馮占余

一、彈簧問(wèn)題

（一）彈力的考查

考點(diǎn)1：彈簧處于拉長(zhǎng)和壓縮兩種狀態(tài)的彈力計(jì)算。

解題策略：找到原長(zhǎng)，分析是拉長(zhǎng)還是壓縮，確立彈力方向，用牛頓定律求解。

例1用勁度系數(shù)分別為k1和k2的兩根彈簧連接質(zhì)量分別為m1和m2的物體如圖1所示，系統(tǒng)處于平衡。現(xiàn)在用一木板將m2緩慢托起，當(dāng)兩彈簧總長(zhǎng)等于兩彈簧原長(zhǎng)之和時(shí)，m2向上移動(dòng)的距離為_(kāi)________。

圖1

解析 經(jīng)分析當(dāng)兩彈簧總長(zhǎng)等于兩彈簧原長(zhǎng)之和時(shí)，k2應(yīng)被壓縮，k1被拉長(zhǎng)，并且k1和k2的形變量相同。設(shè)其形變量為x，由m1處于平衡得：k1x+k2x＝m1g；假設(shè)原來(lái)k1伸長(zhǎng)y，k2伸長(zhǎng)z，對(duì)于m2由平衡得：k2z＝m2g，對(duì)于m1和m2的整體由平衡得：k1y＝（m1+m2）g。

m2向上移動(dòng)的距離為h＝y(tǒng)+z+2x＝m2g++m1g+。

考點(diǎn)2：彈簧彈力與繩、桿、接觸面的彈力區(qū)別在于不能突變。

例2如圖2所示，質(zhì)量分別為m1、m2的A、B兩物體用輕彈簧連接起來(lái)，放在光滑水平桌面上?，F(xiàn)用水平力向右拉A，當(dāng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，它們共同運(yùn)動(dòng)的加速度為a，則當(dāng)拉力突然停止作用的瞬間，A、B的加速度分別是（）

圖2

A． 0和a B． a和0

C． －和a D． 和a

解析 撤除拉力前，對(duì)B由牛頓定律得彈簧彈力N=ma，方向向右。撤除拉力后彈簧彈力不變，故B的加速度不變，A的加速度變?yōu)橄蜃?，a′==，答案為C。

（二） 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

考點(diǎn)：課本中彈簧振子模型的變式問(wèn)題。

解題策略：當(dāng)物體與彈簧相連，除彈簧彈力以外的力是恒力，且與彈簧形變?cè)谝粭l直線上時(shí)，物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。利用簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性解題，可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化。

例3如圖3所示，一根用絕緣材料制成勁度系數(shù)為k的輕彈簧，左端固定，右端與質(zhì)量為m、電荷量為+q的小球相連，靜止在光滑絕緣水平面上。當(dāng)施加一個(gè)場(chǎng)強(qiáng)為E、水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)后，小球開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。試說(shuō)明小球做何種運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中離出發(fā)點(diǎn)的最大距離和最大的彈性勢(shì)能。

圖3

解析 類比豎直方向的彈簧振子，（電場(chǎng)力類比重力）可知小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。平衡位置時(shí)彈簧伸長(zhǎng)，由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)對(duì)稱性可知球離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)的最大距離為。球離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)時(shí)，彈性勢(shì)能最大，此時(shí)的彈性勢(shì)能等于電場(chǎng)力做的功。

（三）彈簧做功和彈性勢(shì)能的考查

考點(diǎn)：彈簧彈力做功與重力做功有類似特點(diǎn)，彈力做正功，彈性勢(shì)能減少，減少的彈性勢(shì)能等于彈簧彈力的功。彈性勢(shì)能僅與彈簧的形變量有關(guān)，拉長(zhǎng)和壓縮相同量時(shí)，彈性勢(shì)能相同。

解題策略：處理彈性勢(shì)能通常采用能量轉(zhuǎn)化的思想，避開(kāi)直接處理彈性勢(shì)能，一般選取初末態(tài)形變量相同，彈性勢(shì)能變化為零；或者采用同一過(guò)程列兩個(gè)方程，解方程時(shí)消掉彈性勢(shì)能。

