楚 瑞

（西安郵電學(xué)院電子與信息工程系，西安710121）

EKF/UKF在編隊(duì)飛行衛(wèi)星GPS相對(duì)導(dǎo)航中的應(yīng)用

楚 瑞

（西安郵電學(xué)院電子與信息工程系，西安710121）

航天器編隊(duì)飛行協(xié)調(diào)工作，必須精確確定各航天器的相對(duì)位置和相對(duì)速度，即進(jìn)行編隊(duì)飛行相對(duì)導(dǎo)航。將擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF，extended Kalman filter）和非線性濾波unscented Kalman filter（UKF）算法同時(shí)應(yīng)用于編隊(duì)飛行衛(wèi)星的載波相位差分GPS相對(duì)導(dǎo)航。EKF與UKF算法原理不同，UKF算法的精度比EKF的精度高。在實(shí)際應(yīng)用中，可以將兩種算法組成互為備份的相對(duì)導(dǎo)航濾波器，這樣可提高濾波系統(tǒng)冗余性能。

擴(kuò)展卡爾曼濾波；UKF；載波相位差分GPS；編隊(duì)飛行衛(wèi)星；相對(duì)導(dǎo)航

1 引 言

隨著現(xiàn)代小衛(wèi)星技術(shù)的迅速發(fā)展，20世紀(jì)90年代后期出現(xiàn)的一種新的衛(wèi)星組網(wǎng)方式ˉˉˉ衛(wèi)星編隊(duì)飛行[1]。在運(yùn)行過(guò)程中，小衛(wèi)星間始終保持較近的距離，彼此密切聯(lián)系，通過(guò)星間通信和信息耦合互相協(xié)同工作，就象一顆大衛(wèi)星一樣完成某項(xiàng)空間任務(wù)。

編隊(duì)構(gòu)型的保持和控制需要精確確定航天器間的相對(duì)位置和相對(duì)速度，即相對(duì)導(dǎo)航[2]。當(dāng)前航天器近距離相對(duì)狀態(tài)的確定往往采用C-W方程（即Hill方程），而在一般情況下航天器間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)是非線性的，編隊(duì)飛行的精確導(dǎo)航需要引入各種相對(duì)測(cè)量裝置進(jìn)行相對(duì)距離、相對(duì)速度和視線角度等觀測(cè)測(cè)量，觀測(cè)量與濾波狀態(tài)所具有的非線性加劇了濾波的非線性性，目前對(duì)于非線性模型的狀態(tài)估計(jì)廣泛采用EKF和UKF。EKF采用非線性系統(tǒng)的線性化模型，只能達(dá)到一階精度。UKF采用粒子濾波的采樣思路，通過(guò)仔細(xì)選擇高斯隨機(jī)變量采樣點(diǎn)（即Sigma采樣點(diǎn)）最小集合來(lái)近似系統(tǒng)的估計(jì)狀態(tài)，當(dāng)通過(guò)非線性方程演化后，它們以二階精度近似非線性系統(tǒng)狀態(tài)的驗(yàn)后分布，且UKF不需要進(jìn)行Jacobian和Hessian矩陣計(jì)算，整體濾波計(jì)算的復(fù)雜度與EKF相同。本文研究了基于EKF/UKF濾波技術(shù)的多航天器編隊(duì)飛行衛(wèi)星相對(duì)導(dǎo)航，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析比較。

2 非線性系統(tǒng)濾波方法簡(jiǎn)介

2.1 EKF濾波

不失一般性，非線性系統(tǒng)可表示為[3]

式中，xk∈Rn表示系統(tǒng)狀態(tài)量，vk∈Rq表示系統(tǒng)過(guò)程噪聲，yk∈Rp表示系統(tǒng)輸出，wk∈Rr表示系統(tǒng)觀測(cè)噪聲。

式中，P為狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣，Kk為卡爾曼增益矩陣，Q為過(guò)程噪聲協(xié)方差矩陣（假設(shè)為零均值高斯白噪聲），R為量測(cè)噪聲協(xié)方差矩陣（仍然假設(shè)為零均值高斯白噪聲）為過(guò)程模型Jacobians矩陣，為量測(cè)模型Jacobians矩陣。

