肖鑒鏗

新課標(biāo)實(shí)施以來(lái),統(tǒng)計(jì)與概率納入了小學(xué)數(shù)學(xué)課程。人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》從一年級(jí)下冊(cè)至六年級(jí)下冊(cè),都安排了統(tǒng)計(jì)與概率的內(nèi)容。其中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容居多,涉及概率的有三年級(jí)上冊(cè)、五年級(jí)上冊(cè)、六年級(jí)下冊(cè)。筆者認(rèn)為,在領(lǐng)悟概率概念的基礎(chǔ)上認(rèn)清隨機(jī)事件本質(zhì),是提高概率教學(xué)實(shí)效的前提。

一、概率論的基本概念與特點(diǎn)概述

在一定條件下,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的試驗(yàn)結(jié)果稱為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱事件,用A、B、C…表示。隨機(jī)事件有兩個(gè)特殊情況,即必然事件(在一定條件下,每次試驗(yàn)都必定發(fā)生的事件)和不可能事件(在一定條件下,各次試驗(yàn)都一定不發(fā)生的事件),分別記為Ω和Φ。

隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生,固然是無(wú)法事先肯定的偶然現(xiàn)象,但當(dāng)進(jìn)行多次重復(fù)試驗(yàn)時(shí),就可以發(fā)現(xiàn)其發(fā)生的可能性大小的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。具體說(shuō)來(lái),如果在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)實(shí)驗(yàn),事件A出現(xiàn)了n次,那么事件A在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率,/m當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)呈現(xiàn)穩(wěn)定性。這一統(tǒng)計(jì)規(guī)律性表明事件發(fā)生的可能性大小是事件本身所固有的、不以人們主觀意志改變的一種客觀屬性。事件A發(fā)生的可能性大小稱為事件A的概率,記作P(A)。當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n足夠大時(shí),可用事件的頻率近似地表示該事件的概率,即P(A)≈m/n。這一定義被稱為概率的統(tǒng)計(jì)定義。簡(jiǎn)而言之,這個(gè)定義就是“概率是頻率的穩(wěn)定值”。

設(shè)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)(不能事先準(zhǔn)確地預(yù)言它的結(jié)果,而且在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn))只有有限個(gè)不同的基本事件ω1,ω2…ωn(基本事件也是一種事件,一般的事件總是由幾個(gè)基本事件共同組成的),每個(gè)基本事件都是等可能的,基本事件的全體記作Ω,稱它為基本事件空間。如果事件A由k(k≤n)個(gè)不同的基本事件組成,那么規(guī)定A的概率為P(A)=k/n。這一定義被稱為概率的古典定義。

隨機(jī)事件的本質(zhì)特點(diǎn)是:一次試驗(yàn),結(jié)果不定;多次試驗(yàn),呈現(xiàn)規(guī)律。

按古典概率定義算得的事件A的概率P(A),只是理論上的數(shù)值,少量的試驗(yàn)中事件A的頻率與之通常會(huì)有較大的差異。但當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n足夠大時(shí),其頻率將在概率P(A)附近擺動(dòng)。這個(gè)事實(shí)表明:概率的統(tǒng)計(jì)定義與古典定義是相通的、統(tǒng)一的。

二、對(duì)教材和教師教學(xué)用書(shū)中若干瑕疵的分析

1.對(duì)概率的統(tǒng)計(jì)定義理解有誤

概念是理論的基石。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中盡管只用“可能性”來(lái)代替“概率”,但教師對(duì)概率的定義應(yīng)有清晰、正確的認(rèn)識(shí)和理解。須特別指出的是,教師不能盡信教師教學(xué)用書(shū)上的表述。

例如,在論及拋硬幣活動(dòng)的有關(guān)問(wèn)題時(shí),人民教育出版社出版的五年級(jí)上冊(cè)《教師教學(xué)用書(shū)》第173頁(yè)有如下表述:“當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)增大時(shí),正面朝上的頻率和反面朝上的頻率都越來(lái)越逼近1/2。這實(shí)際上就是概率的統(tǒng)計(jì)定義思想。”與概率的統(tǒng)計(jì)定義比較,可明顯看出這一表述中的錯(cuò)誤。事實(shí)上,頻率“呈現(xiàn)穩(wěn)定性”只是說(shuō),隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大,頻率將會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng),并不意味著頻率向這個(gè)常數(shù)“越來(lái)越逼近”。舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子,某人在做拋硬幣試驗(yàn)時(shí),很可能第一次是正面朝上,第二次是反面朝上。這時(shí)正面朝上的頻率和反面朝上的頻率就已經(jīng)都是1/2。但隨著n從2增大到3,這兩個(gè)事件的頻率必定有一個(gè)是2/3,而另一個(gè)是1/3,這能算是“越來(lái)越逼近1/2”嗎?

