張麗葉，謝文秀

（裝備指揮技術學院 裝備采辦系，北京 101416）

0 引言

支持向量機（Support Vector Machines，SVM）是貝爾實驗室Vapnik 等人提出的一種新的統(tǒng)計學習方法，能夠解決小樣本、非線性、高維數(shù)和局部極小點等實際問題。標準SVM算法的復雜度雖然不依賴于輸入空間的維數(shù)，但依賴于樣本數(shù)據(jù)的個數(shù)，當樣本數(shù)據(jù)量較大時，求解過程所需計算資源很大，計算速度也慢。目前，解決該問題的方法較多，比較成功的是J.A.K.Suykens 等提出的最小二乘SVM算法（Least Squares Support Vector Machine，LS-SVM）。LS-SVM和標準SVM的主要區(qū)別在于將誤差平方和損失函數(shù)作為訓練集的經(jīng)驗損失，用等式約束代替不等式約束，把求解耗時的受約束的二次型規(guī)劃問題變成求解一組等式方程問題，降低了計算的復雜性，提高了求解速度。

但是，在對 LS-SVM的研究中我們發(fā)現(xiàn)，LS-SVM在具體應用中存在一個突出問題，即如何設置LS-SVM的調(diào)整參數(shù)γ和核參數(shù)σ2（這兩個參數(shù)對LS-SVM的性能的影響非常關鍵）。目前在這一領域還沒有什么較好的方法，通常在具體使用時都是應用網(wǎng)絡搜索的方法，而這種方法相當耗時，程序運算一次往往需要10～20 min。有學者提出使用梯度下降法選擇LS-SVM的參數(shù)[1]，但該方法受核函數(shù)必須可導的限制，且在搜索過程中容易陷入局部極小。也有學者嘗試用免疫算法來優(yōu)化LS-SVM的參數(shù)[2]，以減少參數(shù)選擇的盲目性，提高LS-SVM的預測精度，但該方法實現(xiàn)較復雜。還有學者提出采用遺傳算法確定LS-SVM 參數(shù)[3]，但是遺傳算法需要進行交叉（crossover）以及變異（mutation）操作，需要調(diào)整許多參數(shù)，計算復雜且效率較低。粒子群算法是一種新型的基于群體智能的隨機優(yōu)化算法，同遺傳算法類似，也是一種基于群體的隨機搜索優(yōu)化工具，但是并沒有遺傳算法的交叉以及變異操作，而是粒子在解空間追隨最優(yōu)的粒子進行搜索，具有并行處理特征，魯棒性好、簡單容易實現(xiàn)、計算效率較高、能以較大的概率找到優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解等優(yōu)點。目前已廣泛應用于函數(shù)優(yōu)化、神經(jīng)網(wǎng)絡訓練、模糊系統(tǒng)控制以及其他遺傳算法等應用領域。

本文嘗試應用粒子群算法來優(yōu)化LS-SVM的參數(shù)選擇問題，建立基于粒子群優(yōu)化參數(shù)的LS-SVM回歸預測模型（PSO_LS-SVM），并將其用于裝備研制費用預測。

1 粒子群優(yōu)化算法簡介

粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）是由Kennedy和Eberhari在1995年提出的一種基于群智能（Swarm Intelligence）的新的全局優(yōu)化進化算法[4]，它源于鳥類捕食行為的模擬。其原理如下：

PSO 初始化為一群隨機粒子（隨機解），然后通過迭代找到最優(yōu)解。這些粒子在搜索空間中以一定的速度飛行，并根據(jù)粒子本身的飛行經(jīng)驗以及同伴的飛行經(jīng)驗對自己的飛行速度進行動態(tài)調(diào)整，即每個粒子通過統(tǒng)計迭代過程中自身的最優(yōu)值（pBest）和群體的最優(yōu)值（gBest）來不斷地修正自己的前進方向和速度大小，從而形成群體尋優(yōu)的正反饋機制。PSO算法就是這樣依據(jù)每個粒子對環(huán)境的適應度將個體逐步移到較優(yōu)的區(qū)域，并最終搜索、尋找到問題的最優(yōu)解。

假設在一個D 維的目標搜索空間中，有m個粒子組成一個群落，其中在第t次迭代時粒子i的位置表示為一個D 維向量i=1,2,…,m。換言之，每個粒子的位置就是一個潛在的解。將 xi帶入一個目標函數(shù)就可以計算出其適應值，根據(jù)適應值的大小衡量 xi的優(yōu)劣。第i個粒子的“飛翔”速度也是一個 D 維的向量，記為

