董志強

該不該改變最初的選擇

下面要講到的例子與美國20世紀70年代的一個電視節(jié)目有關(guān),其中的概率計算曾困擾著成千上萬的大眾。在節(jié)目中,節(jié)目參與者將在三扇門之間選擇其中一扇。這三扇門中有且僅有一扇門的后面放著獎品,另外兩扇門則放著諷刺性禮品比如雞崽或者笨驢。當節(jié)目參與者選定一扇門之后,主持人就會打開另外兩扇門中沒有獎品的一扇。然后在剩下的兩扇關(guān)閉的門中,主持人會問參與者要不要改變最初的選擇。

這里的問題就是:參與人希望獲得獎品,而不是獲得諷刺性禮品,那么現(xiàn)在仍關(guān)閉的兩扇門中,他應(yīng)當堅持最初的選擇呢?還是改變主意選擇另外一扇門?

大多數(shù)人憑直覺認為,剩下的兩扇門中,每扇門后有獎品或沒有獎品的概率各占50%。因此,改變主意選擇另外一扇門和堅持最初的選擇不改變,預(yù)期的贏利是一樣的。的確,這種思路看來是沒有什么錯。因為在做最初的選擇時,選擇“碰巧是”正確的概率為三分之一,而一旦選擇之后,剩下兩扇門,參與者從主持人的行為中所能得到的信息就只是將信念修正為自己選擇正確的概率為二分之一,選擇失誤的概率也是二分之一。此外沒有任何其他的信息改善。因此,他堅持原來的選擇似乎可以說得過去。

但是,上述看法并不符合真實的情況。真實的情況是,若參與者改變自己最初的選擇,那么獲得獎品的概率是三分之二,若不改變最初的選擇,則獲得獎品的概率僅為三分之一。他應(yīng)該改變自己最初的選擇。

奇怪的是,將這個結(jié)果告訴參與者后,他們還常常難以理解為什么會這樣。一種比較淺顯的解釋是這樣的:在最初的選擇中,選擇了錯誤門的概率是三分之二。如果參與人一開始的確選擇了錯誤的門,那么主持人隨后必然打開空門,而沒有被打開的那一扇就必然有獎品,此時參與人顯然應(yīng)該改變主意轉(zhuǎn)換到自己沒選擇也沒有被打開的那扇門。如果最初的選擇中參與人的確選正確了(概率為三分之一),那么他顯然應(yīng)該堅持,并因此獲得獎品。也就是說,如果參與人一開始就選錯了,則參與人應(yīng)該換門并一定獲得獎金,如果參與人一開始就選對了,則應(yīng)該堅持并一定獲得獎金——于是,轉(zhuǎn)換門獲得獎金的概率與不轉(zhuǎn)換門獲得獎金的概率實際上就是最初選擇是正確和錯誤的概率。而一開始,選擇錯誤的概率是三分之二,正確的概率是三分之一。因此,在不知自己選擇是正是誤的情況下,在第二階段改變主意轉(zhuǎn)換到另一扇門,的確增加了獲得獎品的概率。

對于有些喜歡做實驗的讀者,如果你不明白上述道理,那么我建議你做這樣一個游戲:準備三張撲克和一枚硬幣,讓你的朋友來當節(jié)目主持人將三張牌鋪在桌面上(并將那枚硬幣放在其中一張之下);然后你來選擇一張牌;你的朋友從你沒選取的牌中拿走沒有硬幣的一張,再問你是否改變你當初選的牌。為了證明轉(zhuǎn)換選擇比不轉(zhuǎn)換選擇更有可能獲得獎品,你可以嘗試以“轉(zhuǎn)換選擇”為策略進行數(shù)十次(比如50次)實驗,再以“不轉(zhuǎn)換選擇”為策略進行同樣多次數(shù)(比如50次)的實驗。結(jié)果你會發(fā)現(xiàn)什么?你將發(fā)現(xiàn)“轉(zhuǎn)換選擇”的策略中得到硬幣的次數(shù)基本上是“不轉(zhuǎn)換選擇”策略中得到硬幣的次數(shù)的兩倍,而這兩種策略中硬幣出現(xiàn)的頻率也基本上分別接近三分之二和三分之一。

