鞠福桃 黃振平

(靖江高級(jí)中學(xué) 江蘇 靖江 214500)

2008年江蘇高考物理題中出現(xiàn)了擺線的曲線半徑；在運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法推導(dǎo)開普勒第二定律中遠(yuǎn)地點(diǎn)、近地點(diǎn)速度關(guān)系時(shí)也要用到曲率半徑，而曲率半徑在數(shù)學(xué)上有嚴(yán)格的意義和表達(dá)式.在中學(xué)階段，可用物理方法求運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率半徑，下面給出幾種典型曲線運(yùn)動(dòng)的曲率半徑.

(1)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的橢圓軌道方程為

試求A(a,0)和B(0,b)兩點(diǎn)處的曲率半徑.

分析與解析：如圖1所示，把質(zhì)點(diǎn)的橢圓運(yùn)動(dòng)看

圖1

成兩個(gè)互相垂直的同頻率簡諧振動(dòng)的疊加.設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為

x=acosωt

(1)

y=bsinωt

(2)

對(duì)應(yīng)的軌道方程就是題中給出的橢圓方程.

A(a,0)的速度vA是切向速度，又是質(zhì)點(diǎn)在y方向振動(dòng)時(shí)的速度振幅，有

vA=bω

(3)

此處質(zhì)點(diǎn)受力沿x方向，即曲線的法向，大小為

f=ka=mω2a

(4)

法向加速為

an=ω2a

(5)

由式(3)和(5)得，得到A(a,0)處曲率半徑

(6)

同理求得B(0，b)處切向速度、法向加速度、曲率半徑

vB=aω

(7)

an=ω2b

(8)

(9)

(2)如圖2所示，一物體做初速為v0的平拋運(yùn)動(dòng)，得到一拋物軌跡，求在拋物線上任一點(diǎn)處的曲率半徑.

圖2

分析與解：圖2中的拋物線方程可寫為

y=Ax2

可由運(yùn)動(dòng)方程

消去t得軌道方程

所以

設(shè)t時(shí)刻拋射體抵達(dá)P點(diǎn)，其坐標(biāo)為(x,y).為得到此處曲率半徑ρ，可利用圖中速率v和法向加速度an求得.

因?yàn)関x=v0vy=gt

又

得到

圖3

(3)一個(gè)剛性圓輪在直線軌道上做純滾動(dòng)(圖3)，圓輪邊緣上一點(diǎn)所經(jīng)歷的軌跡稱為滾線(又稱旋輪線或擺線).對(duì)純動(dòng)即圓輪與直線軌道的接觸點(diǎn)無相對(duì)運(yùn)動(dòng).設(shè)圓輪半徑為R.試求滾線上各點(diǎn)的曲率半徑.

分析與解：滾線形狀與圓輪滾動(dòng)快慢無關(guān).選定一種圓輪滾動(dòng)的方式，圓心O′以不變的速度v0沿直線軌道向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)圓輪繞圓心O′以不變的角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，為保證圓輪在直線軌道上做純滾動(dòng)，應(yīng)有關(guān)系式

v0=Rω

設(shè)圓輪滾動(dòng)φ角，P點(diǎn)達(dá)圖2所示位置，P點(diǎn)瞬時(shí)速度為

(1)

其方向必沿滾線在P點(diǎn)的切線方向.P點(diǎn)的加速度為

此處已利用v0是常量，輪心做勻速運(yùn)動(dòng).vP′是P點(diǎn)相對(duì)O′的相對(duì)速度.此式說明，由于牽連加速度為零，絕對(duì)加速度等于相對(duì)加速度.且

方向由P指向O′.因此，P點(diǎn)的法向加速度為

(2)

這里P點(diǎn)處曲線的法向?yàn)锳P方向.由式(1)和式(2)，得P點(diǎn)曲率半徑為

這就是各φ處曲線的曲率半徑.

幾個(gè)特殊點(diǎn)的曲率半徑：

ρ(0)=0

ρ(π)=4R(曲線的最高點(diǎn))

(4)一雜技演員在圓筒建筑物內(nèi)壁表演飛檐走壁.演員騎摩托車從底部開始運(yùn)動(dòng)，隨著速度增加，圈子越來越大，最后進(jìn)入圓筒形直壁上行駛.開始在直壁上同一高度內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，繼而又在直壁上做等距螺旋運(yùn)動(dòng).已知圓筒直壁的半徑為R，螺距為h[圖4(a)].摩托車行駛速率為v(勻速率運(yùn)動(dòng))，演員和摩托車的總質(zhì)量為M.試求摩托車在圓筒形內(nèi)壁上做等距螺旋線運(yùn)動(dòng)時(shí)螺旋軌道的曲率半徑.

圖4

分析與解：摩托車做等距螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于速率v不變，無切向加速度.設(shè)摩托車的速度分解成水平方向速度v水和豎起方向速度v豎，由于摩托車做等距螺旋運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)中速率不變，所以可以知道，v豎在運(yùn)動(dòng)中方向和大小均保持不變；v水在運(yùn)動(dòng)中大小不變，方向不斷變化，其運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于同一水平面內(nèi)半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng).則

v=v水+v豎

摩托車的加速度為

做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)加速度相同，它只有法向加速度，沒有切向加速度，即

從摩托車運(yùn)動(dòng)的角度寫出法向加速度.盡管螺旋線是一條三維空間的曲線，但可以用與二維平面曲線確定曲率半徑相類似的原則來確定螺旋線的曲率半徑.因?yàn)樵谌S曲線上取一小線元，當(dāng)線元趨于零時(shí)，必將趨于同一平面上的小圓弧，對(duì)應(yīng)的圓弧半徑就是在該處的曲率半徑.由此可以寫出法向加速度.因等距螺旋線的對(duì)稱性，各處的曲率半徑相同，設(shè)為ρ，摩托車做螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)的法向加速度可以寫為

兩式比較得

利用摩托車在筒壁繞一圈的幾何關(guān)系，如圖4(b)，得到

代入ρ的表達(dá)式，得螺旋線曲率半徑