開始執(zhí)行PSO算法時，首先，隨機初始化m個粒子的位置和速度；然后，通過迭代尋找最優(yōu)解，在每一次迭代中，粒子通過跟蹤兩個極值（pBest和gBest）來更新自己的速度和位置，記第i個粒子迄今為止搜索到的最優(yōu)位置為

整個粒子群迄今為止搜索到的最優(yōu)位置為

在第t+1次迭代計算時，粒子根據(jù)下列規(guī)則來更新自己的速度和位置[5]：

為了討論方便，設f(x)為最小化的目標函數(shù)，則微粒i的當前最好位置由下式確定

群體中所有微粒所經(jīng)歷過的最好位置為pg(t)，稱為全局最好位置。則：

式中：i=1,2,…,m；d=1,2,…,D；m為粒子數(shù)，一般取20～40，其實對于大部分問題10個粒子已經(jīng)可以取得好的結(jié)果，不過對于比較難的問題或者特定類別的問題，粒子數(shù)可以取到100 或200個粒子的長度，這是由優(yōu)化問題，即問題解的長度決定的；c1和c2是兩個非負常數(shù)，分別稱為自信度系數(shù)和互信度系數(shù)，一般c1等于 c2并且范圍在0和4之間；r1和r2是介于[0,1]之間的隨機數(shù)；w為慣性因子；為最大速度，如果當前對粒子的加速將導致它在某維的速度v 超過該維的最大速度 vmax，則該維的速度被限制為該維的最大速度vmax，它決定了粒子在解空間的搜索精度，如果 vmax太高，粒子可能會飛過最優(yōu)解，如果 vmax太小，粒子陷入局部搜索空間而無法進行全局搜索。粒子的位置向量被限制在范圍內(nèi)，xmin、xmax由實際問題決定，vmax通常選為kxmax，其中[6]

迭代終止條件根據(jù)具體問題一般選為達到最大迭代次數(shù)或最小誤差要求為止。

2 基于PSO_LS-SVM的裝備研制費用預測模型

應用第1節(jié)粒子群優(yōu)化的算法，建立基于PSO_LS-SVM的裝備研制費用預測模型，見圖1。

圖1 基于PSO_LS-SVM的裝備研制費用預測模型

應用PSO算法，對LS-SVM 兩個關鍵參數(shù)的選擇進行優(yōu)化的程序邏輯框圖如圖2所示。優(yōu)化步驟為：

第一步，PSO 參數(shù)初始化。設定粒子數(shù)m，最大迭代次數(shù)Tmax；由于LS-SVM 只有兩個關鍵參數(shù)γ和2δ，因此，d=1,2；設定c1和c2、c1較大時，會使粒子過多地在局部范圍徘徊，而 c2較大時會促使粒子過早收斂到局部最小值，為了平衡隨機因素的作用，本文c1和c2通常取2[7]；r1和r2是介于[0,1]的隨機數(shù)；設w為慣性因子，w較大時算法具有較強的全局搜索能力，w較小則算法傾向于局部搜索。本文將w 初始值設為0.9，并使其隨迭代次數(shù)的增加線性遞減至0.4，設[8]設定最大速度 vmax；隨機初始化粒子群中各個粒子位置和速度，即t=0，記

圖2 PSO_LS-SVM預測的程序邏輯框圖

第二步，計算每個粒子的適應值。粒子的適應度函數(shù)值越大，則粒子位置越好。這里，適應度函數(shù)定義為：分別為LSSVM 訓練輸出值和期望輸出值。

第三步，按式(1)、(2)更新粒子的速度和位置，再與群體中所有微粒所經(jīng)歷過的最好位置pg(t)進行比較，產(chǎn)生新種群x(t+1)。

第四步，檢查結(jié)束條件。若滿足，則結(jié)束尋優(yōu)；否則t=t+1，轉(zhuǎn)至第二步。結(jié)束條件為尋優(yōu)達到最大迭代次數(shù)Tmax，或評價值小于給定精度。

第五步，把尋到的粒子最優(yōu)位置，即LS-SVM的最優(yōu)調(diào)整參數(shù)γ和最優(yōu)核參數(shù)σ2賦給LS-SVM模型。

第六步，用樣本數(shù)據(jù)對LS-SVM 進行訓練，利用改進的序列極小化方法求解。

3 實例驗證

本節(jié)以從公開出版物收集到的國外某類武器研制費用為例，在樣本數(shù)據(jù)（樣本數(shù)據(jù)見表1）準備好的基礎上，建立基于PSO_LS-SVM的某類武器研制費用預測模型，并對費用預測結(jié)果進行比較分析，檢驗所建預測模型的合理性，為其他裝備研制的研制費用預測建模提供思路和方法。

