嗎?

筆者認(rèn)為這段話(huà)存在兩個(gè)問(wèn)題. 第一，在引言部分就把結(jié)論明確地告訴學(xué)生，那么其后的“觀察”、“探究”和“猜想”還有什么意義?第二，把結(jié)論告訴學(xué)生后再問(wèn)學(xué)生你能發(fā)現(xiàn)它嗎，同樣沒(méi)有任何意義. 就好象問(wèn)一個(gè)已經(jīng)吃好飯的人，你想吃飯嗎?

我們認(rèn)為，引言可以提出一個(gè)具體的問(wèn)題情境來(lái)導(dǎo)入本章的學(xué)習(xí)，也可以給出本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)讓學(xué)生明確這一章要學(xué)習(xí)什么. 但不可以把需要探究和猜想的結(jié)論展現(xiàn)在學(xué)生面前.

圖1

人教社版《數(shù)學(xué)》還有一處類(lèi)似的錯(cuò)誤，18.2《勾股定理的逆定理》是用古埃及人畫(huà)直角的方法來(lái)引入的，隨后配了一幅插圖(圖1). 但是令人沮喪的是，從穿著看，畫(huà)面中的人是古希臘人，而非古埃及人. 這個(gè)小錯(cuò)誤對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也許不會(huì)產(chǎn)生大的影響，但是作為國(guó)家權(quán)威教科書(shū)出版單位，犯如此低級(jí)的錯(cuò)誤也是不應(yīng)該的.

2 定理的發(fā)現(xiàn)

數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)計(jì)算、數(shù)學(xué)論證乃至數(shù)學(xué)推斷等能力，勾股定理的教學(xué)正是一個(gè)恰當(dāng)?shù)睦? 不過(guò)，在實(shí)際教學(xué)中，教師雖有探究式教學(xué)的理念，但在師生行為的設(shè)計(jì)上有兩個(gè)難解的困惑：①通過(guò)度量直角三角形三條邊的長(zhǎng)，計(jì)算它們的平方，再歸納出a²+b²=c²，由于得到的數(shù)據(jù)不總是整數(shù)，學(xué)生很難猜想出它們的平方關(guān)系，因此教師常常把勾股定理作為一個(gè)事實(shí)告訴學(xué)生；②勾股定理的證明有難度，一般來(lái)說(shuō)學(xué)生很難自行探究，尋得解決的方法.^[2]教師通常是依據(jù)教科書(shū)來(lái)進(jìn)行教學(xué)的，那么，我們來(lái)看一下教科書(shū)是如何設(shè)計(jì)的.

華師大版《數(shù)學(xué)》第48頁(yè)安排了“試一試”：

測(cè)量你的兩塊直角三角尺的三邊的長(zhǎng)度，并將各邊的長(zhǎng)度填入下表：

根據(jù)已經(jīng)得到的數(shù)據(jù)，請(qǐng)猜想三邊的長(zhǎng)度a、b、c之間的關(guān)系.

筆者認(rèn)為，這個(gè)活動(dòng)設(shè)計(jì)得非常不好. 為什么?一塊任意的三角板，它的三邊長(zhǎng)很可能并非整數(shù). 讓學(xué)生猜想三邊長(zhǎng)分別為3、4、5或者5、12、13的直角三角形三邊的關(guān)系，就已經(jīng)不是十分容易的事(比如，學(xué)生容易得到3+5=2×4而不易得到3²+4²=5²；也有學(xué)生由3²=4+5和5²=12+13猜想a²=b+c)，更何況來(lái)猜想三個(gè)非整數(shù)之間的平方關(guān)系. 教科書(shū)這樣設(shè)計(jì)和處理，容易導(dǎo)致學(xué)生盲目的探究和盲目的猜想，在這“盲目”上浪費(fèi)了不少時(shí)間，而且沒(méi)有多大意義和價(jià)值.

