周思柱，景華斌

(長江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖北 荊州 434023)

李洪波

(寶雞石油機(jī)械有限責(zé)任公司，陜西 寶雞 721002)

行星架應(yīng)力應(yīng)變理論計算和有限元分析的比較

周思柱，景華斌

(長江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖北 荊州 434023)

李洪波

(寶雞石油機(jī)械有限責(zé)任公司，陜西 寶雞 721002)

以單臂式行星架為例，應(yīng)用理論計算方法對行星架的應(yīng)力應(yīng)變進(jìn)行了分析，并用ANSYS建立了單臂式行星架的有限元模型,針對該型行星架比對了各種網(wǎng)格劃分方法的可行性，計算了其應(yīng)力應(yīng)變情況，然后比較分析了理論計算方法和有限元方法計算的結(jié)果。結(jié)果表明，應(yīng)用有限元方法對行星架進(jìn)行應(yīng)力應(yīng)變分析更符合工程實(shí)際應(yīng)用的需要。

單臂式行星架；應(yīng)力應(yīng)變；理論計算；有限元分析

行星架是行星減速器的一個重要部件，行星架的設(shè)計質(zhì)量直接影響著行星減速器的傳動效率和效果。要想獲得合理的行星架結(jié)構(gòu)就必須對其進(jìn)行精確的應(yīng)力應(yīng)變分析。國內(nèi)外研究工作者一般采用簡化的理論模型，按照材料力學(xué)的方法對行星架進(jìn)行應(yīng)力應(yīng)變計算，校核其強(qiáng)度和剛度，利用簡化方法計算只能獲得平均值，不能求得危險截面的應(yīng)力應(yīng)變值[1,2]。近些年來，隨著有限元技術(shù)的發(fā)展，研究人員開始應(yīng)用有限元分析方法進(jìn)行行星架的強(qiáng)度和剛度計算，但是，有限元模型建立工作復(fù)雜，模型建立的經(jīng)驗(yàn)性較強(qiáng)，企業(yè)人員應(yīng)用不方便。筆者以單臂式行星架為例，通過應(yīng)力應(yīng)變理論計算和有限元分析的比較，研究2種分析方法所得結(jié)果的區(qū)別，從而給企業(yè)設(shè)計人員提供參考。

1 單臂式行星架的受力分析和強(qiáng)度剛度計算

單臂式行星架心軸與孔的過盈計算簡圖如圖1所示，當(dāng)徑向力Fc作用后，力矩FcL使c、e處壓力高，a、b處壓力低。設(shè)心軸在FcL作用下繞軸線剛性旋轉(zhuǎn)，根據(jù)平衡條件，需由過盈配合產(chǎn)生的壓應(yīng)力近似為[1]：

(1)

式中，F(xiàn)c為軸承徑向力；L為徑向力作用點(diǎn)與行星軸的受載中點(diǎn)的距離；l為行星軸的受載寬度；d為行星軸直徑。據(jù)p值可求出配合過盈量，選擇配合種類，并用壓力驗(yàn)證c點(diǎn)和e點(diǎn)塑性變形和擠壓強(qiáng)度[2]。

由于行星架結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，在計算變形時，通常將其簡化為由側(cè)板及中間等距離的連接板組成的框架結(jié)構(gòu)(見圖2)[1]。

圖1 單臂式行星架心軸與孔的過盈計算簡圖圖2 行星架框架結(jié)構(gòu)

圖3 行星架半徑rn的展開圖

行星架的變形是指在轉(zhuǎn)矩作用下，側(cè)板1相對于側(cè)板2的位移，位移值Δ是在半徑為rn的圓周的切線方向度量。rn的圓周通過聯(lián)接板的截面形心，對于梯形斷面的聯(lián)接板rn沿圓周展開，如圖3所示，計算如下式[1]：

(2)

式中，R為行星架外圓半徑；a、b和hn分別為梯形斷面尺寸。

位移量Δ由作用力Fn引起，其中:

(3)

