陳惠勇

(江西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，江西 南昌 330022)

1827年高斯《關(guān)于曲面的一般研究》一書的發(fā)表，標(biāo)志著內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)的創(chuàng)立。高斯在這篇文章中提出了一個(gè)全新的觀念——一個(gè)曲面本身就是一個(gè)空間！并從曲面本身的度量出發(fā)，展開曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何研究，得出了決定曲面在空間的形狀等一系列的理論與方法。在高斯的幾何學(xué)思想中有幾個(gè)核心概念：即直線與測(cè)地線；平行公設(shè)的否定與彎曲空間概念的產(chǎn)生；第一基本形式與彎曲空間的度量；曲面的度量與曲面在空間的形狀。正是由于這些核心概念以及高斯的絕妙定理和高斯-博內(nèi)定理等的揭示，才真正揭示出非歐幾何的本質(zhì)。高斯的思想后經(jīng)黎曼等人的發(fā)展，推廣到高維情形——黎曼幾何學(xué)。20世紀(jì)，黎曼幾何學(xué)已成為愛因斯坦廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本文考察了高斯幾何學(xué)思想中幾個(gè)核心概念的發(fā)現(xiàn)及其意義，并由此探究高斯幾何學(xué)思想的思維軌跡。

一、直線與測(cè)地線

幾何學(xué)研究的基本出發(fā)點(diǎn)是點(diǎn)、線、面等基本元素。在《幾何原本》中，歐幾里得首先給出它們的定義：“點(diǎn)是沒有部分的；線只有長(zhǎng)度而沒有寬度；一線的兩端是點(diǎn)；直線是它上面的點(diǎn)一樣平放著的線”[1]。歐氏幾何所討論的點(diǎn)、線是數(shù)學(xué)上抽象的點(diǎn)和線。歐幾里得的直線概念是非常樸素而且是直觀地描述的，并且定義中的線是指直線段。如何理解“直線是它上面的點(diǎn)一樣平放著的線”，“線只有長(zhǎng)度而沒有寬度”，也就是如何理解直線的概念。從歐幾里得在定義19中關(guān)于直線、三邊形等的定義，以及第一卷命題20“在任何的三角形中，任意兩邊之和大于第三邊”等中可以看出，就是對(duì)“長(zhǎng)度”的概念必須有一個(gè)確切的定義。歐氏幾何的直線，其本質(zhì)是平面上任意兩點(diǎn)之間的最短線。

事實(shí)上，要給直線下一個(gè)精確的定義幾乎是不可能的。希爾伯特在他著名的《幾何基礎(chǔ)》中，建立了歷史上第一個(gè)完備的公理化體系，第一次明確提出了選擇和組織公理系統(tǒng)的三大原則：相容性、獨(dú)立性和完備性。他真正抓住了幾何元素的本質(zhì)——公理系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)與內(nèi)在聯(lián)系。希爾伯特并不給出點(diǎn)、線、面等幾何基本概念的定義，而是將它們叫做空間幾何的元素或空間的元素，并設(shè)想點(diǎn)、線、面之間有一定的相互關(guān)系，用“關(guān)聯(lián)”(“在……之上”、“屬于”)、“介于”(“在……之間”)、“全同于”(“全合于”、“相等于”)等詞來(lái)表示，并用幾何公理——關(guān)聯(lián)公理(結(jié)合公理、從屬公理)；順序公理(次序公理)；合同公理(全合公理、全等公理)；平行公理和連續(xù)公理——將這些關(guān)系予以精確而又完備的描述。這樣，在希爾伯特的幾何體系中，所有的問(wèn)題就有了一個(gè)嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)和起點(diǎn)。在《幾何基礎(chǔ)》的附錄1“直線作為兩點(diǎn)間的最小距離”一文中，希爾伯特提到“無(wú)處是凹的體”并給出這一概念的定義：“無(wú)處是凹的體系指具有下述性質(zhì)的一個(gè)體：假如在其內(nèi)部?jī)牲c(diǎn)用以直線相連，則此直線介于這兩點(diǎn)的部分將整個(gè)位于這個(gè)體的內(nèi)部”[2]。從這里可以看出，直線的性質(zhì)是作為兩點(diǎn)之間的最短距離，而這一性質(zhì)只有在“無(wú)處是凹的體”的概念下才是成立的，也就是說(shuō)只有在歐氏空間(平直的、剛性的)的意義下這一性質(zhì)才是成立的。