2.2 UKF濾波

對(duì)于UKF，這里仍采用如式（1）所示的系統(tǒng)狀態(tài)描述[4]，其濾波算法描述如下：

1）初始化

若過(guò)程噪聲v和量測(cè)噪聲w具有可加性，X是Sigma點(diǎn)向量，P0是非線性狀態(tài)向量的初始協(xié)方差，Q和R分別是非線性部分過(guò)程噪聲協(xié)方差和量測(cè)協(xié)方差矩陣。設(shè)置初始值如下：

2）計(jì)算Sigma采樣點(diǎn)式中，λ=α2（n+k）-n，常數(shù)α用于確定Sigma采樣點(diǎn)在其均值附近的分布情況，往往給定一個(gè)小的正值，針對(duì)不同的非線性狀態(tài)配置不同的λ值將有助于狀態(tài)濾波的收斂以及濾波精度的提高，k通常被置為零，β包含x分布的先驗(yàn)信息，通常被置為一個(gè)小的正值，是矩陣平方根的第i列是均值和協(xié)方差陣的權(quán)值，上標(biāo)m和c分別表示均值和協(xié)方差。

（3）非線性狀態(tài)的預(yù)測(cè)與更新

預(yù)測(cè)：

更新：

3 編隊(duì)飛行GPS相對(duì)導(dǎo)航

3.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程

圖1 相對(duì)軌道示意圖

如圖1所示，定義相對(duì)軌道位置向量為ρ=[x y z]T，相對(duì)速度向量為相對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為[5]

式中，p表示主星軌道半通徑，rc表示主星軌道地心距，表示主星真近點(diǎn)角速度，vx，vy和vz表示相對(duì)運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)項(xiàng)，采用零均值高斯白噪聲近似表示。真近點(diǎn)角加速度和主星軌道半徑加速度為

若主星軌道為圓軌道，則˙rc=0，p=rc，上述相對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)學(xué)方程（8）、（9）簡(jiǎn)化為如下著名的HCW（Hill-Clohessy-Wiltshire）方程：

3.2 系統(tǒng)觀測(cè)方程

GPS載波相位測(cè)量方程為[6]

主星與輔星的載波相位單差方程為

在載波相位單差方程中，導(dǎo)航星鐘差被消除，在這里假設(shè)各編隊(duì)衛(wèi)星是完全相同的，所以線偏差也被消除，觀測(cè)方程離散化后噪聲的協(xié)方差矩陣為R。如果編隊(duì)參考星與伴隨星的距離為百米級(jí)，可以認(rèn)為它們到同一導(dǎo)航星的視線矢量相同，則可表示為

式中，sj為編隊(duì)參考星到第j顆導(dǎo)航星的視線向量。實(shí)際應(yīng)用中可以通過(guò)偽距定位與接收星歷數(shù)據(jù)中包含的導(dǎo)航星坐標(biāo)信息來(lái)確定。

對(duì)于鐘差項(xiàng)，可以用如下二階馬爾可夫過(guò)程進(jìn)行模擬：

式中，τ為鐘差項(xiàng)，f為頻漂項(xiàng)，Sτ為鐘差，Sf為頻漂的噪聲譜密度。

4 仿真結(jié)果

本仿真以相對(duì)距離1km左右對(duì)地觀測(cè)雙星編隊(duì)為例，進(jìn)行相對(duì)導(dǎo)航濾波解算。編隊(duì)衛(wèi)星軌道參數(shù)如下表1所示：

表1 編隊(duì)衛(wèi)星軌道根數(shù)

GPS數(shù)據(jù)根據(jù)官方服務(wù)網(wǎng)站提供，將上述編隊(duì)衛(wèi)星軌道參數(shù)與GPS參數(shù)輸入STK軟件進(jìn)行仿真，得到實(shí)時(shí)GPS測(cè)量數(shù)據(jù)，在MATLAB下進(jìn)行濾波仿真，仿真結(jié)果如圖2～3所示。

由仿真計(jì)算得到EKF濾波算法均方根（相對(duì)位置為：徑向0.05435m，切向0.03568m，法向0.03148m；相對(duì)速度為：徑向0.018354m/s，切向0.017326m/s，法向0.011376m/s），UKF算法均方根（相對(duì)位置為：徑向0.01168m，切向0.01453m，法向0.01248m；相對(duì)速度為：徑向0.009523m/s，切向0.006789m/s，法向0.008356m/s）。

