李鵬舉，葛 成，孫國平，陳 新，王彥凱

（1.大慶石油學院地球科學學院，黑龍江大慶163318；2.大慶鉆探工程公司測井二分公司，吉林松原138000；3.大慶油田勘探開發(fā)研究院，黑龍江大慶163712）

0 引 言

核磁共振（NMR）測井弛豫信號的多指數(shù)在NMR巖心分析與測井解釋反演結(jié)果的好壞直接影響到后續(xù)計算儲層物性參數(shù)（如孔隙度、滲透率、孔徑分布等）和T2截止值的準確性［1］。Butler等［2］、Dunn等［3］、王忠東和肖立志［4］先后討論了罰函數(shù)法（BRD）、奇異值分解算法（SVD）以及聯(lián)合迭代重建算法（SIRT）。Borgia等在罰函數(shù)法的基礎上討論了均勻懲罰的反演方法。Jonathan等用線性正則化的方法分析了由短弛豫組分構(gòu)成的多指數(shù)弛豫數(shù)據(jù)的擬合問題，這些算法從不同的正則化角度給出了多指數(shù)反演的設計思路。此外，Mohnke等［5］利用模擬退火法優(yōu)化反演中的隨機搜索問題；Dunn等［6］討論了對不同測量誤差的原始回波數(shù)據(jù)進行組合反演的方法。本文基于矩陣分析理論，進一步改進奇異值分解反演方法。

1 核磁共振測井T2譜解譜方法

1.1 建立儲層流體核磁共振模型

求解弛豫過程的Bloch方程可知，氫原子核系統(tǒng)磁化強度矢量的橫向分量是按指數(shù)規(guī)律衰減的，由CPMG脈沖序列測得的回波串也按指數(shù)規(guī)律衰減。儲層巖石通常存在1個孔隙尺寸分布，并且常常含有多種流體成分，此時孔隙中存在多種弛豫組分，即橫向弛豫時間常數(shù)（T2）不是單值，而是1個T2譜分布。因此，由CPMG脈沖序列測量記錄的自旋回波串按多指數(shù)規(guī)律衰減，即各單指數(shù)衰減的疊加

式中，m、n分別為測量到的回波個數(shù)和弛豫分量個數(shù)，i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n；ti為采集時間（通常是回波間隔（Te）的整數(shù)倍］；gi為測量得到的回波幅度；T2，j為預先選擇的弛豫時間分布；μi為測量的誤差；f（T2，i）為第i個弛豫分量對總的橫向弛豫信號的貢獻。展開式（1）可以得到方程組

把式（2）寫成向量的形式為

令

1.2 矩陣奇異值分解與方程組的解

在式（4）左右兩邊同乘A＋得

根據(jù)矩陣的奇異值分解定理［7］，對任意m×n階矩陣A，存在m階列正交矩陣U和n階正交矩陣V，滿足

把式（7）代入式（5）可得

1.3 奇異值分解反演算法的改進

通常情況下，由式（8）解出的fi數(shù)值不穩(wěn)定且會有負值出現(xiàn)，而fi的物理意義為第i種弛豫分量在0時刻的初始幅度值，是非負值。本文采取對系數(shù)矩陣加阻尼項的處理方法使其數(shù)值解穩(wěn)定，應用迭代法對解進行非負性約束。

1.3.1 阻尼方法

根據(jù)式（4）建立式（10）目標函數(shù)求其極小值

可得

所以

對式（15）求逆

把式（6）、式（16）代入式（13）可得

1.3.2 解的非負性約束

（1）置初始值fk，k＝0；（k代表進行第k次迭代計算）

（2）dk?Afk；Δdk?d－dk；

（4）計算fk＋1?fk＋Δfk；

（5）如果（fk＋1中的分量全部≥0）停機，輸出fk＋1，否則進行下一步；

（6）置fk＋1中的負值為0，k＝k＋1轉(zhuǎn)入第2步再次迭代，直到解滿足非負約束條件為止。

2 反演實例及效果分析

2.1 無噪聲理論數(shù)據(jù)反演及效果檢驗

為了檢驗該方法的解譜效果，構(gòu)造T2譜，按方程（1）正演模型生成了無噪聲理論回波串衰減曲線（見圖1）。反演結(jié)果和構(gòu)造的T2譜對比（見圖2、圖3）?？梢钥闯?，奇異截止值為10－6和奇異截止值為10－7反演的T2譜幾乎完全一致，與構(gòu)造的T2譜幾乎完全吻合。這表明，SVD法可以準確地反演出真實的T2譜，奇異截止值對解譜效果影響小。

