郭在峰

【摘要】化歸是解決數(shù)學問題最基本的手段之一,幾乎所有問題的解決都離不開化歸。從化歸的方向上來看,可以化“未知”為“已知”,化“一般”為“特殊”。教師要采取有效的教學策略滲透化歸思想方法:擁有扎實的基礎知識、完整的知識結構是實現(xiàn)化歸的必要條件;樹立化歸意識,提高轉化能力是實現(xiàn)化歸思想方法教學的關鍵;善于挖掘教材中蘊含的化歸思想方法,不斷總結化歸法的一般原理,把化歸思想方法的教學融于各個環(huán)節(jié)之中,讓學生切實感受到化歸思想方法的存在形式及其發(fā)揮的作用。

【關鍵詞】數(shù)學化歸思想教學策略

“問題是數(shù)學的心臟”,數(shù)學問題的解決是數(shù)學教學中的一個重要組成部分,化歸是解決數(shù)學問題的最基本的手段之一,幾乎所有問題的解決都離不開化歸。化歸思想的實質就是將一個新問題進行變形,使其轉化為另一個已經解決的問題,從而使原來的問題得到解決?；瘹w思想包含三個要素:化歸的對象、化歸的目標和化歸的途徑。要正確運用化歸思想,就要認清化歸的對象,明確要化歸的目標,選擇恰當?shù)幕瘹w途徑。從化歸的方向上來看,化歸的方向大致可以分為兩種。

一、化“未知”為“已知”

前蘇聯(lián)數(shù)學家雅諾夫思卡婭說:“解題——就是意味著把所要解的問題轉化為已經解過的問題?！痹诔踔袛?shù)學中,有許多新知識的獲得或新問題的解決都是通過轉化為已知知識或已解決的問題來完成的,也就是將新知識向已知知識點或知識塊轉化,從而使問題得到解決。在代數(shù)方程求解時大多采用“化歸”的思路,它是解決方程(組)問題的最基本的思想。即將復雜的方程(組)通過各種途徑轉化為簡單的方程(組),最后歸結為一元一次方程或一元二次方程。這種化歸過程可以概括為“高次方程低次化,無理方程有理化,分式方程整式化,多元方程組一元化”。

例如,一元二次方程的四種基本解法:

1.形如(x+m)²=n(n≥0)的方程轉化為兩個一次方程:x+m=±n,進而得解x_1,2=m+±n,此為開平方。2.如果將方程通過配方恒等變形,一邊化為含未知數(shù)的完全平方式,另一邊為非負的常數(shù),則其后的求解可由思路1完成,此為配方法。3.如果方程一邊為零,一邊能分解成兩個一次因式之積,就可以得到兩個因式分別為零的一次方程,它們的解都是原方程的解,此為因式分解法。4.如果以上三條思路受阻,便可把方程整理為一般形式,直接利用公式求解。

分析4種方法,不難發(fā)現(xiàn),開平方法,它是依據(jù)平方根的意義將二次方程轉化為一次方程,即由(x+m)²=n(n≥0)轉化為x+m=±n,完成了由“二次”向“一次”的轉化。方法2中的“配方”則是方程的恒等變形,把問題轉化為“可開方”,并未“降次轉化”,但已為“二次”向“一次”轉化創(chuàng)造了條件,配方法的實質就是轉化為開平方來解決的。方法3因式分解法,依據(jù)是“若干個因式之積為零時,則其中至少有一個因式為零”,據(jù)此,也順利地實現(xiàn)了由“二次”轉化為“一次”的目的。方法四即所謂公式法,對一般的一元二次方程,通過配方,轉化為開平方求得一般結論,即求根公式。公式法以強調結論,實際上已將解方程轉化成為代數(shù)式的求值問題,而公式的得到則是化歸思想的典型體現(xiàn)。

二、化“一般”為“特殊”

先解決特殊條件、特殊情況的問題,然后,通過恰當?shù)幕瘹w途徑把一般情況下的問題轉化為特殊情況下的問題來解決,這也是解決新問題獲得新知識的一種重要的化歸方向。初中教材中有許多一般性問題是用特殊化法解決的,如圓周角定理的證明,先證明圓心在圓周角一條邊上這種特殊情況,然后,把這種證明思路應用到圓心在角的內部、外部的非特殊情況證明上,最后進行歸納,使問題得以解決。