高斯的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)思想淵源于幾何基礎(chǔ)的研究，而其直接的現(xiàn)實(shí)淵源則是關(guān)于大地測(cè)量工作的?！案咚箯氖碌恼麄€(gè)大地測(cè)量工作和這方面的研究都是和完成漢諾威弧度測(cè)量相關(guān)聯(lián)的。雖然這個(gè)本身弧長(zhǎng)只有2.1°的弧度測(cè)量對(duì)決定地球形狀和大小不能起很大作用，然而，在19世紀(jì)，對(duì)科學(xué)地設(shè)計(jì)和實(shí)施高精度的大地測(cè)量工作卻起著巨大的指導(dǎo)作用”[3]。

從現(xiàn)代微分幾何學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，高斯的大地測(cè)量本質(zhì)上是度量曲面上(地球表面)與外在空間無(wú)關(guān)的兩點(diǎn)之間的最短距離(弧度)的問(wèn)題，這就很自然地得出測(cè)地線的概念，即“在一個(gè)給定的曲面上的關(guān)于最短路徑的理論”[4]。測(cè)地線就是曲面上具有零測(cè)地曲率的曲線，因而，測(cè)地線的切線向量沿測(cè)地線本身是平行地移動(dòng)著的，當(dāng)一條測(cè)地線的包絡(luò)可展曲面展開到平面時(shí)，測(cè)地線就成了直線。高斯的測(cè)地線概念就是歐氏幾何中的直線概念在彎曲曲面上的自然推廣。

二、平行公設(shè)的否定與彎曲空間概念的產(chǎn)生

M.克萊因指出：“有關(guān)非歐幾里得幾何的最大事實(shí)是它可以描述物質(zhì)空間，像歐幾里得幾何一樣地正確。后者不是物質(zhì)空間所必然有的幾何；它的物質(zhì)真理不能以先驗(yàn)理由來(lái)保證。這種認(rèn)識(shí)，不需要任何技術(shù)性的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，首先是由高斯獲得的”[5]。高斯正是由于早年對(duì)幾何基礎(chǔ)問(wèn)題的深入研究，才導(dǎo)致了彎曲空間概念的產(chǎn)生，進(jìn)而揭示了空間的非歐本質(zhì)。

我們知道，對(duì)平行公設(shè)的否定是這一理論的突破口。勒讓德(A.M.Legendre)于1794年首先指出三角形的內(nèi)角和等于180°的定理等價(jià)于歐氏幾何的第五公設(shè)。就在這一年，高斯已經(jīng)有了關(guān)于這些問(wèn)題的第一個(gè)深刻思想。高斯于1846年10月給Gerling的信中寫道：“在任何的幾何中，一個(gè)多邊形之外角和在數(shù)量上不等于360°，……而是成比例于曲面的面積，這幾乎是這一理論之開端的第一個(gè)重要定理，這個(gè)定理的必要性我已于1794年認(rèn)識(shí)到了”[6]。高斯的這一深刻思想，至少包含三層意思。

第一，平行公設(shè)的否定。在歐氏幾何中，三角形內(nèi)角和等于180°與其外角和等于360°是等價(jià)的，一般地有任意一個(gè)多邊形之外角和在數(shù)量上也等于360°。高斯所討論的是雙曲幾何學(xué)情形，這里所說(shuō)的“在任何的幾何中，一個(gè)多邊形之外角和在數(shù)量上不等于360°……”實(shí)際上就是對(duì)平行公設(shè)的否定。