式中，a′為中心距；F1為行星輪心軸作用于行星架側(cè)板1上的切向力。徑向力對行星架不產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩，可不計入。位移量Δ通過將聯(lián)接板看成雙支點(diǎn)梁，計算在Fn作用下產(chǎn)生的撓度來確定。Δ值與Fn之比為行星架的柔度，由下式計算[1]：

(4)

式中，E為材料的彈性模量；αs1、αs2、αn分別為Fn對兩側(cè)板與聯(lián)接板的彎曲變形和剪切變形的影響系數(shù)(當(dāng)行星架兩側(cè)板等剛度時，αs1=αs2=αn)；Ls為沿半徑rn的圓周上側(cè)板1/np段的弧長(np表示將整個圓周所分的份數(shù))，Ls=2π ×rn/np；Ln為連接板長度，等于兩側(cè)板中心平面間的距離；K0為兩側(cè)板的剛度比較系數(shù)，K0決定連接板彎矩為零的點(diǎn)的位置。

2 行星架的理論計算實(shí)例

以某企業(yè)單臂式行星架為例，取其設(shè)計初始參數(shù)，對行星架進(jìn)行應(yīng)力和應(yīng)變分析。

1)應(yīng)力計算 根據(jù)設(shè)計初始參數(shù)：徑向力Fc=22900N, 行星軸的受載寬度l=φd×d+5=40mm，徑向力作用點(diǎn)與行星軸的受載中點(diǎn)的距離L=30mm，行星軸直徑d=35mm，則由過盈配合產(chǎn)生的壓應(yīng)力為：

(5)

2)位移量計算 將給定的單臂式行星架相關(guān)初始值列于表1。

表1 單臂式行星架設(shè)計參數(shù)

將表1數(shù)據(jù)代入式(4)，計算其柔度為(兩側(cè)板等剛度，αs1=αs2=αn，K0=1)：

(6)

將表1中數(shù)據(jù)帶入式(2)和式(3)，計算rn和Fn：

(7)

(8)

由上可知，行星架位移量Δ為：

Δ=Fn×(Δ/Fn)=18719.2823×4.923×10-7=0.009216mm

(9)

3 行星架有限元分析

3.1有限元模型

在有限元分析中，建立準(zhǔn)確、可靠的計算模型，是應(yīng)用有限元法進(jìn)行分析的重要步驟之一。建模時，應(yīng)盡量按照實(shí)物結(jié)構(gòu)來建立，但對結(jié)構(gòu)復(fù)雜的物體，考慮到有限元分析的可行性，可對模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮喕?。根?jù)該企業(yè)單臂式行星架初始設(shè)計參數(shù)，得出其初始設(shè)計圖，如圖4所示。

圖4 單臂式行星架結(jié)構(gòu)

在對行星架進(jìn)行應(yīng)力分析時，由于其結(jié)構(gòu)不規(guī)則處較多，又不是軸對稱圖形，故選用適應(yīng)性較好的高階三維10節(jié)點(diǎn)四面體單元SOLID92。該單元適用于求解彈性、塑性、蠕變、應(yīng)力剛度、大變形及大應(yīng)變、預(yù)應(yīng)力等問題，可模擬接近不可壓縮的彈塑性材料的變形。該單元具有二次位移函數(shù)，精度較高。

表2 行星架材料參數(shù)

行星架變形和應(yīng)力處在彈性范圍內(nèi)，故選用各向同性線彈性材料模型，材料參數(shù)如表2。

圖5 單臂式行星架實(shí)體模型圖

基于基本尺寸，采用自頂向下的方法直接建立高級圖元。建立的行星架模型如圖5所示。

鑒于行星架的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，應(yīng)用多種方式對其進(jìn)行網(wǎng)格劃分，通過ANSYS運(yùn)行計算得出如下結(jié)論：

