史 佩，曲 凱，張旭東

（海軍航空工程學(xué)院 a.訓(xùn)練部；b.飛行器工程系，山東 煙臺(tái) 264001）

固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)中推進(jìn)劑藥柱的結(jié)構(gòu)組成是一種非常復(fù)雜的材料結(jié)構(gòu)體系，它主要由模量較低的粘接劑和高體積填充分?jǐn)?shù)的固體顆粒組成。研究表明：推進(jìn)劑藥柱的結(jié)構(gòu)完整性和本構(gòu)關(guān)系直接決定著發(fā)動(dòng)機(jī)是否能夠正常工作。[1-2]因此，建立合理的損傷和性能劣化模型對(duì)于判定固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)能否正常工作具有至關(guān)重要的意義。

Little和Rice 回顧并總結(jié)了如何利用連續(xù)損傷理論定量描述推進(jìn)劑損傷的相關(guān)研究工作，并指出如何評(píng)價(jià)含有一種或多種損傷變量的連續(xù)損傷模型好壞的方法。[3]他們總結(jié)后發(fā)現(xiàn)：目前研究的模型只能成功解釋某些特定現(xiàn)象，而不能應(yīng)用于發(fā)動(dòng)機(jī)壽命預(yù)估。比如Ozupek[4]提出了考慮損傷的非線(xiàn)性本構(gòu)方程，該方程只能運(yùn)用于推進(jìn)劑單向拉伸試驗(yàn)的模擬。Richard[5]提出利用連續(xù)損傷力學(xué)模型來(lái)研究推進(jìn)劑力學(xué)性能變化，模型中本構(gòu)關(guān)系采用彈性材料本構(gòu)關(guān)系，與推進(jìn)劑粘彈材料的特性不相符。由此可見(jiàn)，至今還未有一種非常成熟理論來(lái)模擬推進(jìn)劑在多種載荷共同作用下力學(xué)性能的變化。

本文在Richard 所提出模型基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，無(wú)損傷的推進(jìn)劑應(yīng)力—應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系利用三元件波因廷模型，來(lái)模擬幾種常見(jiàn)加載方式情況下推進(jìn)劑的力學(xué)響應(yīng)。累積損傷采用Bills[6]和Laheru[7]所提出的線(xiàn)性累積損傷模型，連續(xù)損傷演化函數(shù)采用Stigh[8]所提出的損傷演化函數(shù)。

1 線(xiàn)性累積損傷模型

累積損傷模型最先應(yīng)用于研究金屬材料的疲勞損傷，而這其中應(yīng)用最廣泛的是Miner[9]線(xiàn)性累積損傷模型。該模型假定在某一特定載荷下?lián)p傷為線(xiàn)性累加，即在特定應(yīng)力水平 σi下，材料的失效時(shí)間為t*，如果假設(shè)材料經(jīng)歷了一系列應(yīng)力水平 σi，每次時(shí)間為Δti，如果這時(shí)材料破壞，則式(1)成立：

如果Δti無(wú)限小，該損傷過(guò)程可看作連續(xù)過(guò)程，上式可轉(zhuǎn)化為積分形式：

式中：t*(σi)為在某一應(yīng)力 σi作用下材料蠕變破壞時(shí)間；tf（蠕變壽命）為在任意載荷作用σ (t)下材料的蠕變破壞時(shí)間。

根據(jù)Bills[6]和Laheru[7]的試驗(yàn)研究表明：固體復(fù)合推進(jìn)劑同其他材料一樣也遵循線(xiàn)性累積損傷破壞規(guī)律。

具體形式如下：

式中：σ0代表蠕變應(yīng)力；t0為在σ0作用下的蠕變壽命；β為通過(guò)試驗(yàn)獲得材料常數(shù)。

Laheru[7]利用上式提出了Lebesgue 正應(yīng)力N：

正應(yīng)力N可解釋為在單位時(shí)間內(nèi)使材料失效的蠕變應(yīng)力，其數(shù)值不依賴(lài)于材料的載荷史。也就是說(shuō)，通過(guò)試驗(yàn)測(cè)量材料的屬性N和β后，就可以計(jì)算出在任意應(yīng)力 σ (t)作用下材料的使用壽命。

