杭圣平

分類討論是一種重要的數(shù)學思想方法和解題策略，在求解函數(shù)、方程、不等式、排列組合，幾何等數(shù)學問題中有廣泛的應(yīng)用。含有分類因素的題目是不是拿到手就分類討論呢?不然，有時候分類討論是解決問題的必須，但它并非都是解決問題的上策或良策，要注意克服動輒加以討論的思維定勢，應(yīng)結(jié)合題目認真而細致地分析，充分挖掘題目中所給的條件，避免不必要的分類討論，使解題過程簡捷明快，現(xiàn)舉例說明。

1. 分離參數(shù) 在含參數(shù)的方程或不等式中，若能通過適當?shù)淖冃危狗匠袒虿坏仁降囊欢酥缓袇?shù)的解析式，另一端是無參數(shù)的主變元函數(shù)，從而分離參數(shù)，反客為主，往往可以避免繁瑣的討論。

例1. 設(shè)函數(shù)y = log2(mx²-2x+2)的定義域為A，集合B =[12，2](1)若A = R，求m的取值范圍。(2)若 A∩B≠眨求m的取值范圍。(3)若log2(mx²-2x+2) > 2在B上恒成立，求m的取值范圍。

分析：(2)由于mx²-2x+2>0中m的符號不確定，用一元二次方程的根的分布去討論明顯比較繁瑣，若將m分離出來，轉(zhuǎn)變成求函數(shù)最值，問題就會變得簡單了。(3)去掉對數(shù)符號后其做法同(2)，轉(zhuǎn)變成求函數(shù)最值問題。

解：(1)略。(2)mx²-2x+2>0在集合B =[12，2]上有解，等價于-m2<1x²-1x在集合B = [12，2]上有解，于是-m2<[1x²-1x]﹎ax，即m > - 4。(3)mx²-2x-2>0在集合B = [12，2]上恒成立，等價于m2>1x²+1x在集合B =(12，2)上恒成立，于是m2>1x²+1x﹎ax，即m>12。

2. 消除參數(shù) 有些問題表面上看起來含有參數(shù)，但是通過適當?shù)淖冃?，可以將參?shù)消除，這樣就回避了對參數(shù)的討論。

例2.設(shè)正數(shù)a、b、c、d滿足(a-1)(b-1)<0<(a-1)(c-1)且log璬a+log璬b=log璬c，則|log璬a|與|log璬b|的大小關(guān)系為

分析：一般比較兩個數(shù)的大小可采用兩種方法：(1)作差，(2)作商。若作差，去絕對值符號必定要討論d的取值，而作商，利用換底公式就可以巧妙地避免對參數(shù)的討論解：由log璬a+log璬b=log璬c可得c=ab，因|log璬alog璬b|=|log璪a|，于是|log璬alog璬b|=|log璪cb|=|log璪c-1|又log璪c <0 |log璪c-1|>1，所以|log璬a|>|log璬b|

3. 數(shù)形結(jié)合 一些問題中涉及到的函數(shù)圖象比較熟悉，可以作出它們的圖象，研究數(shù)形之間的關(guān)系，挖掘隱含條件，從而避免討論，達到化繁為簡的作用。

例3.關(guān)于實數(shù)x的不等式|x-(a+1)²2|≤(a+1)²2與x²-3(a+1)x+2(3a+1)≤0(其中a∈R)的解集依次為A與B，求使A罛的a的取值范圍。

分析：集合A易求，而集合B中的兩個根的大小無法判定，需要分類討論，但畢竟幾種情況比較麻煩，數(shù)形結(jié)合就能回避這些問題。

解：由題意可知A =[2a ，a²+1]，集合B滿足：(x-2)[x-(3a+1)]≤0，令f(x)=(x-2)[x-(3a+1)]∵A罛∴A中的元素全屬于f(x)≤0的解集，由二次函數(shù)的圖象得：f(2a)≤0

f(a²+1)≤0 ，即2(a-1)(-a-1)≤0

(a²-1)(a²-3a)≤0 解集為{a|1

4. 巧用解析式 在求圓錐曲線的標準方程時，缺乏定位的條件，可采用方程的變化形式來表示焦點在不同坐標軸上的圓錐曲線，利用待定系數(shù)法，就得出了要求的結(jié)論，從而避免了討論。

例4.求中心在原點，對稱軸為坐標軸，且經(jīng)過P(-7，62)和Q(27，-3)兩點的雙曲線方程。

分析：若設(shè)標準方程為：x²a²-y²b²=1來解，雖可得到正確答案，但解題過程少了焦點在y軸上的情況，一般圓錐曲線過兩個已知點時，其標準方程可設(shè)為：ax²-by²=1 (a，b同號)可避免討論。

解：設(shè)雙曲線的方程為ax²-by²=1 (a，b同號)有：

由已知雙曲線經(jīng)過P(-7，62)和Q(27，-3)，代入49a-72b=1

28a-9b=1解得a=1/25

b=1/75所以所求的雙曲線的標準方程為：x²25- y²75=1

5. 不正則反 有些問題，分類討論比較麻煩，若考慮問題的對立面，即從結(jié)論的反面去思考和探索，得出反面結(jié)論，再結(jié)合集合性質(zhì)，可將題目化難為易，避免討論。

例5、如果二次函數(shù)y = mx² + (m - 3)x +1的圖象與x軸的交點至少有一個在原點的右側(cè)，試求m的取值范圍。

分析：若從正面求解，必須要對“兩交點均在原點右側(cè)”、“一個交點在原點右側(cè)另一個交點在原點左側(cè)”等情況進行分類討論，比較繁瑣；若從反面考慮問題，即先考慮兩個交點都在原點左側(cè)(包含原點)時m的取值范圍，再用補集來求解問題會變得簡單。

解：若方程mx² + (m - 3)x +1=0有兩個負根，則：

△=(m-3)² - 4m≥0

3-mm <0

1m≥0 解之得 m≥9或m≤1

m<0或m>3

m>0

即：m≥9

取其補集得m < 9，且必須滿足△≥0與m≠0，故m的取值范圍為m≤1且m≠0。

總之，法無定法，貴在得法，只要選取的角度適當，就能找到更好的解題途徑。

收稿日期：2009-03-02

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”