郭延寧，李傳江，馬廣富

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程系，哈爾濱150001）

基于LQR的小衛(wèi)星磁姿態(tài)控制設(shè)計(jì)

郭延寧，李傳江，馬廣富

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程系，哈爾濱150001）

研究?jī)H采用磁力矩器作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的近地小衛(wèi)星姿態(tài)控制問(wèn)題。通過(guò)對(duì)剛體衛(wèi)星的非線性動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程在平衡點(diǎn)處進(jìn)行線性化處理，得到一個(gè)線性周期時(shí)變系統(tǒng)，應(yīng)用線性二次最優(yōu)調(diào)節(jié)器理論設(shè)計(jì)出最優(yōu)磁矩控制律。最后針對(duì)某小衛(wèi)星進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明所設(shè)計(jì)的最優(yōu)控制律可以很好地完成三軸姿態(tài)穩(wěn)定任務(wù)。

小衛(wèi)星；姿態(tài)控制；LQR；磁控制

1 引 言

小衛(wèi)星具備更快、更好和更省等優(yōu)點(diǎn)，近年來(lái)其研究受到世界各國(guó)的高度重視，成為航天發(fā)展的一個(gè)重要方向。而磁力矩器具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、質(zhì)量輕和功耗低等特性，直接使用磁力矩器對(duì)小衛(wèi)星進(jìn)行姿態(tài)控制也成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)[1]。

國(guó)內(nèi)外很多文獻(xiàn)都涉及了衛(wèi)星姿態(tài)控制器的設(shè)計(jì)，其中大多數(shù)都是采用飛輪或噴氣推力器作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)完成三軸姿態(tài)控制，而使用磁力矩器僅是為了消除章動(dòng)或給飛輪去飽和，很少單獨(dú)使用[2-3]。這主要是因?yàn)榇趴叵到y(tǒng)只能在垂直本地地磁場(chǎng)的方向產(chǎn)生控制力矩，在任意時(shí)刻只有兩軸可控，所以導(dǎo)致對(duì)僅利用磁力矩器的姿態(tài)控制系統(tǒng)的研究進(jìn)展相對(duì)緩慢。直到最近十幾年，隨著周期系統(tǒng)控制在各個(gè)領(lǐng)域的成功應(yīng)用，小衛(wèi)星的磁姿態(tài)控制才引起人們?cè)絹?lái)越多的關(guān)注。

由文獻(xiàn)[4]可知，LQR控制、PID控制、模型預(yù)測(cè)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和滑?？刂频壤碚摱家阎鸩綉?yīng)用到衛(wèi)星磁姿態(tài)控制器的設(shè)計(jì)中。文獻(xiàn)[5]通過(guò)分析周期Riccati方程解的性質(zhì)，利用牛頓迭代法求解微分Riccati方程，設(shè)計(jì)了磁控近地小衛(wèi)星的周期時(shí)變控制器。文獻(xiàn)[6]從傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的角度去分析并求解微分Riccati方程，設(shè)計(jì)的控制律同樣能發(fā)揮較好的性能。但由于兩者在建模時(shí)沒(méi)有考慮磁力矩產(chǎn)生的方向性約束，使得設(shè)計(jì)的控制律并非真正最優(yōu)，有待進(jìn)一步改進(jìn)。

本文主要針對(duì)磁控制力矩產(chǎn)生的方向性約束設(shè)計(jì)基于LQR理論的狀態(tài)控制律，從而實(shí)現(xiàn)真正意義上的最優(yōu)控制。近地小衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)框圖如圖1所示。

圖1 衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)

2 衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)模型

剛體衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程為[7]

沿星體坐標(biāo)系的三軸分別安裝一個(gè)磁力矩器作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，產(chǎn)生的控制力矩為

式中，M∈R3為三軸磁矩，B=[BxByBz]T為星體坐標(biāo)系中的本地地磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量。

由圖2可以看出，磁力矩器只能在與本地地磁場(chǎng)垂直的方向上產(chǎn)生控制力矩。根據(jù)磁力矩器的這種欠驅(qū)動(dòng)的本質(zhì)特點(diǎn)，要使磁力矩器發(fā)揮最大的能量（即產(chǎn)生最大的磁控力矩uc），需引入如下映射

圖2 磁力矩與本地磁場(chǎng)關(guān)系圖

3 LQR控制律設(shè)計(jì)

對(duì)式（4）所示的線性周期時(shí)變系統(tǒng)定義如下性能指標(biāo)：

式中，Q為Q=QT∈R6×6的半正定加權(quán)矩陣，表示系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的動(dòng)態(tài)跟蹤誤差總度量；R為R=RT∈R3×3的正定加權(quán)矩陣，表示消耗的能量總度量。易判斷系統(tǒng)可控，根據(jù)最優(yōu)控制理論，系統(tǒng)存在如下唯一的無(wú)限時(shí)間時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器

式中，P（t）=P（t）T∈R6×6為時(shí)變正定矩陣且是如下微分Riccati方程的解

該微分Riccati方程為非線性微分方程，通常情況下，由于變量之間相互耦合很難求得解析解，一般都需要由計(jì)算機(jī)求出其數(shù)值解，且計(jì)算量非常大。

