蔣衛(wèi)建 方本民 陳守川
(浙江大學(xué)寧波理工學(xué)院公共基礎(chǔ)部 浙江 寧波 315100)
分光計(jì)是一種測(cè)量光線之間夾角的精密儀器,是光學(xué)實(shí)驗(yàn)中的一種基本儀器,其調(diào)整方法在光學(xué)實(shí)驗(yàn)中具有一定的通用性.所以物理實(shí)驗(yàn)課程中,通常設(shè)有多個(gè)使用分光計(jì)的實(shí)驗(yàn),主要有用反射法或自準(zhǔn)直法測(cè)量三棱鏡頂角,利用光柵衍射測(cè)量原子譜線波長(zhǎng),利用最小偏向角測(cè)量色光折射率[1~2]等.在處理這些實(shí)驗(yàn)的結(jié)果時(shí),要涉及到角度、分、秒的60進(jìn)制、三角函數(shù)運(yùn)算等.而大多數(shù)物理實(shí)驗(yàn)教材緒論示例中僅局限于加減乘除四則運(yùn)算和一些簡(jiǎn)單情況下的有效數(shù)字處理問題的介紹.這樣,很多同學(xué)對(duì)最終結(jié)果如何取舍有效數(shù)字多有疑慮.
本文以JJY1′分光計(jì)為例,說明相關(guān)實(shí)驗(yàn)中有效數(shù)字的處理辦法.JJY1′分光計(jì)的儀器允許誤差是1′[3].處理有效數(shù)字的原則是根據(jù)儀器允許誤差估計(jì)出測(cè)量結(jié)果的不確定度,根據(jù)不確定度來取舍測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字.
用反射法或自準(zhǔn)直法多次測(cè)量三棱鏡的頂角.在計(jì)算每次測(cè)量的頂角、頂角的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差、不確定度時(shí),要涉及到加減乘除、乘方開方運(yùn)算.很多同學(xué)在運(yùn)算過程中,將“分”化為“秒”來計(jì)算.因?yàn)椤胺帧被癁椤懊搿笔?0進(jìn)制,所以通常所用的“單位換算不改變有效數(shù)字的位數(shù)”、“四舍六入五偶”的規(guī)則有時(shí)會(huì)碰到問題.
考慮到儀器的允許誤差,那么計(jì)算結(jié)果只需要保留到與儀器允許誤差相當(dāng)?shù)木?根據(jù)JJY1′分光計(jì)的儀器允許誤差是1′,估計(jì)測(cè)量頂角的不確定度ΔA=1′.這樣,計(jì)算過程中可以避開引入“秒”這個(gè)單位,而始終采用“分”作單位,允許有小數(shù).最終結(jié)果保留到“分”,中間結(jié)果可以多保留一位.例如,60°1.3′,79.5′等等. 如若要化為弧度計(jì)算,因?yàn)閮x器允許誤差為
所以結(jié)果只需保留到小數(shù)點(diǎn)后4位.
光柵方程是
dsinθ=kλ k=±1,±2,±3,…
其中d是光柵常量,k是衍射級(jí)別, θ是衍射角. 解出波長(zhǎng)
測(cè)量衍射角即可計(jì)算波長(zhǎng).
多數(shù)物理實(shí)驗(yàn)教材給出波長(zhǎng)的參考值,例如綠線546.1nm,要求同學(xué)將計(jì)算結(jié)果與參考值比較,計(jì)算百分差.同學(xué)對(duì)測(cè)量結(jié)果的不確定大小、有效數(shù)字如何取舍并不了解. 可以根據(jù)儀器允許誤差來估算不確定度,從而確定有效數(shù)字的取舍辦法.
例如,實(shí)驗(yàn)中光柵的光柵常量是
實(shí)驗(yàn)測(cè)得綠線的1級(jí)衍射角為
θ=9°26′
根據(jù)傳播公式Δλ=dcosθ·Δθ 和儀器允許誤差Δθ =1′ ,估計(jì)測(cè)量波長(zhǎng)的不確定度為
Δλ=1.0nm
所以計(jì)算波長(zhǎng)只需保留到0.1nm即可.最終結(jié)果可表示為
λ=(546.3±1.0)nm
也可以這樣考慮,因?yàn)閮x器允許誤差為Δθ =1′,所以測(cè)量衍射角應(yīng)該處于9°25′和9°27′ 之間.而
dsin9°25′=545.376nm
dsin9°26′=546.333nm
dsin9°27′=547.289nm
所以波長(zhǎng)取為λ=546.3nm是合適的.
當(dāng)然也要考慮光柵本身的分辨本領(lǐng),其定義為
.
其中N是光柵條紋總數(shù),可根據(jù)通光孔徑22mm、光柵常量計(jì)算.由此估算光柵可分辨的最小波長(zhǎng)差為
這比儀器允許誤差帶來的影響小一個(gè)數(shù)量級(jí).
可以看到光柵常量越小、衍射級(jí)別越大、衍射角越大,則測(cè)量波長(zhǎng)的不確定度就越小.也可以看到用
的光柵,可以分辨鈉燈雙黃線(589.0nm和589.6nm),但若要較準(zhǔn)確測(cè)量鈉燈雙黃線的波長(zhǎng),建議改用
的光柵,并選擇高級(jí)別的干涉條紋測(cè)量.
測(cè)量折射率的公式是
其中A是三棱鏡頂角, θmin是最小偏向角.同樣,可以根據(jù)儀器允許誤差來估算不確定度,從而確定有效數(shù)字的取舍辦法.若測(cè)得綠線的θmin= 51°28′,三棱鏡頂角A=60°1′.根據(jù)儀器允許誤差Δθmin=1′,ΔA=1′ .對(duì)n求全微分,有
要得到不確定度傳播公式,應(yīng)將其中的微分符號(hào)“d”改為不確定度符號(hào)“Δ”,并將減號(hào)改為加號(hào),結(jié)果有
將數(shù)值代入,得
Δn=0.000 5
所以,n的計(jì)算結(jié)果只需保留到小數(shù)點(diǎn)后4位即可.如最終結(jié)果表示為
n=1.652 6±0.000 5
實(shí)驗(yàn)所用的三棱鏡材料為ZF1,對(duì)鈉燈D線(λD=589.29nm)的折射率為
nD=1.647 5
對(duì)氫燈F線(λF=486.13nm)和C線(λC=656.28nm)折射率差為
nF-nC=0.019 12
可以看到折射率差0.019 12比分光計(jì)帶來的不確定度0.000 5大很多,可用分光計(jì)測(cè)量各色光的折射率.
本文以與分光計(jì)相關(guān)的實(shí)驗(yàn)為例,根據(jù)儀器的允許誤差、不確定度傳播公式可以估計(jì)結(jié)果的不確定度大小,從而確定計(jì)算過程和結(jié)果的有效數(shù)字處理辦法.
參考文獻(xiàn)
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