1)掃略網(wǎng)格劃分不適用行星架網(wǎng)格劃分，無法應(yīng)用掃略方法對行星架進(jìn)行網(wǎng)格劃分。

2)映射網(wǎng)格劃分不適用行星架網(wǎng)格劃分,因?yàn)樾行羌艿慕Y(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，在行星軸孔附近區(qū)域不能劃分出規(guī)則的網(wǎng)格形狀。

3)采用完全手動網(wǎng)格劃分不適用于行星架網(wǎng)格劃分，行星架結(jié)構(gòu)雖然不是很復(fù)雜，但是要想花費(fèi)很少的時間實(shí)現(xiàn)很好的網(wǎng)格大小的控制，完成網(wǎng)格劃分不是很容易的事情。單臂式行星架可以進(jìn)行手動網(wǎng)格劃分，但若單元尺寸過小，求解花費(fèi)的時間太長；而單元尺寸過大精度達(dá)不到要求，不能得出準(zhǔn)確的結(jié)果。表明完全手動網(wǎng)格劃分很難確定合適的單元長度。

4)自適應(yīng)網(wǎng)格劃分不適用于行星架網(wǎng)格劃分，用自適應(yīng)網(wǎng)格劃分求解耗時長，完成整個求解要花費(fèi)幾十個小時，求解的最大應(yīng)力為77.865MPa。

圖6 行星架單元網(wǎng)格劃分圖

5)智能網(wǎng)格劃分適用于行星架網(wǎng)格劃分，此種網(wǎng)格劃分方法可對網(wǎng)格的密度進(jìn)行手動控制，生成的網(wǎng)格形狀合理，該細(xì)化的部位如加載的行星軸孔、施加約束的花鍵軸以及軸和側(cè)板的連接部位等都自動劃分的細(xì)密，其他不會出現(xiàn)應(yīng)力集中的部位則劃分的比較粗糙，如圖6所示。因劃分的粗細(xì)直接影響求解時間的長短，對同一行星架模型，采用智能網(wǎng)格劃分，其求解過程只要幾分鐘，求解結(jié)果得出最大應(yīng)力為76.479MPa。由此可見，采用智能網(wǎng)格劃分求解模型較之自適應(yīng)網(wǎng)格劃分方法快捷省時，且能得到與自適應(yīng)網(wǎng)格劃分方法基本相同的計算結(jié)果。

通過以上分析得出，只有智能網(wǎng)格的劃分形式Smartsize5適用于行星架，這樣用戶在選擇網(wǎng)格劃分工具時可以直接選用之，因此而大大節(jié)省了時間。

3.2約束和載荷的施加

圖7 行星架施加約束和載荷圖

施加載荷是進(jìn)行有限元分析的關(guān)鍵的一步，可以直接施加在實(shí)體模型上，也可以施加在有限元模型上。ANSYS中的載荷包括邊界條件和模型內(nèi)部或外部的作用力?？紤]行星架運(yùn)行時的具體情況，施加的約束即邊界條件如下：簡化為一端固定一端滑動的簡支梁結(jié)構(gòu)，對于有花鍵的二級傳動行星架在軸承支撐處施加徑向約束，在花鍵內(nèi)表面施加切向約束，在花鍵端面設(shè)軸向約束。

行星架是行星減速器機(jī)構(gòu)中承受外力矩最大的零件，在行星減速器運(yùn)行過程中行星架受到來自傳遞軸的扭矩和行星輪軸的壓力作用，且這些作用力都是變化的，故在進(jìn)行有限元分析時采用函數(shù)加載的方式。行星架施加約束和載荷情況如圖7所示。

3.3行星架有限元結(jié)果分析

表3 行星架變形位移 mm

1)變形分析 行星架的變形分析是通過各個行星架的變形云圖實(shí)現(xiàn)的。在行星減速器工作過程中，行星架在不停的做旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，則它的變形有3個方向，分別是軸向(UZ)、周向(UY)、徑向(UX)，三者的矢量和即為總變形[3，4],見表3和圖8。