當然,在一次性節(jié)目中,并不允許這樣的重復(fù)實驗。而且大多數(shù)人的確也不明智地選擇了“不轉(zhuǎn)換選擇”。我曾在學生中做過這個實驗,結(jié)果32人中有20人堅持“不轉(zhuǎn)換選擇”。這說明大多數(shù)人不清楚這樣復(fù)雜的概率思考。更有意思的是,我跟我太太玩這個游戲時,她也是堅持“不轉(zhuǎn)換選擇”。當我告訴她如果轉(zhuǎn)換可以成倍提高獲獎概率時,她卻說:如果我開始選對了,轉(zhuǎn)換后結(jié)果錯了就會后悔,所以心理素質(zhì)好的就不應(yīng)該轉(zhuǎn)換。當然,她說的已經(jīng)不是純粹的概率計算,但也不是沒有道理的。人們的行為的確不僅受制于各種精心的算計,也往往受制于某些心理因素(比如后悔)。不過,我對她的答案疑問在于:“如果開始選擇對了,那么后來轉(zhuǎn)換了選擇會令人后悔。但是,如果后來你知道開始的選擇錯了,而你又沒有轉(zhuǎn)換選擇,你就不后悔沒有轉(zhuǎn)換嗎?”太太的回答更經(jīng)典:“一開始選擇錯了,我只認為是運氣不好,沒什么可后悔的;如果開始對了,后來轉(zhuǎn)換錯了,才是后悔的?！边@讓我立即想到人們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｌ岬降牡览?從沒得到的東西,也就不會有失去它的痛苦,而已經(jīng)得到的失去了,就會深感創(chuàng)傷。從太太的回答中,我突然明白了為什么行為博弈理論現(xiàn)在大行其道。

為什么不允許選擇

不知道讀者朋友有沒有逛蔬菜瓜果市場的經(jīng)歷?我雖很少去逛,但偶爾有空的時候也會陪太太去買菜。在市場里,可以很容易發(fā)現(xiàn)某些水果或其他物品是事先裝袋并明碼標價的;或者雖然事先沒有裝袋,但是賣家不允許買家進行挑選,如果要挑選則要提高單位售價。這是什么原因呢?

一種非常直觀的解釋可以是:有些水果不適宜太多翻動,比如櫻桃,如果挑選行為太多可能會導(dǎo)致櫻桃被弄傷,不好看也不好賣。這固然可以成為原因之一,但還不能解釋全部的原因。有些干果(如花生)和水果(如蘋果),翻動次數(shù)基本上不會影響其外觀和內(nèi)在質(zhì)量,但是也不允許挑揀;而有些干果(如核桃)和水果(如西瓜)則允許挑揀。這是為什么?

更好的一種解釋是賣家為了避免逆向選擇問題。花生、蘋果之類,雖然挑揀行為不影響其外觀和內(nèi)在質(zhì)量,但是每一?；ㄉ?、每一個蘋果的內(nèi)在質(zhì)量是可以直接觀察到的,而賣家的定價是按照其平均內(nèi)在質(zhì)量給出的,因此不允許挑揀,賣家就可以平均質(zhì)量的價格賣出平均質(zhì)量的物品,不會吃虧。如果允許挑揀,那么人們挑揀購買的物品質(zhì)量將超過待售物品的平均質(zhì)量,若他們還支付平均質(zhì)量的價格,賣家就會虧損。所以,賣家不會允許買家挑選,如果買家非要挑選就必須支付高于平均質(zhì)量價格的價格。

相反,核桃、西瓜之類,其內(nèi)在質(zhì)量不可直接觀察,買家難以使得挑選出的物品之平均質(zhì)量超過待售物品的平均質(zhì)量,賣家便不會虧損?；蛘?不排除有些非常有經(jīng)驗的精明買家,他們的確可以使得自己挑選的核桃或西瓜比待售的核桃或西瓜平均質(zhì)量要高,而他們也只付出了待售物品的平均質(zhì)量價格,所以他們賺了;但是只要不是所有的買家都有此識別能力,那么賣家也不會虧損,因為被挑選之后的核桃和西瓜平均內(nèi)在質(zhì)量難以觀察,那些沒有經(jīng)驗的買家無法得到額外的信息來修正待售物品內(nèi)在質(zhì)量的信念,所以他們還是支付平均質(zhì)量價格(這會使他們成為虧家)。實際上,存在有經(jīng)驗的買家和大量無經(jīng)驗買家的時候,允許對核桃、西瓜之類難以觀察質(zhì)量的物品進行挑選,賣家也并不虧損,有經(jīng)驗買家的額外賺得只不過是無經(jīng)驗買家的額外損失而已?！?/p>