以上數(shù)據(jù)明顯看出，UKF算法精度高于EKF算法，其本質(zhì)在于對(duì)非線性系統(tǒng)的處理思路不同，UKF算法采用粒子濾波采樣的思路，當(dāng)通過(guò)非線性方程進(jìn)行演化后，它們以二階精度近似非線性系統(tǒng)狀態(tài)的驗(yàn)后分布，而EKF只能達(dá)到一階精度，

但UKF算法的缺點(diǎn)是計(jì)算速度慢，根據(jù)仿真條件（P4 1.6/ddr333 256/40G）可以定量分析出兩者計(jì)算速度：運(yùn)行一次仿真，EKF需10.3s左右，而UKF需40s左右。

圖2 EKF相對(duì)誤差

5 結(jié) 論

載波相位差分GPS以其高精度而受到普遍重視，在地面的測(cè)量中得到廣泛的應(yīng)用，上世紀(jì)90年代以后在航天相對(duì)導(dǎo)航中逐漸得到應(yīng)用，其體積小、質(zhì)量輕，非常適合在編隊(duì)小衛(wèi)星載荷受限制的情況下代替現(xiàn)在普遍采用的導(dǎo)航設(shè)備實(shí)現(xiàn)編隊(duì)的自主相對(duì)導(dǎo)航。

本文運(yùn)用EKF/UKF濾波算法進(jìn)行相對(duì)導(dǎo)航解算，從結(jié)果可以得到兩種濾波算法都達(dá)到很高的相對(duì)導(dǎo)航精度。但EKF算法僅利用非線性系統(tǒng)在狀態(tài)預(yù)測(cè)處的一階泰勒展開(kāi)，而UKF算法采用Sigma點(diǎn)對(duì)狀態(tài)進(jìn)行采樣，使得采樣點(diǎn)統(tǒng)計(jì)特性與狀態(tài)變量一致，其精度可達(dá)到二階以上泰勒展開(kāi)水平。因此使得UKF算法精度比EKF算法精度高，但以計(jì)算時(shí)間加長(zhǎng)為代價(jià)。在實(shí)際航天器應(yīng)用中，可以將兩種算法組成互為備份的相對(duì)導(dǎo)航濾波器，星載計(jì)算機(jī)繁忙或?qū)Ш骄纫蟛桓邥r(shí)，采用EKF進(jìn)行濾波解算，要求提高導(dǎo)航精度時(shí)，采用UKF算法，以提高整個(gè)相對(duì)導(dǎo)航濾波系統(tǒng)的冗余性能。

圖3 UKF相對(duì)誤差

[1] 張洪華，林來(lái)興.衛(wèi)星編隊(duì)飛行相對(duì)軌道的確定[J].宇航學(xué)報(bào)，2002，23（6）：77-81

[2] Michael F，Herve M.Relative GPS navigation for ATV rendezvous[C].ION GPS295 Conf.，California，PalmSpring，1995

[3] Minkler.Theory and application of Kalman filtering[M].Magellan Book Company，1993

[4] Julier S J.A new method for the nonlinear transformation ofmeans and covariances in filters and estimators[J].IEEE Trans.on Automatic Control，2000，45：477-482

[5] Xing G Q.Shabbir A P.Relative attitude kinematicsamp;dynamics and its applications to spacecraft attitude state capture and tracking in large angle slewing maneuvers[C].Space Control Conference，MIT Lincoln Laboratories，April，1999

[6] Hofmann W，Lichtenegger H，Collins J.GPS theory and practice[M].New York Springer，1992-1993

App lication of EKF/UKF in the GPS Relative Navigation for Form ation Flying of Spacecrafts

CHU Rui
（Department of Electronics and Information Engineering，Xi'an Institute of Postamp;Telecommuni cations，Xi'an，710121）

Accurate relative position and velocity determination are required for formation flying of spacecrafts.The comparison of EKF and UKF algorithms for relative navigation based on carrier differential global position system for formation flying is given in this paper.Simulation results indicate that the UKF has better accurate but longer computation time than the EKF since difference of filter's principles.Both filters are used in practical application for consideration of navigation system redundancy and reliability.

extended Kalman filter；unscented Kalman filter；carrier differential global position system；spacecrafts formation flying；relative navigation

TP391.9 V448

A

1674-1579（2008）05-0057-04

2008-05-26

楚瑞（1978-），女，陜西人，助教，研究方向?yàn)橄冗M(jìn)控制理論與應(yīng)用（e-mail：churui@xiyou.edu.cn）。