第二，彎曲空間概念的產(chǎn)生。三角形內(nèi)角和等于180°的定理，本質(zhì)上是說(shuō)平面是平坦的而不具有曲率。高斯在此所得到的認(rèn)識(shí)：“一個(gè)多邊形之外角和在數(shù)量上不等于360°，而是成比例于曲面的面積”，這一比例就是高斯曲率。用現(xiàn)代的語(yǔ)言表達(dá)就是，在球面幾何學(xué)情形，三角形的三內(nèi)角之和必然大于180°，并且有一個(gè)非常重要的公式A+B+C-π=S/R2，這里S為面積，R是球面的半徑，而1/R2則是度量球面的高斯曲率；在雙曲幾何學(xué)情形，三角形的三內(nèi)角之和必然小于180°，并且有如下的重要公式A+B+C-π=-S/R2，S為面積，此時(shí)R2代表非歐幾何的一個(gè)絕對(duì)的度量，換句話說(shuō)，在非歐幾何的平面上，它的高斯曲率是負(fù)的且等于-1/R2；很顯然，如果上述的比例為零(也就是高斯曲率為零)，那么自然地得出“多邊形之外角和在數(shù)量上就等于360°”，也就是三角形內(nèi)角和等于180°的定理，這就是歐幾里得幾何情形。

由此可知，是否滿足歐幾里得的平行公設(shè)所體現(xiàn)出的本質(zhì)乃是所論幾何空間是否為彎曲的性質(zhì)。因而，高斯于1794年所得到的關(guān)于這些問(wèn)題的深刻認(rèn)識(shí)，表明在高斯的頭腦中已經(jīng)有了“彎曲空間”的概念。

第三，“這幾乎是這一理論之開端的第一個(gè)重要定理”。高斯在這里所說(shuō)的“這一理論”指的是他所發(fā)現(xiàn)的“雙曲幾何學(xué)”，而這個(gè)重要定理就是高斯-博內(nèi)定理，它是非歐幾何學(xué)的重要定理，也是內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)的一個(gè)極端重要的定理。這一定理被高斯譽(yù)為“整個(gè)曲面理論中最優(yōu)美的定理”，它對(duì)微分幾何學(xué)的發(fā)展和影響是非常深遠(yuǎn)的[注]陳省身于1944年給出了高維高斯-博內(nèi)公式的內(nèi)蘊(yùn)證明，成為現(xiàn)代微分幾何學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，其思想與方法對(duì)整體微分幾何的發(fā)展有著深刻的影響。。

如果聯(lián)系高斯《關(guān)于曲面的一般研究》對(duì)高斯-博內(nèi)定理的高度重視，特別是高斯運(yùn)用這一定理于測(cè)地三角形的角度比較定理與面積比較定理的研究以及實(shí)際測(cè)量測(cè)地三角形等等，我們可以看出高斯的真正用意是驗(yàn)證他所發(fā)現(xiàn)的非歐幾何[注]高斯用了其《關(guān)于曲面的一般研究》中的最后九節(jié)(第21-29節(jié)，大約占了整篇文章的三分之一)的篇幅幾乎全部用于比較定理的證明。這些比較定理一方面把單個(gè)的角(不僅僅是角度之和)與歐幾里得平面上具有同樣長(zhǎng)度的直邊形三角形的角進(jìn)行比較；另一方面，還把曲面上測(cè)地三角形的面積與歐幾里得平面上具有同樣長(zhǎng)度的直邊形三角形的面積進(jìn)行比較。。

三、第一基本形式與彎曲空間的度量

幾何學(xué)研究的一個(gè)基本問(wèn)題或出發(fā)點(diǎn)是度量問(wèn)題。高斯關(guān)于幾何基礎(chǔ)問(wèn)題的研究所發(fā)現(xiàn)的彎曲空間概念在數(shù)學(xué)上是如何刻畫？特別是高斯后來(lái)的大地測(cè)量工作必須解決的測(cè)地線的度量問(wèn)題等，都涉及到幾何學(xué)的一個(gè)基本問(wèn)題——彎曲空間的度量。

歐氏幾何中最重要的定理之一的畢達(dá)哥拉斯定理之本質(zhì)乃是幾何空間的度量性質(zhì)，而度量性質(zhì)可以說(shuō)是展開所有可能的幾何學(xué)的基本假設(shè)前提。迄今為止，在大部分有意義的幾何空間中，都要求這條定理在無(wú)窮小的情形下成立。由畢達(dá)哥拉斯定理所確定的空間度量是平直(或剛性)空間的度量。因此，如何把度量性質(zhì)推廣到彎曲的空間就成為問(wèn)題的關(guān)鍵。在高斯以前，曲面或空間曲線的方程式被看作是三個(gè)坐標(biāo)的隱函數(shù)，或者是一個(gè)坐標(biāo)表示為其他兩個(gè)坐標(biāo)的函數(shù)。這種做法實(shí)際上仍然是把所研究的曲面或空間曲線嵌入于高一維的空間(即外圍空間)之中加以研究的，因而其方法是外蘊(yùn)的。