3 勾股定理是“發(fā)現(xiàn)”而非“發(fā)明”的

華師大版《數(shù)學(xué)》第55頁(yè)安排了“閱讀材料”：《勾股定理史話(huà)》. 其中有這樣一段話(huà)(下劃線(xiàn)為本文作者所加)：

人們對(duì)勾股定理的認(rèn)識(shí)，經(jīng)歷過(guò)一個(gè)從特殊到一般的過(guò)程，其特殊情況，在世界很多地區(qū)的現(xiàn)存文獻(xiàn)中都有記載，很難區(qū)分這個(gè)定理是誰(shuí)最先發(fā)明的. 國(guó)外一般認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras)學(xué)派首先發(fā)現(xiàn)的，因而稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯定理.

這里有兩處錯(cuò)誤. 第一，勾股定理是“發(fā)現(xiàn)”還是“發(fā)明”的?我們知道，發(fā)明是創(chuàng)造，一種從無(wú)到有的過(guò)程；而發(fā)現(xiàn)是一種本來(lái)就有，從不認(rèn)識(shí)到認(rèn)識(shí)的過(guò)程. 那么，數(shù)學(xué)定理的證明方法，可以是一種從無(wú)到有的發(fā)明過(guò)程，而定理本身本來(lái)就存在，而后被人發(fā)現(xiàn)的. 教科書(shū)中一段話(huà)里對(duì)定理的產(chǎn)生使用了發(fā)明和發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)詞語(yǔ)，就有一定矛盾和混亂. 第二，并不是因?yàn)楫呥_(dá)哥拉斯或其學(xué)派首先發(fā)現(xiàn)定理，而是因?yàn)樵跀?shù)學(xué)史上有明確記載，畢達(dá)哥拉斯或其學(xué)派首先證明該定理，才被稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯定理的. 同樣的錯(cuò)誤，我們可以在人教社版《數(shù)學(xué)》上看到，第74頁(yè)有個(gè)小標(biāo)簽，上面寫(xiě)著：

在西方，一般認(rèn)為這個(gè)定理是畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的，所以人們稱(chēng)這個(gè)定理為畢達(dá)哥拉斯定理.

相比較而言，北師大版《數(shù)學(xué)》則相對(duì)比較準(zhǔn)確. 第8頁(yè)有一則“讀一讀”：《勾股世界》. 最后一段話(huà)：

相傳兩千多年前，希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派首先證明了勾股定理，因此在國(guó)外人們通常稱(chēng)勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理.

4 問(wèn)題情境應(yīng)避免“人為”的創(chuàng)設(shè)

北師大版《數(shù)學(xué)》設(shè)置問(wèn)題情境，用“旗桿問(wèn)題”來(lái)引入新課題. 該問(wèn)題是：

強(qiáng)大的臺(tái)風(fēng)使得一根旗桿在離地面9米處折斷倒下，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處. 旗桿折斷之前有多高?

對(duì)于這一問(wèn)題，如果考慮該題的現(xiàn)實(shí)性和科學(xué)性，橫向的“12米”是容易測(cè)量的，那么縱向的“9米”又是如何得到的呢?如果可以通過(guò)直接測(cè)量的話(huà)，那么折斷部分的15米應(yīng)該也不難測(cè)量(唯一難測(cè)量的情況就是尺子的長(zhǎng)度大于12米而小于15米). 所以這個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)并不合理. 相對(duì)而言，教科書(shū)中的“梯子問(wèn)題”在合理性上難以找到瑕疵. 比如華師大版《數(shù)學(xué)》第50頁(yè)在給出勾股定理后安排了例1：

如圖(圖略)，將長(zhǎng)為5.41米的梯子AC斜靠在墻上，BC長(zhǎng)為2.16米，求梯子上端A到墻的底邊的垂直距離AB. (精確到0.01米)

這里，梯子的長(zhǎng)度是容易測(cè)量的，BC的長(zhǎng)度也是容易測(cè)量的，而垂直距離AB確實(shí)是難測(cè)量的. 因?yàn)殡y以測(cè)量，我們便求助于計(jì)算，求助于數(shù)學(xué). 這樣就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是有用的.