表4 行星架各類應(yīng)力匯總

2)應(yīng)力分析 行星架的應(yīng)力從第1主應(yīng)力、第2主應(yīng)力、第3主應(yīng)力和馮氏應(yīng)力[4]這幾個方面分析，行星架的應(yīng)力分析結(jié)果如表4所示，應(yīng)力分析云圖見圖9。由結(jié)果得知，有限元分析結(jié)果的最大應(yīng)力都遠(yuǎn)小于材料的屈服極限和許用應(yīng)力，都在線彈性范圍內(nèi)，行星架沒有發(fā)生屈服和塑性變形，滿足材料的強(qiáng)度要求[4]。

圖8 行星架總位移變形圖 圖9 行星架等效節(jié)點(diǎn)應(yīng)力圖

4 行星架理論計算與有限元分析結(jié)果的比較及安全評價

行星架理論計算的應(yīng)力和應(yīng)變值與有限元法分析的結(jié)果對比如表5所示。

表5 行星架理論計算和有限元法分析結(jié)果比較

由表5可知，有限元計算與理論計算結(jié)果相比，位移值增加19%、應(yīng)力值增加4%。行星減速器的行星架工作時，變形的要求較高，必須要進(jìn)行精確計算。通過有限元計算與理論計算結(jié)果的比較，建議行星減速器生產(chǎn)廠家在進(jìn)行行星架設(shè)計時，一定要用有限元方法分析行星架的變形。在進(jìn)行初步設(shè)計時，也可以按照理論計算值上浮19%做參考。根據(jù)行星架的有限元分析結(jié)果，對其進(jìn)行安全評價。行星架在上述給定尺寸條件下，強(qiáng)度最小安全系數(shù)為：

(10)

在材料力學(xué)中規(guī)定，一般機(jī)械制造中，在靜載荷情況下，對于塑性材料安全系數(shù)n=1.2～2.5。脆性材料均勻性較差，且斷裂突然發(fā)生，有更大的危險性，所以取n=2～3.5，甚至取到n=3～9。一般情況下，為安全起見，塑性材料的材料的安全系數(shù)都要大于2，脆性材料的安全系數(shù)均大于3[5]。行星架的材料都是塑性材料，從上面的計算可以看出其安全系數(shù)遠(yuǎn)大于2，大于材料規(guī)定的安全系數(shù)，說明所選材料足夠安全，不會因強(qiáng)度不夠而破壞。

5 小 結(jié)

通過對行星架的應(yīng)力和應(yīng)變進(jìn)行理論計算和有限元分析，并對2種分析方法進(jìn)行比較，得出在對行星架進(jìn)行設(shè)計時，應(yīng)用有限元方法分析其應(yīng)變和應(yīng)力比理論計算方法更精確可靠。從有限元分析結(jié)果得到的最小安全系數(shù)看出，其值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于該種材料的規(guī)定值，說明該型行星架的結(jié)構(gòu)還有改進(jìn)的余地，可進(jìn)一步對其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。

[1]漸開線齒輪行星傳動的設(shè)計與制造編委會.漸開線齒輪行星傳動的設(shè)計與制造[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2002.

[2]Hidaka,Yoshioetal. Analysis of Dynamic Tooth Load on Planetary Gear[J]. Bulletin of the JSME,1980,23(176):315～323.

[3]楊平.行星減速器行星架設(shè)計的一種簡便實(shí)用方法[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù),1996,(4):12～13.

[4]李黎明.ANSYS有限元分析實(shí)用教程[M].北京:清華大學(xué)出版社,2005.

[5]劉鴻文.材料力學(xué)(上、下冊)[M].北京:高等教育出版社,2002.

[編輯] 易國華

2009-08-21

2009年湖北省高校創(chuàng)新團(tuán)隊計劃項目(T200906)。

周思柱(1963-)，男，1983年大學(xué)畢業(yè)，博士，教授，博士生導(dǎo)師，現(xiàn)主要從事機(jī)械現(xiàn)代設(shè)計與方法方面的研究工作。

TH132.425

A

1673-1409(2009)04-N075-05