高斯幾何學(xué)思想及其研究的出發(fā)點(diǎn)是“從曲面本身的度量出發(fā)決定曲面在空間的形狀”，因而與外在空間無(wú)關(guān)，即是“內(nèi)蘊(yùn)”的幾何學(xué)。高斯首先著手把三個(gè)坐標(biāo)看成是另外兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)，這兩個(gè)參數(shù)可以在已知曲面上適當(dāng)?shù)剡x擇，高斯的這一思想在微分幾何學(xué)的發(fā)展中獲得了普遍的公認(rèn)。早在1822年，高斯解決哥本哈根科學(xué)院提出的征獎(jiǎng)問(wèn)題中，就已經(jīng)系統(tǒng)地運(yùn)用了這種參數(shù)表示的思想[7]。

曲面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y,z)可以用兩個(gè)參數(shù)u、ν表示，從而曲面的方程可表示為：r=r(x(u,ν),y(u,ν),z(u,ν))，高斯的出發(fā)點(diǎn)是運(yùn)用這個(gè)參數(shù)表示來(lái)對(duì)曲面做系統(tǒng)研究，并首先引進(jìn)曲面的弧長(zhǎng)元素ds，建立了曲面的第一基本形式dr2=ds2=Edu2+2Fdudν+Gdν2(其中E=ru·ru,F=ru·rν,G=rν·rν，稱為曲面的第一類基本量)其意義就是，在正確到高階無(wú)窮小范圍內(nèi)，曲面是等長(zhǎng)地對(duì)應(yīng)于切平面上的無(wú)窮小區(qū)域，并且曲面的第一基本形式在切平面上是以ru和rν為基本向量，以du為dν坐標(biāo)的長(zhǎng)度表達(dá)式。若曲面上參數(shù)曲線網(wǎng)取正交曲線網(wǎng)時(shí)，即向量ru和rν垂直時(shí)，有F=0，于是曲面的第一基本形式化為：dr2=Edu2+Gdν2。這就是勾股定理。所以說(shuō)曲面的第一基本形式本質(zhì)上是勾股定理的推廣，或者說(shuō)勾股定理是第一基本形式在無(wú)窮小范圍內(nèi)的近似。

專門研究曲面上由第一基本形式?jīng)Q定的幾何學(xué)稱為內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)，它在高維的推廣就是黎曼幾何學(xué)。因此，我們說(shuō)高斯通過(guò)推廣度量概念引進(jìn)了第一基本形式，從而解決了展開其內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)的基礎(chǔ)——彎曲空間的度量，這是幾何學(xué)歷史上的一次重大的突破。

四、曲面的度量與曲面在空間的形狀

1822年，高斯在解決哥本哈根征獎(jiǎng)問(wèn)題時(shí)，就已經(jīng)意識(shí)到曲面研究的中心問(wèn)題是曲率問(wèn)題。這是高斯內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)理論的突破口，他在尋求曲率的過(guò)程中，有兩個(gè)關(guān)鍵的概念：一是高斯映射的概念；另一個(gè)就是角度概念的推廣。

在《關(guān)于曲面的一般研究》中，高斯首先引進(jìn)了一個(gè)輔助球面，并假定用球面上不同的點(diǎn)表示不同的直線的方向，該方向與以球面上的點(diǎn)為端點(diǎn)的半徑平行，這就為后面定義高斯映射奠定了基礎(chǔ)。接著高斯給出了一些重要的命題，包括兩條相交直線的夾角、兩個(gè)平面的夾角、一條直線與一個(gè)平面的傾斜角、平面的定向以及球面上的點(diǎn)之間的坐標(biāo)表示的三角公式、球面上的三點(diǎn)以及坐標(biāo)系的原點(diǎn)組成的錐體的體積公式等等。