我們?cè)賮?lái)看北師大版《數(shù)學(xué)》第9頁(yè)例1：

我方偵察員小王在距離東西公路400米處偵察，發(fā)現(xiàn)一輛敵方汽車(chē)在公路上疾駛. 他趕緊拿出紅外測(cè)距儀，測(cè)得汽車(chē)與他相距400米，10秒后，汽車(chē)與他相距500米，你能幫小王計(jì)算敵方汽車(chē)的速度嗎?

從情境的合理性和科學(xué)性角度考慮，這一題應(yīng)該問(wèn)題不大；但我們來(lái)看另外一題：

飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩頭頂正上方4000米處，過(guò)了20秒，飛機(jī)距離這個(gè)男孩頭頂5000米. 飛機(jī)每時(shí)飛行多少千米?

這一題出現(xiàn)在修訂前的北師大版《數(shù)學(xué)》中，與前一題在本質(zhì)上是一模一樣的. 如果考慮一下這個(gè)4000米和5000米是小男孩或旁觀者通過(guò)什么途徑測(cè)到的，就不難明白，為什么教科書(shū)修訂時(shí)把這一題改成前一題了.

我們?cè)賮?lái)看一題，北師大版《數(shù)學(xué)》第3節(jié)《螞蟻怎樣走最近》中安排了“隨堂練習(xí)”：

甲、乙兩位探險(xiǎn)者到沙漠進(jìn)行探險(xiǎn). 某日早晨8：00甲先出發(fā)，他以6千米/時(shí)的速度向正東行走. 1時(shí)后乙出發(fā)，他以5千米/時(shí)的速度向正北行走. 上午10：00，甲乙二人相距多遠(yuǎn)?”

我們?cè)谝槐久绹?guó)的幾何教材《發(fā)現(xiàn)幾何》第9.3節(jié)的練習(xí)B中看到了這道題目的原型^[3]：

在火星正午時(shí)間，朗達(dá)·本德博士離開(kāi)美國(guó)火星研究站，以60千米/時(shí)向東行進(jìn). 1小時(shí)后I.M.布賴(lài)特教授離開(kāi)同一研究站，以50千米/時(shí)向北行進(jìn)，去觀察極地冰帽. 火星時(shí)間下午3時(shí)，博士與教授相距多遠(yuǎn)?答案精確到千米.

從這兩個(gè)問(wèn)題的表述上看，《發(fā)現(xiàn)幾何》比北師大版《數(shù)學(xué)》更具想象和充滿(mǎn)冒險(xiǎn). 北師大版《數(shù)學(xué)》只把學(xué)生帶進(jìn)沙漠，而《發(fā)現(xiàn)幾何》卻把學(xué)生帶到了火星. 北師大版《數(shù)學(xué)》是讓學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，或者說(shuō)是“做數(shù)學(xué)”；而《發(fā)現(xiàn)幾何》不僅是“做數(shù)學(xué)”，更是“玩數(shù)學(xué)”，讓學(xué)生在一種輕松愉快的情境中解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，而這個(gè)過(guò)程是充滿(mǎn)樂(lè)趣的.

筆者這里舉了幾個(gè)例子，是想說(shuō)明教科書(shū)編寫(xiě)者在設(shè)計(jì)習(xí)題時(shí)采用不同的觀念，有的是為數(shù)學(xué)而問(wèn)題，有的是為學(xué)生而問(wèn)題，或者為生活而問(wèn)題. 不同的觀念導(dǎo)致習(xí)題是“人為”還是“為人(學(xué)生)”的區(qū)別. 比如，“人為”的問(wèn)題，為數(shù)學(xué)而問(wèn)題，問(wèn)題都是圍繞數(shù)學(xué)而編寫(xiě)、杜撰的(前文那個(gè)“旗桿問(wèn)題”就是為數(shù)學(xué)而數(shù)學(xué)). 從數(shù)學(xué)角度講，它也許是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，完美的，但它也許遠(yuǎn)離了學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活，也遠(yuǎn)離了學(xué)生的想象世界. 事實(shí)上，教科書(shū)在編寫(xiě)時(shí)，應(yīng)該從學(xué)生出發(fā)，考慮問(wèn)題情境的科學(xué)性和合理性，避免出現(xiàn)“人為”的題目.