例4有一傾角為θ的斜面，其底端固定一擋板M，另有三塊木塊A、B和C，它們的質(zhì)量分別為mA=mB=m，mC=3 m，它們與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)都相同。其中木塊A連接一輕彈簧放于斜面上，并通過(guò)輕彈簧與檔板M相連，如圖4所示。開(kāi)始時(shí)，木塊A靜止在P處，彈簧處于自然伸長(zhǎng)狀態(tài)。木塊B在Q點(diǎn)以速度v0向下運(yùn)動(dòng)，P、Q間的距離為L(zhǎng)。已知木塊B在下滑過(guò)程中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，與木塊A相碰后立即一起向下運(yùn)動(dòng)，但不粘連，它們到達(dá)一個(gè)最低點(diǎn)后又向上運(yùn)動(dòng)，木塊B向上運(yùn)動(dòng)恰好能回到Q點(diǎn)?，F(xiàn)在木塊A仍靜止于P點(diǎn)，若木塊C從Q點(diǎn)開(kāi)始以初速度v0向下運(yùn)動(dòng)，經(jīng)歷同樣過(guò)程，最后木塊C停在斜面上R點(diǎn)，求P、R間的距離L′的大小。

解析 物體勻速下滑mgsinθ=μmgcosθ，即滑動(dòng)摩擦因數(shù)u=tanθ。B、A相碰動(dòng)量守恒，設(shè)碰后速度為v1，則mv0=2mv1。設(shè)A向下運(yùn)動(dòng)的最大位移為s，A、B下滑受到的合外力為彈簧彈力，設(shè)A、B克服彈簧彈力做功W，則由動(dòng)能定理W=×2mv21，整理得W=mv20。當(dāng)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)A、B分離，設(shè)此時(shí)速度為v2，對(duì)A、B整體從P點(diǎn)出發(fā)到再次回到P點(diǎn)的過(guò)程，重力和彈簧彈力做功均為零，只有摩擦力做功，設(shè)返回P點(diǎn)時(shí)速度為v2，由動(dòng)能定理得-μ?2mgcosθ?2s=×2mv22-×2mv21。B分離后上升到Q點(diǎn)，由動(dòng)能定理得

-（mgsinθ + μmgcosθ）L=-mv22

整理得4mgsinθ?s=mv20-4mgLsinθ①

對(duì)于C：C、A碰撞動(dòng)量守恒3mv0=4mv3。設(shè)A向下運(yùn)動(dòng)的最大位移為s′，克服彈簧彈力做功W′，則W′=×4mv23，整理得W =mv20，所以s′=s。設(shè)A、C整體返回P點(diǎn)時(shí)速度為v4，從P點(diǎn)出發(fā)到再次回到P點(diǎn)的過(guò)程，由動(dòng)能定理得

-μ?4mgcosθ?2s′=×4mv24-×4mv23

A、C分離后從P到R，由動(dòng)能定理得

-（3mgsinθ+μ?3mgcosθ）L′=-×3mv24，整理得

8mgsinθ?s=mv20-8mgsinθ?L′②

解得L′=L-。

二、板塊問(wèn)題

（一）用勻變速直線運(yùn)動(dòng)知識(shí)解決

考點(diǎn)：運(yùn)動(dòng)中的參照物，勻變速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。

解題策略：采用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解，應(yīng)優(yōu)先考慮平均速度，勻變速運(yùn)動(dòng)推論以及運(yùn)動(dòng)的速度—時(shí)間圖象，忌直接采用s=v0t+at2等基本公式求解，這樣運(yùn)算量過(guò)大。

例5如圖5所示，在一光滑的水平面上有兩塊質(zhì)量相同的木板B和C。重物A（視為質(zhì)點(diǎn)）位于B的右端，A、B、C的質(zhì)量相等。現(xiàn)A和B以同一速度滑向靜止的C，B與C發(fā)生正碰，碰后B和C粘在一起運(yùn)動(dòng)，A在C上滑行，A與C有摩擦力。已知A滑到C的右端而未掉下。試問(wèn)：從B、C發(fā)生正碰到A剛移動(dòng)到C右端期間，C所走過(guò)的距離是C板長(zhǎng)度的多少倍？