再如,五年級(jí)上冊(cè)教材第102頁(yè)練習(xí)二十一第1題為:“桌上擺著9張卡片,分別寫(xiě)著1~9各數(shù)。如果摸到單數(shù)小明贏,如果摸到雙數(shù)小芳贏。(1)這個(gè)游戲公平嗎?(2)小芳一定會(huì)輸嗎?(3)你能設(shè)計(jì)一個(gè)公平的規(guī)則嗎?”

由于1~9這9個(gè)數(shù)中有5個(gè)奇數(shù)、4個(gè)偶數(shù),所以小芳贏的概率只有4/9,而輸?shù)母怕蕝s為5/9,游戲顯然有失公平。可是,五年級(jí)上冊(cè)《教師教學(xué)用書(shū)》第177頁(yè)中對(duì)此題的解答作了如下建議:“雖然游戲規(guī)則對(duì)小芳不利,但是在一次或有限次試驗(yàn)中,小芳卻不一定會(huì)輸。因?yàn)檫@里的5/9和4/9都是一個(gè)理論值,是在大量重復(fù)試驗(yàn)下抽到單數(shù)和雙數(shù)的頻率的極限?！?/p>

這段表述中有兩處錯(cuò)誤:

其一,對(duì)“有限”的理解有誤?！坝邢蕖笔窍鄬?duì)于“無(wú)限”而言的,“有限次”并非只表示“少數(shù)幾次”?！坝邢蕖币部梢员硎竞芏?如1萬(wàn)次、1億次、1萬(wàn)億次……只要次數(shù)是一個(gè)確定的常數(shù),都可稱為“有限次”。所以只能說(shuō)“在一次或少數(shù)幾次的試驗(yàn)中,小芳不一定輸”,而不能說(shuō)“在有限次試驗(yàn)中,小芳不一定會(huì)輸”。因?yàn)楫?dāng)試驗(yàn)進(jìn)行了1萬(wàn)次或1億次時(shí),規(guī)律應(yīng)能顯現(xiàn):小芳在總體上必輸無(wú)疑。

其二,對(duì)概率的統(tǒng)計(jì)定義的理解有誤。概率并非“頻率的極限”。為弄清其中的道理,我們不妨把進(jìn)行了n次試驗(yàn)時(shí),事件A出現(xiàn)的頻率記為xn,x1,x2,x3…xn…就組成一個(gè)無(wú)窮數(shù)列xn。如果認(rèn)定xn以概率P(A)為極限,就可寫(xiě)成“xn=P(A)”。而按照數(shù)列極限的“?著-N”定義,這個(gè)式子就要等價(jià)于以下表述:“對(duì)于每一個(gè)預(yù)先給定的無(wú)論怎么小的正數(shù)?著,總存在一個(gè)正整數(shù)N,使得對(duì)于大于N的一切正整數(shù)n,都有xn-P(A)< ?著?！倍聦?shí)上,我們是找不到這樣的N的。原因很簡(jiǎn)單,當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),頻率只是呈現(xiàn)出穩(wěn)定性,而不是向概率P(A)無(wú)限接近。

綜上所述,無(wú)論是“頻率越來(lái)越逼近概率”還是“概率是頻率的極限”,都是對(duì)頻率與概率關(guān)系的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí),是對(duì)概率的統(tǒng)計(jì)定義的錯(cuò)誤理解。

2.對(duì)隨機(jī)事件的本質(zhì)認(rèn)識(shí)不清

隨機(jī)事件的本質(zhì)屬性是:一次試驗(yàn),結(jié)果不定;多次試驗(yàn),呈現(xiàn)規(guī)律。教師在教學(xué)中應(yīng)以通俗的語(yǔ)言、形象的描繪向?qū)W生傳播這一基本思想。令人遺憾的是,由于教材和教師教學(xué)用書(shū)中存在不少瑕疵,導(dǎo)致了教師對(duì)隨機(jī)事件的本質(zhì)屬性認(rèn)識(shí)不到位。