2 連續(xù)損傷模型

連續(xù)損傷力學(xué)的概念是由Kachanov[10]在1958年發(fā)表的論文中提出，該理論在過(guò)去的30年里在材料學(xué)科的研究過(guò)程中發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用，Kachanov在其專(zhuān)著[11]中詳細(xì)闡述了早期損傷力學(xué)的研究工作。

在大多數(shù)的連續(xù)損傷模型中，損傷被假定為裂紋成核和空穴的生長(zhǎng)。而對(duì)于推進(jìn)劑來(lái)講，粘接劑和顆粒之間的脫粘引起的空穴增長(zhǎng)是推進(jìn)劑損傷的重要原因。為了定量描述這些空穴的影響，引入了有效應(yīng)力和損傷變量D。當(dāng)D=0時(shí)，認(rèn)為材料無(wú)任何損傷，當(dāng)D=1時(shí)認(rèn)為材料破壞。有效應(yīng)力可以被看成由于微孔洞和微裂紋的存在而使材料有效承載面積減少后承受的應(yīng)力，其數(shù)學(xué)表達(dá)式可寫(xiě)成：

一種連續(xù)損傷模型必須要考慮損傷的演化，其演化規(guī)律可表示成損傷變量D和應(yīng)力σ的函數(shù)：

因此，研究損傷力學(xué)其關(guān)鍵就是要確定合理的損傷演化函數(shù)。Stigh[8]通過(guò)對(duì)推進(jìn)劑蠕變損傷實(shí)驗(yàn)研究，給出一種損傷演化方程如式(7)所示：

式中：N為線(xiàn)性累積損傷模型中的Lebesgue 正應(yīng)力，因此該方程體現(xiàn)了線(xiàn)性累積損傷和蠕變損傷。

3 算例

為了研究推進(jìn)劑在考慮損傷條件下粘彈響應(yīng)，推進(jìn)劑藥柱采用三元件波因廷模型來(lái)研究，它是由一個(gè)彈簧元件和一個(gè)馬克斯威爾元件構(gòu)成，見(jiàn)圖1。

圖1 波因廷粘彈模型示意圖

3.1 恒速施加應(yīng)變

對(duì)于恒速施加應(yīng)變下，有效應(yīng)力可采用卷積積分法求解：

在定應(yīng)變速率拉伸時(shí)推進(jìn)劑的應(yīng)力—應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系和損傷演化規(guī)律如圖2所示。從圖中看出：當(dāng)推進(jìn)劑應(yīng)變比較小時(shí)，損傷較小，此時(shí)推進(jìn)劑表現(xiàn)為粘彈性；隨著損傷逐漸變大，推進(jìn)劑達(dá)到最大應(yīng)力后迅速破壞。

圖2 恒速應(yīng)變拉伸推進(jìn)劑性能曲線(xiàn)

3.2 蠕變

對(duì)于蠕變（σ=σ0），根據(jù)文獻(xiàn)[12]可知波因廷粘彈模型的蠕變?nèi)崃亢瘮?shù)為：

將σ代入式(7)并進(jìn)行積分可求出 D (t)，再利用式(5)、(12)可求解出 ε (t)：

推進(jìn)劑在蠕變過(guò)程中的應(yīng)變—時(shí)間曲線(xiàn)和損傷—時(shí)間曲線(xiàn)如圖3所示。

圖3 蠕變下推進(jìn)劑性能曲線(xiàn)

從圖3中可看出：推進(jìn)劑在蠕變過(guò)程中應(yīng)變和損傷都是先緩慢增加，隨后迅速變大使其最終破壞。這種趨勢(shì)與推進(jìn)劑蠕變?cè)囼?yàn)曲線(xiàn)較為吻合。