5 趙爽的證明方法

趙爽如何利用弦圖證明勾股定理，在數(shù)學(xué)史研究中是有爭(zhēng)議的. 錢(qián)寶琮先生認(rèn)為他采用代數(shù)方法，利用面積計(jì)算；而吳文俊、李文林先生則認(rèn)為他采用幾何方法，利用出入相補(bǔ)原理. 事實(shí)上，代數(shù)觀點(diǎn)比較容易解釋趙爽的文字，但這種思維方式不太符合趙爽時(shí)代的人們的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣.

我們看到，對(duì)這樣未形成定論的內(nèi)容，教科書(shū)在處理時(shí)卻顯得有些草率.

人教社版《數(shù)學(xué)》在73頁(yè)，明確給出了趙爽利用弦圖證明勾股定理的基本思路，這是一種幾何方法，用出入相補(bǔ)原理來(lái)證明的.

華師大版《數(shù)學(xué)》在52頁(yè)安排了“讀一讀”，介紹了弦圖和趙爽；之前“試一試”使用拼圖和計(jì)算面積驗(yàn)證(或者證明)了勾股定理. 課文中沒(méi)有明確給出趙爽的證明方法，但聯(lián)系上下文，容易讓學(xué)生認(rèn)為趙爽是使用代數(shù)方法證明勾股定理.

北師大版《數(shù)學(xué)》第8頁(yè)和第9頁(yè)介紹了證明方法，將大正方形分割成四個(gè)直角三角形和一個(gè)正方形，然后通過(guò)計(jì)算面積驗(yàn)證勾股定理. 雖然沒(méi)有明確指出趙爽的方法，但顯然編者認(rèn)為他是采用代數(shù)方法. 其后12頁(yè)介紹了劉徽用出入相補(bǔ)原理證明勾股定理，但沒(méi)有從幾何方法介紹趙爽的弦圖.

我們認(rèn)為，對(duì)于未有定論的內(nèi)容，教科書(shū)就不應(yīng)該草率地把某種觀點(diǎn)強(qiáng)加給學(xué)生，不可以對(duì)學(xué)生說(shuō)，趙爽就是用這種代數(shù)方法證明勾股定理的，或者說(shuō)趙爽就是用這種出入相補(bǔ)原理證明的. 數(shù)學(xué)教科書(shū)在涉及數(shù)學(xué)史時(shí)要特別注意一個(gè)問(wèn)題，即在向?qū)W生展示史實(shí)，展示重要事件、重要人物與重要成果時(shí)，要尊重歷史. 尊重歷史就是要展現(xiàn)歷史的本來(lái)面目，不能歪曲歷史而誤導(dǎo)學(xué)生，對(duì)有爭(zhēng)議的以及沒(méi)有最終定論的題材應(yīng)給學(xué)生必要的說(shuō)明. ^[4]所以，比較合理的做法是，教科書(shū)先重點(diǎn)介紹其中一種證法，隨后簡(jiǎn)單介紹另一種，同時(shí)聲明本書(shū)傾向于前一種觀點(diǎn)；而學(xué)生可以接受前一種，也可以是后一種觀點(diǎn). 不過(guò)，不管是哪一種，學(xué)生都應(yīng)該經(jīng)過(guò)自己的思考，要有接受這一觀點(diǎn)的理由.

參考文獻(xiàn)

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