由文獻(xiàn)[5]可知，式（7）所示的周期Riccati方程的解為周期性的，所以可以離線求得該方程的周期解，將得到的狀態(tài)反饋增益存儲(chǔ)到星載計(jì)算機(jī)中，從而實(shí)現(xiàn)線性周期時(shí)變系統(tǒng)（4）的最優(yōu)控制。

鑒于上述分析，由于地磁場(chǎng)變化緩慢，可以將微分Riccati方程分段離散化處理，在每一段時(shí)刻內(nèi)將系統(tǒng)近似看作定常系統(tǒng)，即首先將其轉(zhuǎn)化為近似的代數(shù)Riccati方程，然后在衛(wèi)星運(yùn)行的軌道周期T內(nèi)對(duì)其進(jìn)行計(jì)算，可得最終解Pinf（t），其分別經(jīng)過(guò)周期內(nèi)離散求解代數(shù)Riccati方程得到P∞（t）和對(duì)P∞（t）周期延拓得到

最終可得系統(tǒng)的LQR無(wú)限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器為

4 仿真驗(yàn)證

在Matlab/Simulink環(huán)境下對(duì)某近地極軌小衛(wèi)星進(jìn)行仿真研究，驗(yàn)證本文提出的LQR時(shí)變反饋控制律。它采用的地磁參考場(chǎng)為IGRF2000模型，衛(wèi)星參數(shù)選取如表1所示。

表1 衛(wèi)星仿真參數(shù)

通過(guò)分段求解方程（7）可得系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益，采用式（8）設(shè)計(jì)的LQR反饋控制律，分別對(duì)干擾力矩為ud和3ud的情形進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖3-6所示。圖3和圖4分別給出了衛(wèi)星在干擾力矩為ud情況下的qbo和ωbo變化曲線，其滾動(dòng)軸姿態(tài)角穩(wěn)態(tài)誤差為±1°（由四元數(shù)誤差轉(zhuǎn)換得到，下同），俯仰軸和偏航軸姿態(tài)角穩(wěn)態(tài)誤差為±0.5°。圖5和圖6分別給出了衛(wèi)星在干擾力矩為3ud情況下qbo和ωbo的變化曲線，相應(yīng)的三軸姿態(tài)角穩(wěn)態(tài)誤差分別為±2.5°、±1.5°和±1.5°。

圖3 干擾力矩為u d時(shí)姿態(tài)四元數(shù)變化曲線

仿真結(jié)果表明，考慮衛(wèi)星實(shí)際運(yùn)行中受到的干擾力矩，應(yīng)用本文設(shè)計(jì)的LQR狀態(tài)反饋控制律，能夠使衛(wèi)星的姿態(tài)四元數(shù)和姿態(tài)角速度均收斂到平衡點(diǎn)的一個(gè)較小范圍內(nèi)。不過(guò)由于磁力矩存在方向性約束，在任意時(shí)刻只有兩軸可控，所以系統(tǒng)一般都需要幾個(gè)軌道周期才能穩(wěn)定下來(lái)，即調(diào)節(jié)時(shí)間比較長(zhǎng)，這也是磁姿態(tài)控制不可避免的缺陷。

圖4 干擾力矩為u d時(shí)姿態(tài)角速度變化曲線

圖5 干擾力矩為3u d時(shí)姿態(tài)四元數(shù)變化曲線

圖6 干擾力矩為3u d時(shí)姿態(tài)角速度變化曲線

5 結(jié) 論

本文主要研究了僅用磁力矩器實(shí)現(xiàn)小衛(wèi)星姿態(tài)主動(dòng)控制問(wèn)題，建立線性化的近地小衛(wèi)星模型，并基于LQR的無(wú)限時(shí)間時(shí)變最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器理論設(shè)計(jì)衛(wèi)星的線性周期時(shí)變系統(tǒng)磁姿態(tài)控制律。通過(guò)在一個(gè)軌道周期內(nèi)離散地求解代數(shù)Riccati方程并將其結(jié)果作周期延拓處理，得到周期時(shí)變最優(yōu)磁控制律。數(shù)學(xué)仿真結(jié)果驗(yàn)證了該控制算法在實(shí)現(xiàn)三軸姿態(tài)穩(wěn)定任務(wù)時(shí)的可行性和有效性。

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An LQR-Based Magnetic Attitude Control Design for Sm all Satellite

GUO Yanning，LIChuanjiang，MA Guangfu
（Dept.Control Science and Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China）

The attitude control problem of low earth orbit（LEO）satellites actuated by magnetorquers only is investigated.By linearizing the nonlinear dynamic and kinematic equations of rigid satellites，a linear periodically time-varing system is obtained.The linear quadratic optimal regulator theory is applied to design an optimal control law for magnetorquers.Simulation results show that the designed optimalmagnetic control law can stabilize three-axis attitude of satellites effectively.

small satellite；attitude control；linear quadratic regulator（LQR）；magnetic control

V448.2

A

1674-1579（2008）05-0061-04

2008-03-31

郭延寧（1985-），男，山東人，碩士研究生，研究方向?yàn)楹教炱髯藨B(tài)確定與控制（e-mail：nning-1@163.com）。