3.3 應(yīng)力松弛

對(duì)于應(yīng)力松弛，取ε=ε0。利用波因廷粘彈模型的松弛模量公式(7)可求解出有效應(yīng)力

將式(14)代入式(7)中，公式兩邊積分可求出D (t)，根據(jù)式(5)和式(14)可求出 σ (t)：

D (t)沒(méi)有解析函數(shù)表達(dá)式，可利用定積分?jǐn)?shù)值求解方法進(jìn)行求解。推進(jìn)劑在應(yīng)力松弛過(guò)程中的應(yīng)力—時(shí)間曲線(xiàn)和損傷—時(shí)間曲線(xiàn)如圖4所示。從圖中可看出：初始階段雖然應(yīng)力松弛較快，但損傷增加也較快。在曲線(xiàn)后段隨著應(yīng)力松弛逐漸變慢，損傷演化速率也減慢。計(jì)算的應(yīng)力松弛曲線(xiàn)與推進(jìn)劑試驗(yàn)所測(cè)得曲線(xiàn)較為符合，都是開(kāi)始應(yīng)力松弛快而后變慢。

圖4 應(yīng)力松弛下推進(jìn)劑性能曲線(xiàn)

3.4 定應(yīng)變幅值往復(fù)拉伸

推進(jìn)劑加載方式為定應(yīng)變幅值往復(fù)拉伸循環(huán)試驗(yàn)，其應(yīng)變幅值和半周期分別為1ε和1t，其曲線(xiàn)如圖5a）所示。

圖5 定應(yīng)變幅值往復(fù)拉伸下推進(jìn)劑性能曲線(xiàn)

根據(jù)3.1 恒速施加應(yīng)變的情況，可知推進(jìn)劑應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系如式(10)所示，它可進(jìn)一步化簡(jiǎn)：

當(dāng)在應(yīng)變循環(huán)的2(n?1)

t1≤t≤(2 n?1) t1周期：

當(dāng)在應(yīng)變循環(huán)的(2 n?1)t1≤t≤2nt1周期：

通過(guò)式(17)和式(18)可計(jì)算出每一周期的損傷量，將其累加起來(lái)可以得到總損傷，并可進(jìn)一步求出應(yīng)力的變化。

當(dāng)2(n?1) t1≤t≤(2 n?1) t1時(shí)，

當(dāng)(2 n?1) t1≤t≤2nt1時(shí)，

推進(jìn)劑在定應(yīng)變幅值往復(fù)拉伸循環(huán)試驗(yàn)中的應(yīng)力—循環(huán)次數(shù)曲線(xiàn)、損傷—循環(huán)次數(shù)曲線(xiàn)和應(yīng)力—應(yīng)變曲線(xiàn)如圖5b）～ d）所示。從圖中可看出：推進(jìn)劑損傷值隨著循環(huán)次數(shù)的增加而不斷增加；推進(jìn)劑的最大應(yīng)力隨著循環(huán)次數(shù)的增加而不斷減少，且應(yīng)力在下降段隨著循環(huán)次數(shù)的增加斜率逐漸變緩。

4 結(jié)論

結(jié)合累積損傷與連續(xù)損傷力學(xué)相關(guān)理論，建立了復(fù)合固體推進(jìn)劑蠕變累積損傷模型，通過(guò)算例可得到以下結(jié)論：

1）利用本模型可以模擬推進(jìn)劑在不同加載方式下應(yīng)力—應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系。

2）采用波因廷模型來(lái)模擬其無(wú)損本構(gòu)關(guān)系，比文獻(xiàn)[5]提出的彈性模型能更好模擬推進(jìn)劑的力學(xué)響應(yīng)。

3）計(jì)算所得曲線(xiàn)與推進(jìn)劑試驗(yàn)所得曲線(xiàn)變化趨勢(shì)較為吻合，可解釋試驗(yàn)過(guò)程中出現(xiàn)的一些現(xiàn)象，它為理論計(jì)算推進(jìn)劑損傷提供了一條有效可行的途徑。

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