解析 此題的典型解法是采用動(dòng)量和能量求解，同學(xué)們一般問(wèn)題不大。在這里想談一下采用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解的一些技巧。

方法一：采用平均速度

設(shè)A和B的初速度為v，由碰撞動(dòng)量守恒知B和C碰完時(shí)C的速度為vC=，A的速度仍為v=v，最后A到達(dá)C的最右端時(shí)A、C速度均為v′C=v′A=v。此過(guò)程A和C做勻變速運(yùn)動(dòng)，C的位移sC=t（t為此過(guò)程的時(shí)間），A的位移sA=t，C板長(zhǎng)度L=sA－sC，解得=。

方法二：圖象法

如圖6所示，作出A和C運(yùn)動(dòng)的速度—時(shí)間圖象（圖中AB曲線為C木塊的圖象，CB曲線為A木塊的圖象），梯形OABD的面積等于C的位移，三角形ACB的面積等于C板長(zhǎng)度，從而得解。

（二）用動(dòng)量、能量觀點(diǎn)解決

考點(diǎn)：動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒、動(dòng)能定理、能量守恒等規(guī)律的綜合運(yùn)用。

例6如圖7所示，一質(zhì)量為M＝4 kg、長(zhǎng)為L(zhǎng)＝1.4 m的木板靜止在光滑的水平面上，木板的最右端放一質(zhì)量為m＝1 kg的小滑塊，滑塊和木板的摩擦因數(shù)為μ＝0.4。在木板上作用一恒力F＝28 N將木板從滑塊下抽出，求F作用的最短時(shí)間。

解析 F作用階段，木板和滑塊都向右加速，由于木板的加速度大于滑塊的加速度，故F撤去時(shí)，滑塊仍然向木板的左端滑，當(dāng)?shù)竭_(dá)最左端二者同速，滑塊恰好滑離木板。設(shè)F作用的時(shí)間為t，二者共同速度為v，在滑塊從一端到達(dá)另一端的過(guò)程中，由于地面光滑，系統(tǒng)的外力和為F，對(duì)系統(tǒng)使用動(dòng)量定理得Ft=（M+m）v，解得v=5.6t。F作用階段木板的加速度設(shè)為a，則由牛頓定律得F－μmg=Ma解得a=6 m/s2，此過(guò)程木板的位移s=?at2，解得s=3t2，F(xiàn)做功W=Fs=84t2，滑塊從一端到另一端系統(tǒng)內(nèi)能增量為Q=μmgL=5.6 J，由能量守恒定律得W=Q+（M+m）v2，解得t=1 s。

三、傳送帶問(wèn)題

（一）對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題的考查

考點(diǎn)：考查滑動(dòng)摩擦力、靜摩擦力間的突變。

解題策略：滑動(dòng)摩擦力產(chǎn)生在相對(duì)滑動(dòng)的物體間，用f=μN(yùn)計(jì)算。當(dāng)物體間存在相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)時(shí)，物體間存在靜摩擦力，靜摩擦力的計(jì)算要由牛頓定律求，取值范圍滿足－fmax≤f靜≤fmax。

例7如圖8所示，水平傳送帶的長(zhǎng)度L=5 m，皮帶輪順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)?，F(xiàn)有一小物體（視為質(zhì)點(diǎn)）以水平速度v0= m/s從A點(diǎn)滑上傳送帶，越過(guò)B點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，其水平位移為s。已知物體與傳送帶的摩擦因數(shù)為μ=0.04，B端距地面的高度為h=5 m，現(xiàn)在改變傳送帶的速度v，試作出傳送帶不同速度時(shí)小物體的水平位移s的圖象。（g=10 m/s2）

