李　娜

有成語“深入淺出”,指講話或文章的內(nèi)容深刻,語言文字卻淺顯易懂。欲做好課堂教學這篇“文章”,又何嘗離得開深入與淺出呢?特別是數(shù)學教學,由于內(nèi)容及其思想的深刻性是學科的重要特征,因此深入與淺出都成了值得研究的問題。筆者愿和讀者就數(shù)學教學中的“深入”與“淺出”問題作一些探討。

一、深入概念核心

就內(nèi)容來講,一個概念的核心就是此概念的內(nèi)涵本質(zhì)。但教學過程中學生(甚至還有教師)對概念的內(nèi)涵本質(zhì)常常缺乏理解,認識不夠深刻。其實,認識概念的本質(zhì)有一個層次的深入問題,如同手剝一支春筍,筍殼層層剝來,春筍性質(zhì)不變但本質(zhì)逐步顯現(xiàn)。

1.對曲線與方程概念本質(zhì)的第一層認識。曲線與方程的概念分解為“曲線的方程”和“方程的曲線”兩個概念,本質(zhì)是(1)曲線上點的坐標都是這個方程的解(純粹性);(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點(完備性)。這是教材直接呈現(xiàn)的內(nèi)容,對教師來說沒什么問題,對學生來說只是有點“顛來倒去”的復(fù)雜但也并不難于理解。

2.對曲線與方程概念本質(zhì)的第二層認識。追問一個問題:“曲線的方程”和“方程的曲線”實際上是在講一個什么問題?郭老師這樣概括:實際上是兩個點集的等價。一個是曲線上所有的點構(gòu)成的集合,另一個是方程所有的解所對應(yīng)的點構(gòu)成的集合。如果這兩個集合相等,那么方程是曲線的方程,曲線是方程的曲線.筆者贊同這樣的分析。這是在給定一個方程和一個曲線的前提下問題的本質(zhì)和關(guān)鍵所在,因為學生在學習本內(nèi)容之前,對這兩個集合的區(qū)別是缺乏重視的,而這一點恰恰是本課的主要教學目標之一。

3.對曲線與方程概念本質(zhì)的第三層認識。再追問一個問題:“曲線的方程”和“方程的曲線”是哪來的?兩位老師作了回答:因為有了坐標系。什么是坐標系?“直角坐標平面是構(gòu)成平面直角坐標系的物質(zhì)基礎(chǔ)……而平面直角坐標系則是點P與其坐標之間一套對應(yīng)法則,也就是從點到數(shù),從數(shù)到點的相互轉(zhuǎn)化的映射。”

對于同一個數(shù)學概念,人們可以從不同的角度,以不同的深度去剖析它的本質(zhì)。學習一個概念取決于對它的理解,而理解的含義就應(yīng)該是對概念本質(zhì)的把握。

二、觸及思想方法

所謂數(shù)學思想方法,是數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括, 它蘊涵在數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中。數(shù)學教學的深入,不僅表現(xiàn)在對內(nèi)容本身的深入理解上,領(lǐng)悟內(nèi)容所帶來的數(shù)學思想方法是另一種方式的深入。在曲線與方程的概念中,思想方法極其豐富。

1.等價思想。等價思想直接附著在“曲線的方程”和“方程的曲線”這兩個孿生概念上。一方是曲線C,另一方是方程,一個是幾何對象,另一個是代數(shù)對象,在一定的條件下它們是等價的。有了曲線與方程的概念,以后可以“指著曲線說方程”、“指著方程說曲線”,譬如,我們說拋物線。

2.坐標法思想。為什么一個幾何對象能與一個代數(shù)對象等價呢?這就是坐標系的功勞,是坐標法思想的直接產(chǎn)物。所謂坐標法思想,就是通過以坐標為對象的代數(shù)研究來獲得幾何結(jié)論的思想與方法。這也是一種數(shù)形轉(zhuǎn)化思想,是解析幾何的核心思想。

3.軌跡思想。簡單地說,將幾何圖形看成動點軌跡的思想就是軌跡思想。從點與坐標的對應(yīng)到曲線與方程的對應(yīng),其中軌跡思想是使其必然的關(guān)鍵因素。我們說平面是二維的,在坐標平面內(nèi)的自由動點的軌跡就是整個平面。

三、教學活動低起點

有效教學必須基于學生的學習基礎(chǔ),它包括知識、能力、認知等諸多因素水平。有效的教學活動需要“低起點”。以設(shè)計曲線與方程概念的教學活動為例,教材直接用“平分第一、三象限的直線的方程”和“以為圓心、r為半徑的圓的方程”的分析來組織教學活動,內(nèi)容是學生所熟悉的,問題是具有代表性的,手段是簡單的,指向是直接的。

在本次課題會上,兩位開課教師在該問題上都采用了教材的內(nèi)容,但是活動設(shè)計卻值得商榷。其中一位老師的做法是引領(lǐng)學生回顧教材“直線與方程”和“圓與方程”兩章的“章頭語”,另一位老師的做法是用“位置的確定”生活實例。兩位老師都想從“坐標法思想”入手,然而教學活動涉及的內(nèi)容離課題太遠、思想性太強,因而活動的起點太高,致使學生“不知教師想干什么” 。

教學活動低起點,要求教師在組織教學活動時,選擇的材料要簡潔,呈現(xiàn)的問題要明了,要能使學生都“動起來”。低起點的核心是思維起點比較低,要使大多數(shù)學生能開始有效的思考。起點低不等于要求低,因為思維有一個發(fā)生與發(fā)展的過程,高要求是逐步實現(xiàn)的。這也是教學之“淺出”的藝術(shù)。

四、思想滲透多落點

數(shù)學教學需要重視數(shù)學思想方法,這是大家比較一致的觀點。但是,在如何進行數(shù)學思想方法教學的問題上,人們似乎有不同的認識。有的教師在課堂內(nèi)直接與學生大談特談數(shù)學思想方法,也有其他的教師在評價這樣的課堂時說“該教師十分重視數(shù)學思想方法”的教學。筆者不贊同這樣的做法和說法。

筆者以為,思想方法的教學不同于一般知識的教學,思想方法更多地具有“默會知識”屬性,不在于教師如何說教而在于學生怎樣領(lǐng)悟。教師可以偶爾與學生談一點思想方法范疇的感悟,但更多地需要教師去創(chuàng)設(shè)能讓學生感悟到數(shù)學思想方法的問題情境。也就是說,數(shù)學思想方法的教學應(yīng)更多地依賴于“滲透”,而不是“頭腦風暴”。

曲線與方程的概念中蘊涵了豐富的而且是深刻的數(shù)學思想方法。這些思想方法的教學需要分散滲透到各個具體內(nèi)容、具體教學過程中去。滲透是一個逐步達成的過程,絕對不是這一節(jié)課就要全部完成的目標。課堂教學中的“深入”與“淺出”是一對矛盾,處理好這對矛盾是教學的藝術(shù)。

(河北省石家莊市井陘礦區(qū)外國語學校)