(1)三年級(jí)上冊(cè)教材第108頁(yè)練習(xí)二十四第6題:“全班每人擲一次(硬幣),正面朝上的有人,反面朝上的有人?！贝祟}的編排意圖是什么?如果說(shuō)是為了讓學(xué)生明白總會(huì)出現(xiàn)“正面朝上”或“反面朝上”兩種結(jié)果的話,那筆者以為學(xué)生對(duì)此早有體驗(yàn),實(shí)無(wú)必要。難道是為了驗(yàn)證這兩個(gè)隨機(jī)事件的概率都是1/2?帶著這個(gè)問(wèn)題,筆者查閱了三年級(jí)上冊(cè)《教師教學(xué)用書(shū)》。該書(shū)第163頁(yè)寫(xiě)道:“讓全班一起擲一次,是為了使試驗(yàn)次數(shù)足夠多以減少誤差。由于實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論概率存在的差異,也可能得不到預(yù)期的結(jié)果,可以再讓學(xué)生擲幾次,增加試驗(yàn)的總次數(shù),盡量使實(shí)驗(yàn)結(jié)果接近理論概率?！惫黄淙?只可惜把問(wèn)題想得太簡(jiǎn)單了!

歷史上不少數(shù)學(xué)家都進(jìn)行過(guò)大量的拋幣試驗(yàn),而教師教學(xué)用書(shū)卻認(rèn)為“讓全班一起擲一次”試驗(yàn)次就“足夠多”了,科學(xué)性方面顯然有所缺失。其實(shí),即或“再讓學(xué)生擲幾次”也算不上“足夠多”,很難達(dá)到“使實(shí)驗(yàn)結(jié)果接近理論概率”的目標(biāo)。

(2)三年級(jí)上冊(cè)教材第107頁(yè)第5題如下:下表是從紙袋中摸20次的結(jié)果(摸出一個(gè)棋子后再放回去)。紙袋里的黃棋子多還是紅棋子多?

此題是要學(xué)生根據(jù)頻率反推出紙袋中兩種棋子的多少。只試驗(yàn)了20次,憑什么來(lái)推斷?推斷“紅棋子多”固然有道理,但有可能兩種棋子同樣多,也有可能黃棋子比紅棋子更多。在試驗(yàn)次數(shù)較少的情況下,這種“倒掛”的現(xiàn)象完全有可能發(fā)生。

(3)五年級(jí)上冊(cè)教材第100頁(yè)練習(xí)二十第1題:“正方體的各面分別寫(xiě)著1、2、3、4、5、6,擲出每個(gè)數(shù)的可能性都是……”五年級(jí)上冊(cè)教師教學(xué)用書(shū)第175頁(yè)對(duì)此題的教學(xué)作了如下建議:“第一題因?yàn)檎襟w各部分很均勻和規(guī)則,所以在投擲后6個(gè)面朝上的可能性相等,都是1/6。教學(xué)時(shí)可讓學(xué)生先說(shuō)說(shuō)自己的看法,再讓他們動(dòng)手試驗(yàn)。最好多投幾次,并作好記錄,以發(fā)現(xiàn)其中的概率規(guī)律?！?/p>

筆者認(rèn)為,如果真的要讓學(xué)生“發(fā)現(xiàn)其中的概率規(guī)律”,就不能僅僅建議“最好多投幾次”,而應(yīng)要求學(xué)生“必須投擲多次”。否則,只讓學(xué)生試驗(yàn)個(gè)百十來(lái)次,還不如不做。因?yàn)椴蛔鰧W(xué)生還信,做后學(xué)生反而不信,豈不是自找麻煩?

三、對(duì)小學(xué)概率教學(xué)的幾點(diǎn)建議

筆者不揣淺陋,愿就如何提高小學(xué)概率教學(xué)實(shí)效提幾點(diǎn)建議,供同仁參考。

1.要向?qū)W生傳播概率論的基本思想

在教學(xué)中,教師要著重向?qū)W生傳播以下基本思想:

(1)大千世界,確定性事件畢竟只是少數(shù),而隨機(jī)事件卻大量存在。隨機(jī)事件的普遍性決定了概率論應(yīng)用的廣泛性。

(2)等可能性來(lái)自事物天然的對(duì)稱性。硬幣和骰子質(zhì)地均勻、構(gòu)造對(duì)稱,轉(zhuǎn)盤(pán)上各扇形面積相等都是這種對(duì)稱性的表現(xiàn)。

(3)對(duì)等可能事件,可按其對(duì)稱性算出其概率,這種算法雖說(shuō)只是推理的結(jié)果,但其合理性與正確性已被前人通過(guò)大量試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)所驗(yàn)證。這也說(shuō)明了“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)”。

(4)隨機(jī)事件的特點(diǎn)是:一次試驗(yàn),結(jié)果不定;多次試驗(yàn),呈現(xiàn)規(guī)律。這就表明“偶然中寓有必然”,這就是對(duì)立統(tǒng)一的辯證思想。