關(guān)于角度的定義，高斯是將它轉(zhuǎn)化到相應(yīng)的輔助球面上、相應(yīng)于直線的方向的球面上兩點(diǎn)的弧長(zhǎng)來(lái)度量的，也就是說(shuō)，高斯將角度看成是單位圓周的子集而不是一個(gè)數(shù)。高斯這一觀點(diǎn)是符合于幾何學(xué)的本源的，希臘人最初的想法與此是一致的(而把角度看成數(shù)不過(guò)是近代的觀點(diǎn)[8])，它有利于推廣到高維的情形，這種推廣就是高斯曲率和總曲率的概念。這里值得指出的是，高斯的這一想法在一些文獻(xiàn)中沒有得到應(yīng)有的重視。如Michael Spivak對(duì)此就完全忽視了，他說(shuō)：“This section may be skipped entirely”[9]。

設(shè)S1是以O(shè)為圓心的單位圓，所謂相交于O點(diǎn)的兩條直線的夾角α是指S1上由這兩條直線截出的弧長(zhǎng)，如圖1所示。

圖1 相交于O點(diǎn)的兩條直線的夾角

而曲線在一點(diǎn)處的曲率就是指角度的增量相對(duì)于弧長(zhǎng)的變化率，即曲線上無(wú)窮小弧段長(zhǎng)度與其切映射下像的長(zhǎng)度的反比的極限，如圖2所示。

圖2 曲線在一點(diǎn)處的曲率

從幾何學(xué)的觀點(diǎn)看，正如我們可以把角度看成二維空間里單位圓周上曲線段的長(zhǎng)(弧長(zhǎng))或者一維體積一樣，我們也可以將三維空間中單位球面S2上區(qū)域的面積或者二維體積看作三維空間角度的表示。一般地，n維空間中的角度被看成單位球面Sn-1上區(qū)域的(n-1)維體積。這種想法在高斯的總曲率和曲率測(cè)度(即高斯曲率)的定義中起著關(guān)鍵的作用。高斯在他的論文摘要中指出：“如果我們用上述方法來(lái)表示球面上各點(diǎn)的法方向，……曲面的一部分對(duì)應(yīng)附屬球面上一部分，并且曲面這一部分和平面差別越小時(shí)，附屬球面上相應(yīng)的面積就越小。由此，一個(gè)十分自然的想法是以附屬球面上相應(yīng)部分的面積作為曲面給定部分的全曲率的度量。因此作者稱它為曲面在該部分的總曲率”。接著，高斯定義“曲面在某一點(diǎn)處的曲率測(cè)度為一比值，分母為該點(diǎn)處無(wú)窮小鄰域的面積，分子為附屬球面上相應(yīng)與曲面上的那一部分的面積，即相應(yīng)的總曲率?！?/p>

關(guān)于曲率測(cè)度的正負(fù)號(hào)與曲面在該點(diǎn)鄰近的形狀的關(guān)系，高斯指出：“曲率測(cè)度對(duì)于凹-凹或者凸-凸曲面(這個(gè)區(qū)別是非本質(zhì)的)為正，但對(duì)于凹-凸曲面為負(fù)。如果曲面由每一種的部分所組成，那么在分隔這兩種曲面的曲線上，其曲率測(cè)度應(yīng)該為零”[4]。

高斯并得出了曲面在各種表示形式下的高斯曲率的計(jì)算公式，特別地，得出了曲面的參數(shù)表示形式下的高斯曲率公式，并得出了著名的公式：即高斯曲率僅與第一類基本量及其一階或二階偏微分有關(guān)，這就是說(shuō)高斯曲率是由“曲面本身的度量”所確定的。而曲面本身的度量在保長(zhǎng)變換下是不變的，因而就有“曲面的高斯曲率是曲面在保長(zhǎng)變換下的不變量”，這表明曲面的度量性質(zhì)本身蘊(yùn)含著一定的彎曲性質(zhì)。

這就是說(shuō)，高斯在他的一般研究中解決了內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)的中心問(wèn)題——從曲面本身的度量出發(fā)決定曲面在空間的形狀，這個(gè)定理被高斯稱為“絕妙的定理”，它是微分幾何學(xué)發(fā)展的里程碑。