解析 取地面為參照物，①設(shè)小物體一直做加速運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，到達(dá)B點(diǎn)的速度為v1，則v21-v20=2aL，μmg=ma，代入數(shù)據(jù)解得v1=3 m/s。若傳送帶速度v≥3 m/s，則物體將一直加速到達(dá)B點(diǎn)，到達(dá)B點(diǎn)的速度為3 m/s，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得h=gt2，s=v1t，解得t=1 s，s=3 m。②設(shè)小物體一直做減速運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，到達(dá)B點(diǎn)的速度為v，則v20-v22=2aL，解得v2=1 m/s。若傳送帶速度v≤1 m/s，則物體將一直減速到達(dá)B點(diǎn)，到達(dá)B點(diǎn)的速度為1 m/s，解得s=1 m。③若傳送帶速度1 m/s＜v＜ m/s，則物體將先減速到等于皮帶的速度v，然后隨皮帶一起勻速運(yùn)動(dòng)一段，到達(dá)B點(diǎn)的速度為v，拋出后s=v（m）。若傳送帶速度 m/s＜v＜3 m/s，則物體將先加速到皮帶的速度v，然后隨皮帶一起勻速運(yùn)動(dòng)一段，到達(dá)B點(diǎn)的速度為v，拋出后s=v（m）。若傳送帶速度為v= m/s，則物體一直勻速運(yùn)動(dòng)，拋出后s=v（m）。作出圖象如圖9所示。

（二）綜合考查力學(xué)規(guī)律

例8一傳送帶裝置示意圖如圖10所示，其中AB部分水平，長(zhǎng)10 m，BC部分傾斜，長(zhǎng)2.5 m，傾角為30°，傳送帶勻速運(yùn)動(dòng)，速度為5 m/s。現(xiàn)要利用傳送帶將小貨箱由A處送至C處，已知每個(gè)小貨箱質(zhì)量m=20 kg，與傳送帶的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。小貨箱可視為質(zhì)點(diǎn)，從A處釋放時(shí)速度為零，并且當(dāng)前一個(gè)貨箱相對(duì)皮帶靜止時(shí)立即放上下一個(gè)貨箱（不計(jì)輪軸的摩擦）。求：（1）傳送帶上至多有幾個(gè)小貨箱。（2）傳送帶傳送貨箱過(guò)程中電動(dòng)機(jī)的最大功率和最小功率分別是多少？（3）從第一個(gè)貨箱放上傳送帶至其到達(dá)C點(diǎn)的過(guò)程中電動(dòng)機(jī)做功的平均功率。

解析 （1）貨箱與皮帶打滑過(guò)程：t1==1 s，貨箱位移s1=t=2.5 m，皮帶位移s2=vt=5 m。如圖11所示，當(dāng)放貨箱時(shí)與前一貨箱距離均為2.5 m，相對(duì)皮帶靜止的相鄰貨箱間距5 m。當(dāng)?shù)谝粋€(gè)貨箱到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，第3個(gè)貨箱相對(duì)皮帶剛好靜止，當(dāng)?shù)?個(gè)貨箱到C點(diǎn)，第4個(gè)貨箱剛好相對(duì)皮帶靜止，故傳送帶上至多有3個(gè)小貨箱。

（2）當(dāng)一個(gè)貨箱處在斜面上時(shí)，皮帶對(duì)小貨箱的摩擦力為靜摩擦力f靜=mgsin30°（恰好等于最大靜摩擦力），皮帶對(duì)其做功的功率為P1=f靜v=500 W。此時(shí)恰有一貨箱在水平部分打滑，f=μmg，皮帶對(duì)其做功的功率為P′1=fv=500 W，此時(shí)電動(dòng)機(jī)做功功率最大Pmax=1 000 W。當(dāng)只有一個(gè)貨箱在水平部分打滑時(shí)功率最小Pmin=P′1=500 W。

（3）第一個(gè)貨箱從A到C的時(shí)間為t2=t1+t勻=3 s，小貨箱增加的機(jī)械能等于E1=3×mv2+mgh=1 000 J，小貨箱與傳送帶間增加的內(nèi)能E2=3f（s2－s1）=750 J，電動(dòng)機(jī)的平均功率為P==583 W。