表1 國外某類武器性能參數(shù)與研制費用樣本數(shù)據(jù)表

采用Matlab7.0編制仿真程序，粒子群規(guī)模設為5，解空間為2 維，分別對應參數(shù)gam和RBF核參數(shù)sig2。取w 隨進化代數(shù)從0.9 線性遞減至0.4：為最大迭代次數(shù)，這里取為300，加速因子 c1=c2=2；gam初始值為1，sig2初始值為1。

POS_LS-SVM算法的matlab核心程序任務包括：求每個樣本的輸出值；判斷得出的結(jié)果是否滿足要求，如滿足就結(jié)束，不滿足則計算參數(shù)增加值；求單個樣本最佳參數(shù)值；和原來的群最佳值比較。

1）確定參數(shù)。

采用PSO優(yōu)化的方法確定參數(shù)，調(diào)用LS-SVM lab的train lssvm函數(shù)文件進行搜索調(diào)整，重復實驗5 000次，選擇效果最好的一次，得到確定的一組正規(guī)化參數(shù)gam=4.06和RBF核參數(shù)sig2=7.52。結(jié)果如圖3所示。

2）建立模型。

在確定正規(guī)化參數(shù)gam和RBF核參數(shù)sig2之后，即可建立國外某類武器研制費用PSO_LS-SVM回歸模型，即程序：

% PSO_LS-SVM 回歸模型，只需輸入X，即可計算出預測值Yt

3）對預測結(jié)果進行分析，檢驗模型的性能。

本例訓練結(jié)果和測試結(jié)果見表2、3的LS-SVM模型和PSO_LS-SVM模型訓練和測試結(jié)果對比表。

圖3 POS_LS-SVM算法中gam和sig2選值圖

表2 PSO_LS-SVM模型訓練和測試結(jié)果

表3 LS-SVM模型和PSO_LS-SVM模型訓練和測試結(jié)果對比表

表3對國外某類武器費用的實際值、LS-SVM預測值和PSO_LS-SVM 預測值進行了比較，目的是輸入測試樣本驗證訓練模型的應用能力。

LS-SVM計算結(jié)果常用的評價指標有：平均絕對誤差（MAE）、平方差（SSE）、均方差、平均相對誤差（MAPE）、根方差或標準差（RMSE）、相對誤差平方和（ESE）。本文采用MAPE和ESE 進行結(jié)果評估。

從預測結(jié)果可以看出，在同樣樣本條件下，將計算結(jié)果帶入平均相對誤差（MAPE）和相對誤差平方和（ESE）的計算公式中，得出如下結(jié)果：采用LS-SVM模型訓練測試的預測結(jié)果評價指標MAPE=0.018 0，綜合評估指標ESE=0.002 5；采用PSO_LS-SVM模型訓練測試的預測結(jié)果評價指標MAPE=0.014 7，綜合評估指標ESE=0.001 4。此外，采用LS-SVM模型確定訓練參數(shù)，程序運行時間高達約15 min之久，而采用PSO_LS-SVM模型確定訓練參數(shù)，程序運行時間只需3～4 min。

從以上分析可以得出如下結(jié)論：采用粒子群優(yōu)化算法與目前普遍應用的通過全面搜索的方法確定LS-SVM參數(shù)的方法相比，粒子群優(yōu)化算法的參數(shù)選擇具有更明確的理論指導，PSO_LS-SVM預測方法的預測精度更高，而且訓練參數(shù)尋優(yōu)速度也快，建立的PSO_LS-SVM費用預測模型是有效的，可以將此模型推廣到其他裝備研制費用的預測中。

4 結(jié)論

在對目前LS-SVM兩個關鍵參數(shù)的確定方法進行對比分析之后，得出采用粒子群優(yōu)化算法對確定最小二乘支持向量機的參數(shù)更具有優(yōu)勢。因此，提出應用PSO算法優(yōu)化LS-SVM參數(shù)(γ,σ2)，建立了基于PSO_LS-SVM裝備研制費用預測模型，研究了模型計算的程序流程和預測步驟，并以國外某類武器為例，進行了實例驗證，最后將POS_LS-SVM和LS-SVM費用預測值進行了對比，通過對比得出：在同樣樣本情況下，應用LS-SVM方法進行國外某類武器研制費用預測具有良好的預測精度；而建立的PSO_LS-SVM費用預測模型精度更高，計算速度更快。

因此，基于以上理論和算法建立的PSO_LSSVM裝備研制費用預測模型具有很高的應用價值。

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