正演和反演的參數(shù)T2范圍為（1×10－3）～3s，按對數(shù)分別布11個和30個T2點；1 000個回波串；回波間隔為0.6×10－3s。

2.2 不同信噪比數(shù)據(jù)反演及效果檢驗

給圖1回波串信號分別加入信噪比SNR＝5、25、50、100的高斯白噪聲，其中加入SNR＝5高斯白噪聲后的回波曲線見圖4。圖5給出不同SNR數(shù)據(jù)反演結(jié)果與構(gòu)造T2譜的對比。從圖5可以看出，信噪比SNR＝25、50、100的情況下，解譜結(jié)果與構(gòu)造譜吻合得很好；信噪比SNR＝5的情況下反演的T2譜和構(gòu)造譜分布趨勢一致，譜線光滑連續(xù)，大組分反演效果好，但小組分反演結(jié)果與構(gòu)造譜相差較大，分辨率低；信噪比越高，反演所得的T2譜與構(gòu)造譜的符合率越高。這表明，該方法反演高信噪比數(shù)據(jù)效果顯著，而對低信噪比數(shù)據(jù)的反演可以保持波形特點大體一致。

圖1 由構(gòu)造譜生成的無噪聲理論回波串衰減曲線

圖2 11個布點反演無噪回波數(shù)據(jù)T2譜與構(gòu)造譜對比圖

圖3 30個布點反演無噪回波數(shù)據(jù)T2譜與構(gòu)造譜對比圖

圖4 由構(gòu)造譜生成的信噪比SNR＝5的理論回波曲線

表1 古89-47井巖心NMR實驗參數(shù)表

表2 古89-47井巖心SVD解譜反演參數(shù)表

2.3 實驗室NMR數(shù)據(jù)反演及效果檢驗

用該方法處理了大慶油田古89-47井1塊巖心實驗室NMR數(shù)據(jù)，解譜結(jié)果與實驗室解譜結(jié)果對比見圖6。巖心NMR實驗參數(shù)和SVD解譜反演參數(shù)如表1和表2。

圖5 不同信噪比理論回波數(shù)據(jù)反演T2譜與構(gòu)造T2譜對比圖

圖6 古89-47井巖心SVD解譜與實驗室解譜結(jié)果對比圖

圖7 古89-47井巖心測量的回波曲線及回波串的擬合曲線

從圖6可以看出，巖心SVD法反演結(jié)果與實驗室反演結(jié)果吻合得很好，譜的形狀和變化趨勢一致。從圖7可以看出，SVD法多指數(shù)擬合曲線較好地擬合了巖心實驗室采集的回波串曲線和實驗室方法擬合的回波串曲線。上述結(jié)果表明改進的SVD法可以快速、有效地反演核磁共振T2譜，對提高核磁共振測井精細解釋符合率有重要意義。

3 結(jié) 論

經(jīng)過改進，SVD法可以有效反演出真實的T2譜，加阻尼項可以使數(shù)值解穩(wěn)定。在布點數(shù)為11～128、信噪比大于25的情況下擬合精度較高，適用于高信噪比回波數(shù)據(jù)的反演，并且信噪比越高，反演的T2譜與構(gòu)造譜的符合率越高。大組分比小組分反演分辨率高。同時新方法采用迭代的思想進行譜的非負性限制，而未刪減原始測量數(shù)據(jù)，保證了T2譜的真實性和連續(xù)性。核磁共振實驗室數(shù)據(jù)反演結(jié)果表明，該方法可以應用于實驗室?guī)r心T2譜反演。

［1］ 肖立志.核磁共振成像測井與巖石核磁共振及其應用［M］.北京：科學出版社，1998：11-18.

［2］ Butler J P，Reeds J A，Dawson S V.Estimating Solutions of First Kind Integral Equations with Nonnegative Constraints and Optimal Smoothing［J］.SIAMJ Numer Anal，1981，18（3）：381－397.

［3］ Dunn K J，Latorraca G A，Warner J L.On the Calculation and Interpretation of NMR Relaxation Time Distribution［C］∥SPE28367，69th Annual SPE Technical Conference and Exhibition，New Orleans，1994：45－54.

［4］ 王忠東，肖立志，劉堂宴.核磁共振弛豫信號多指數(shù)反演新方法及其應用［J］.中國科學：G輯，2003，33（4）：323－333.

［5］ Mohnke O，Yaramanci U.Smooth and Block Inversion of Surface NMR Amplitudes and Decay Times Usingsimulated Annealing［J］.Journal of Applied Geophysics，2002，50：163－177.

［6］ Dunn K J，Latorraca G A.The Inversion of NMR Log Data Sets with Different Measurement Errors［J］.Journal of Magnetic Resonance，1999，140：153－161.

［7］ 張賢達.矩陣分析與應用［M］.北京：清華大學出版社，2004：341－398.