五、結(jié)語(yǔ)

綜上分析，我們可以歷史地勾勒出高斯創(chuàng)立內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)的思想軌跡：高斯的大地測(cè)量工作，本質(zhì)是度量地球表面(彎曲的曲面)上任意兩點(diǎn)之間的最短距離，這種度量只與曲面本身相關(guān)而與其外在的空間無(wú)關(guān)，這就促使高斯思考這樣的問(wèn)題——“我們是否可以從曲面本身的度量出發(fā)決定曲面在空間的形狀”？這種思考具有本質(zhì)的意義，這是高斯內(nèi)蘊(yùn)微分幾何思想的出發(fā)點(diǎn)。高斯正是從這個(gè)想法出發(fā)，引出曲面的參數(shù)表示、曲面上的弧長(zhǎng)元素(即第一基本形式)，以及由第一基本形式出發(fā)，研究彎曲的曲面上的內(nèi)蘊(yùn)幾何問(wèn)題，得到了高斯曲率的計(jì)算公式，并進(jìn)而證明高斯曲率是在等距變換下的不變性質(zhì)(即高斯的絕妙定理)以及總曲率與測(cè)地三角形內(nèi)角和的關(guān)系公式(即高斯-博內(nèi)定理)等等內(nèi)蘊(yùn)微分幾何的重要定理。他創(chuàng)立了內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)，開拓出“一塊極為多產(chǎn)的土地”。沿著高斯的思路，必然得到這樣一個(gè)全新的觀念——一個(gè)曲面本身就是一個(gè)空間！在這樣的空間(彎曲的)上展開的幾何學(xué)必定是非歐的，這是高斯最偉大的創(chuàng)造。

在高斯發(fā)表《關(guān)于曲面的一般研究》一文之后大約100年，愛因斯坦對(duì)高斯的這項(xiàng)工作做出了如下的評(píng)價(jià)：“高斯對(duì)于近代物理理論的發(fā)展，尤其是對(duì)于相對(duì)論理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)所做的貢獻(xiàn)，其重要性是超越一切，無(wú)與倫比的，……假使他沒有創(chuàng)造曲面幾何，那么黎曼的研究就失去了基礎(chǔ)，我實(shí)在很難想像其他任何人會(huì)發(fā)現(xiàn)這一理論”[10]。我們將高斯于1817年寫給奧爾伯斯(Heinrich Olbers)的信中的一段話與愛因斯坦的評(píng)價(jià)做一對(duì)比，其意寓是深長(zhǎng)的。高斯說(shuō)道：“我愈來(lái)愈深信我們不能證明我們的幾何(歐氏幾何)具有(物理的)必然性，至少對(duì)于人類理智來(lái)說(shuō)，是人類理智所不能證明的?；蛟S在另一個(gè)世界中，我們能洞察空間的性質(zhì)，而現(xiàn)在這是不能達(dá)到的。同時(shí)我們不能把幾何與算術(shù)相提并論，因?yàn)樗阈g(shù)是純粹先驗(yàn)的，而幾何卻可以和力學(xué)相提并論”[6]。高斯心中的幾何學(xué)是和力學(xué)相提并論的，這種認(rèn)識(shí)讓我們想到黎曼在他著名的《關(guān)于幾何基礎(chǔ)中的假設(shè)》中這樣一句意味深長(zhǎng)的話：“這條道路將把我們引到另一門科學(xué)領(lǐng)域，進(jìn)入到物理學(xué)的王國(guó)，進(jìn)入到現(xiàn)在的科學(xué)事實(shí)還不允許我們進(jìn)入的地方”[11]。

由此我們可以看到，高斯的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何學(xué)和黎曼關(guān)于黎曼幾何學(xué)的構(gòu)想都是意在揭示歐氏幾何不具有惟一的(物理的)必然性，他們關(guān)于幾何學(xué)的思想是一脈相承的，黎曼的幾何學(xué)思想深受高斯的影響。20世紀(jì)微分幾何學(xué)與理論物理學(xué)的發(fā)展，以無(wú)可辯駁的事實(shí)證實(shí)了高斯的偉大思想。

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