作者簡介：王繼延，理學碩士. 曾執(zhí)教高中十余年，并任中學校長. 現(xiàn)為華東師范大學數(shù)學系教授，國家數(shù)學課程標準核心組成員，全國初中數(shù)學實驗教科書（華東師大版）常務副主編，教育部基礎司項目“全國初中畢業(yè)、升學考試評價”數(shù)學學科負責人. 作為主編或主要人員參與編寫或翻譯多本數(shù)學教育專業(yè)著作與教材，如《全國初中數(shù)學實驗教科書》《基礎教育新課程師資培訓指導（初中數(shù)學）》《數(shù)學教與學研究手冊》《數(shù)學教學理論選講》《數(shù)學物理方程》《文科數(shù)學-數(shù)學思想和方法》與《高中數(shù)學選修讀本》等書，在《人民教育》《數(shù)學學報》《高等數(shù)學研究》《生態(tài)學報》《數(shù)學教學》等雜志上發(fā)表多篇文章.

讀者朋友，你會認識圖形嗎？你知道點、線、面之間的內(nèi)在聯(lián)系嗎？你會邏輯推理嗎？下面請王教授給你一一指點吧.

你可能還記得北京奧運會的精彩場面吧.那時全國各地喜氣洋洋，走到街上，一眼望去，滿街上喜慶的大紅燈籠映紅了大人小孩的臉龐；五個靈氣十足的奧運福娃更是引來了大人小孩的頻頻歡呼.

你是否注意到那喜慶場面中形形色色的圖案，形狀、顏色不一的大紅燈籠，“北京歡迎你”的奧運福娃，迎風招展的五星紅旗……這一切都與我們今天所要討論的話題——“圖形的初步認識”有關(guān).

走在街上，映入我們眼簾的都是一個個空間物體，若去掉一些外觀的因素，剩下的就是由點、線、面組成的數(shù)學圖形：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等.實際上你從小就玩過這些形狀的物體，現(xiàn)在你有了一些較為理性的認識，知道這些圖形和那些有類似之處，也有相異的地方.你一定能從一大堆立體圖形中挑選出你所喜歡的形狀，搭起一座富有詩意的“建筑物”.

那么從數(shù)學的角度，如何認識立體圖形呢？我們常見的方法就有三種.第一種是直觀圖，這是你在美術(shù)課上經(jīng)常畫的圖形.第二種是三視圖，人們發(fā)現(xiàn)只要知道從三個不同方向（正面、側(cè)面與上面）所看到的物體的平面圖形——主視圖、側(cè)視圖與俯視圖，就可以認識這個立體形狀的物體.下面圖1給出的就是遠程直升飛機的三視圖.你能猜出圖2中的兩組圖形是哪兩種圖形的三視圖嗎？你還能畫出由5個大小一樣的長方體堆成的圖形（如圖3）的三視圖嗎？第三種就是立體圖形的表面展開圖.這也應該是你早就看到過的事實.中秋佳節(jié)，一家人會聚在一起，一邊吃月餅，一邊賞月，多么美好??！那時你是否也會發(fā)現(xiàn)，將月餅包裝盒打開攤平，就是一個長方體的表面展開圖？當然為了能構(gòu)成一個包裝盒，它還多了一些邊角料.當然不是每一個立體圖形的表面都可以展開成平面圖形，你最喜歡玩耍的圓球——籃球、排球、足球、乒乓球……它們的表面就無法展開成平面圖形.以后你就會知道其中的奧秘了.現(xiàn)在請你試試看，相信你一定可以迅速說出下列各圖形（如圖4）分別是哪些多面體的表面展開圖.