例如,正方形ABCD的對角線相交于點O,O又是正方形A1B1C1O的一個頂點,兩個正方形的邊長相等,那么無論正方形A1B1C1O繞點O怎樣轉動,兩個正方形重疊部分的面積,是否變化,若變化請說明理由,若不變請求出。分析:一般情況下,兩個正方形重疊部分是一個四邊形,不易確定其面積的大小。不妨將繞O旋轉的正方形置于特殊位置,此時,易得重疊部分(△AOB)的面積是正方形ABCD面積四分之一的,余下的問題就是證明在一般情形下,重疊四邊形OEAF的面積等于△OAB面積。用割補法,證△OAE≌△ODF即可。

此題的解決都是先解決特殊條件、特殊情況下的問題,然后,通過恰當?shù)幕瘹w方法把一般情況下的問題轉化為特殊情況下的問題來解決,這也是順利解決某些問題的一種重要的化歸方向,它在獲得新知識解決新問題的過程中時常發(fā)揮著意想不到的作用。

那么,在日常教學中如何更好地滲透和落實化歸思想呢?

一、擁有扎實的基礎知識、完整的知識結構是實現(xiàn)化歸的必要條件

注重概念、公式、法則等基本數(shù)學知識的教學,是尋求化歸目標的基礎。從某種意義上說,中學數(shù)學教學實際上是數(shù)學模型的教學,建立數(shù)學模型是實現(xiàn)問題的規(guī)范化和程序化,運用模型的過程即是轉化與化歸的過程。

系統(tǒng)的知識結構,是發(fā)現(xiàn)化歸方向的前提。在平時教學中,教師幫助學生完善知識結構,如做好單元小結,制作知識結構圖或列知識表是完善知識結構使知識系統(tǒng)化、板塊化的有效方法之一。通過表格或網絡圖,知識之間的相互聯(lián)系、依存關系一目了然,為問題的轉化提供了準確的方向。

數(shù)學方法的積累,為探求化歸途徑帶來便利。學困生之所以拿到基本題沒有思路,其根本原因是其知識結構殘缺不全,平時不注重數(shù)學方法的積累。

二、樹立化歸意識,提高轉化能力是實現(xiàn)化歸思想方法教學的關鍵

數(shù)學是一個有機整體,它的各部分之間相互聯(lián)系、相互依存、相互滲透,我們在研究數(shù)學問題的過程中,常需要利用這些聯(lián)系對問題進行適當轉化,使之達到簡單化、熟悉化的目的。要實施轉化,首先須明確轉化的一般原理,掌握基本的化歸思想和方法,并通過典型的問題加以鞏固和練習。因此,在平時的教學中,注重引導學生通過觀察、分析,由問題的條件、圖形特征和求解目標的結構形式聯(lián)想到與其有關的定義、公式、定理、法則、性質、數(shù)學解題思想方法、規(guī)律以及熟知的相關問題解法,通過轉化,建立條件和結論之間的橋梁,從而找到解題的思路和方法。要求學生掌握基本的化歸方法,初中階段常用的化歸方法有恒等變換法,具體包括分解法、配方法、待定系數(shù)法等:其次是映射反演法,具體包括換元法、坐標法等。

三、善于挖掘教材中蘊含的化歸思想方法,不斷總結化歸法的一般原理

把化歸思想方法的教學融于各個環(huán)節(jié)之中,讓學生切實感受到化歸思想方法的存在形式及其發(fā)揮的作用。

在概念形成過程中滲透化歸思想;在定理、公式的探究過程中深化化歸思想;在問題解決過程中領悟化歸思想;在知識的歸納總結過程中概括化歸思想。

化歸思想貫穿整個初中數(shù)學,讓學生在學習的過程中要有意識地體會這種科學的思維方法,有利于在解決問題的過程中,保持思維通暢、運用方法恰當,從而達到事半功倍的效果。

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