2.不要輕易讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作試驗(yàn)驗(yàn)證概率

對(duì)于古典概率的數(shù)值,只要向?qū)W生說(shuō)明其合理性即可,不要輕易讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作試驗(yàn)去驗(yàn)證。因?yàn)榇螖?shù)多了,時(shí)間不夠;次數(shù)少了,又往往事與愿違。教師應(yīng)靈活處理教材中的相關(guān)例題和習(xí)題。在學(xué)生按教材的安排去嘗試做驗(yàn)證性的試驗(yàn)前,教師應(yīng)預(yù)先告知他們:只做少量的試驗(yàn),結(jié)果未必理想,這正是隨機(jī)事件偶然性的表現(xiàn),不必感到奇怪。要想結(jié)果比較理想,應(yīng)當(dāng)在課外去完成大量的試驗(yàn),次數(shù)通常不應(yīng)少于1 000次,而且多多益善。

3.允許學(xué)生對(duì)一些問(wèn)題有自己的獨(dú)立見(jiàn)解

概率論研究的對(duì)象是隨機(jī)事件。隨機(jī)事件的發(fā)生與否存在著諸多偶然性因素。不同的人、不同的視角往往會(huì)得出不同的看法,因此,應(yīng)當(dāng)允許學(xué)生在思考時(shí)有自己的見(jiàn)解。

某校六年級(jí)曾出過(guò)下面的測(cè)試題:“學(xué)校舉行乒乓球比賽,在決賽前公布了參加決賽的兩個(gè)同學(xué)的資料(如下表)。

(1)決賽中( )獲勝的可能性大。

(2)如果學(xué)校要推選1個(gè)選手參加校際比賽,應(yīng)該推薦( )比較合適。

大多數(shù)學(xué)生在第一個(gè)括號(hào)里填“小明”,在第二個(gè)括號(hào)里填“小強(qiáng)”。但幾個(gè)數(shù)學(xué)成績(jī)一貫拔尖的學(xué)生都不約而同地在兩處都填了“不確定”三個(gè)字。這件事在教師中引起了爭(zhēng)議:有的教師認(rèn)為這幾個(gè)學(xué)生是“別出心裁”,也有的教師認(rèn)為應(yīng)當(dāng)尊重學(xué)生的意見(jiàn)。筆者也持后一種態(tài)度。就按(1)小題而言,莫說(shuō)這兩人過(guò)去的成績(jī)不相上下,即便是水平相差較大,決賽的勝負(fù)仍然難以預(yù)料,因?yàn)橐匀鮿購(gòu)?qiáng)之事在諸多體育比賽中屢見(jiàn)不鮮。至于第(2)小題,依我愚見(jiàn),推薦誰(shuí)都不合適。因?yàn)轶w育比賽應(yīng)當(dāng)崇尚公平競(jìng)爭(zhēng)、“更高、更快、更強(qiáng)”,任何諸如民主推薦、長(zhǎng)官圈定之類的做法,都是與奧林匹克精神背道而馳的。

三年級(jí)上冊(cè)教材第108頁(yè)練習(xí)二十四第1題,要求對(duì)“花是香的”“月亮繞著地球轉(zhuǎn)”“石獅子在天上飛”3個(gè)事件用“一定”“不可能”“可能”進(jìn)行選擇填空。筆者認(rèn)為,除“月亮繞著地球轉(zhuǎn)”應(yīng)填“一定”外,其余兩個(gè)事件均應(yīng)填“可能”。理由很簡(jiǎn)單:花兒品種繁多,其中一種名為“尸臭花”不僅沒(méi)有香味,反而其臭無(wú)比;而當(dāng)龍卷風(fēng)襲來(lái)時(shí) ,“石獅子在天上飛”的奇景也未必不可能出現(xiàn)。(作者單位:江西省南昌師范高等?？茖W(xué)校)

作者簡(jiǎn)介:全國(guó)優(yōu)秀教師、江西省勞動(dòng)模范、江西省特級(jí)教師,自1994年10月起享受國(guó)務(wù)院特殊津貼,江西省教育學(xué)會(huì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會(huì)副理事長(zhǎng),江西省教育廳中小學(xué)教材審查委員會(huì)成員。在全國(guó)四十多種報(bào)刊上發(fā)表論文四百余篇,出版了《怎樣上好小學(xué)數(shù)學(xué)課》《小學(xué)教壇漫思錄》等專著。

□責(zé)任編輯 鄧園生