對于體與面的關(guān)系，我們還可以從其他角度加以分析.將一個平面圖形繞著某一根軸旋轉(zhuǎn)一周，便產(chǎn)生了一個立體圖形.生活中，有時會看到這種景象：一扇門繞著門軸旋轉(zhuǎn)一周，就產(chǎn)生了一個立體的圓柱.與“面的運動可以形成體”同樣的道理，“線的運動可以形成面”，“點的運動可以形成線”.可以說，點和線是最基本的幾何圖形.有了點和線，就有了角.有了角，就可以研究線與線的相互關(guān)系——相交線和平行線.

不知你是否發(fā)現(xiàn)，原先較多采用的量一量、看一看的直觀的方法，現(xiàn)在有了一些變化.那就是多了一些“說理”的數(shù)學形式過程.人們常說“言必有據(jù)”，也就是告訴我們，說話一定要有根據(jù).

例如“對頂角相等”，我們可以對圖形中的任意兩個對頂角用量角器進行度量，發(fā)現(xiàn)它們都具有相等的關(guān)系；我們還可以將兩個對頂角中的一個角繞著它的頂點旋轉(zhuǎn)，觀察發(fā)現(xiàn)它恰好能與另一個角重合，即兩角相等.

這些都是實驗操作的直觀的方法，運用這樣直觀的方法，我們可以探索發(fā)現(xiàn)一些有用的結(jié)論，這是解決問題的開始，是一個重要的學習過程.然而度量可能會產(chǎn)生誤差，旋轉(zhuǎn)可能會因紙張的粗糙產(chǎn)生偏差.那么要使人們確信，就必須運用數(shù)學上的推理，即通常所說的“邏輯推理”.

下面就是“對頂角相等”的邏輯推理過程.

如圖5，因∠1+∠2=180°（∠1，∠2互補），故∠1=180°-∠2（等式的性質(zhì)）.又因∠3+∠2=180°（∠3，∠2互補），所以∠3=180°-∠2（等式的性質(zhì)）.故∠1=∠3（等量代換）.同理可推得∠2=∠4.即對頂角相等.

你看，這里一步緊扣一步，步步有據(jù)，沒有一點漏洞.盡管這些步驟看上去有點枯燥，但相信你經(jīng)過一段時間的探索學習，一定會感到這同樣也是數(shù)學的美！

試試看，相信你，一定可以完成以下這個問題：

在空白處填上正確的依據(jù)或結(jié)論.

如圖6，已知∠1=∠B.

∴AD∥BC（）.

∴∠D+ =180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）.

數(shù)學學習離不開必要的數(shù)學說理，因此在你觀察剖析、操作實驗、歸納猜想的同時，也必須注意運用數(shù)學邏輯推理，務必使兩者很好地有機結(jié)合.

現(xiàn)在再回過頭去看看，你就會發(fā)現(xiàn)你已經(jīng)認識了不少數(shù)學圖形，有立體的，也有平面的.你對探索幾何問題有了一些初步的體會，注意到解決問題需要將合情推理與邏輯推理兩者結(jié)合，才能使你的聰明才智得到充分的發(fā)揮.

今天關(guān)于圖形的話題，僅僅是你在初中階段學習幾何的開始，只是初步的認識.源自生活的幾何圖形的世界豐富多彩，形形色色的圖形，各有各的特征，各有各的奧秘，有了它們的幫助，你的數(shù)學本領就會越來越大，你就可以描繪出更具詩意的畫面.

最后，請你思考下面的問題，看自己能否獨立解決.

如圖7，讓我們且用“紙板盒”來稱呼一種用兩個正方體黏合而成的長方體.我們將只認可這樣的紙板盒組合體：其中每個紙板盒至少以一個整面（正方形或長方形）與另一個的其他部分黏合.在這種定義下，用兩個紙板盒事實上只能構(gòu)成兩種組合體.那么，用三個紙板盒能構(gòu)成多少種組合體呢？

提示：把三個紙板盒按題目要求組合起來的樣式有11種，如果不是下意識地規(guī)定紙板盒在黏合時必須將正方體與正方體對齊，組合體還不止這些.取消了這一限制，就會有無窮多種組合體.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”。